Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 22
Текст из файла (страница 22)
алгебраической и топологической структуры (нередко основанного надостижениях теории групп Ли) и выяснения связей, существующих между локально бикомпактными группами и группами Ли (в частности, линейными группами). Математический аппарат, созданный в теории локально бикомпактных групп для решения пятой проблемы Гильберта, позволил дать полное описание любых (а не только локально евклидовых) локально бикомпактных групп. Этот же аппарат„с другой стороны, одновременно дает доказательство следующего предложения, интересного с точки зрения теории групп Ли: расширение группы Ли с помощью группы Ли всегда является группой Ли ').
'Решение проблемы Гильберта четко распадается на два этапа. На первом этапе, закончившемся в основном к 1935 г., пятая проблема Гильберта была решена для бикомпактных и коммутативных локально бикомпактных групп. Для бикомнактных групп доказательство было дано фон Н е й м а н о м [61. Несколько позже Л.. С. П о н тр я г и н [81 полностью исследовал структуру компактных топологических групп, доказав при этом, что всякая компактная локально связная конечномерная группа является группой Ли. Решение проблемы Гильберта для коммутативных локально бикомпакткых групп дано Л.С.Понтрягиным [91. Аппарат линейных представлений, созданный для бикомпактных и коммутативиых локально бикомпактных групп и сыгравший решающую роль при изучении структуры этих групп, оказался неприменимым к любым локально бикомпактным группам.
Поиски путей, с помощью 9 См. вюке аб эффективных транзвтвввнх действиях., з] Этот результат ярввадлеквт К. И в а с а в а [] 9] в А. Г л во о я'у ]22]. которых можно получить окончательное решение пятой проблемы, составляютсодержание.второго этапа, завершившегося лишь в начале 50-х годов. В 1941 г. К. [Пе валле [161 дает решение проблемы Гильберта для разрешимых групп.
В 1946 г. А. И. М а л ь ц е в Н 71, исследуя локальную структуру разрешимых локально бикомпактных групп, показывает, что всякая связная локально связная разрешимая локально бикомпактная группа конечной размерности есть группа Ли. Наконец, в 1952 г. окончательное решение проблемы Гильберта для любых локально бнкомпактных групп было получено А. Г л и с о н о м [241 и Д. Монтгомери иЛ.
Циппином [251. В 1953 г. Я м а б е [261, [271 усовершенствует и несколько упрощает построения Глисона; его метод позволяет подойти к любым, а не только конечномерным, локально бикомпактным группам, что дает возможность исследовать структуру любых локально бикомпактных групп без всяких ограничений. Для групп преобразований методы, используемые при решении пятой проблемы Гильберта, дают следующую теорему (эта теорема принадлежит Д. М о н т г о м е р я и Л. Ц и и и н н у [291): всякая локально бикомпактная группа, преобразований некоторого конечномерного локально компактного и локально связного топологического пространства Х (например, топологнческого многообразия) является группой Ли, если она действует эффективно и транэитивно; при атом само пространство Х автоматически оказывается фактор-пространством этой группы и, следовательно, аналитическим многообразием.
(Напомним, что действие группы называется аффективным, если каждый отличный от единицы элемент атой группы действует нетривиально; действие называется транзитивным, если для всяких двух точек х, у б=Х имеется преобразование, переводящее х в у.) Для компактных групп доказательство этой теоремы было получено Л. С. Понтрягиным' ) (1936 г., см. [181), а для разрешимых групп в 1946 г. она была доказана А. И. М а л ь ц е в ы м [171. Главным инструментом при исследовании локально бикомпактных групп является применение инвариантного интегрирования (т. е. интегрирования по инвариантной 1 ) Пораоначальноо докаэатааьстаот полутонное Д.
Монтгомери и Л. Циппином независимо друг от друга, также было дано дая компактных групп. 106 мере) на этих группах. Мера на группе называется инвариантной, если для всякого множества М из группы и любого элемента г мера множества Мб равна мере )и (щзвзриантность справа). Инвариантное интегрирование на группах Ли устанавливается довольно просто; впервые оно было применено Ф. Петером и Г. Вейлем Н1 еще в 1927 г. для построения полной системы линейных представлений компактных групп Ли. В 1933 г.
А. Х а а р [51 определил инвариантную меру на любых локально компактных группах, удовлетворяющих второй аксиоме счетности. Несколько позже (в 1934 г.) фон Н е йм а н [71 предложил более совершенный и прямой способ инвариантного интегрирования на компактных группах'). Конструкция фон Неймана была затем упрощена в работах Л. С. По н т р я г и н а ([81, [131), который построил с ее помощью полную систему линейных представлений дли любой бикомпактной группы. Существование инвариантной меры позволяет широко использовать методы функционального анализа и, в частности, теорию интегральных уравнений. В случае бикоыпактной группы с помощью этих методов нетрудно построить полную систему линейных представлений.
В самом деле, для любой непрерывной функции двух переменных К(х, у), определенной на группе 0 и симметричной (К(х,у)=К(у,х)),оператор К(х, у)Ду)Ыр симметричен и вполне непрерывен, поэтому для любого Л + О пространство Н(Л) собственных функций этого оператора с собственным значением Л конечномерно.
Если К(х, у) имеет вид )с(х ~у), где й(х) — непрерывная функция одного переменного, то при действии б на Н(б), определенном по формуле бЯ(х) = У(б 'х), все подпространства Н(Л) гильбертова пространства НЯ суммируемых в квадрате функций на С являются инвариантными. Таким образом, имеются представления 0 в группы линейных преобразований конечномерных векторных пространств Н(Л). Пусть б + е— любой элемент группы С и У вЂ” такая окрестность единицы е, что 0~ не содержит г.
Возьмем в качестве й(х) 1) Мера фок Ноимана (как и мера на группах Ли) инвариантна с двух сторон; однако оиа зквнпалвнтна мере Хаара (это следует иа теоремы единственности инаариантной меры на бикомпактных группах; едиистаеаность меры Х аара на любой локально компактной группе была доказана фок Найманом в 1936 г.). функцию Ь(х) -~ Ь(х '), где Ь(х) — непрерывная неотрицательная функция, равная нулю вне окрестности б' и принимающая значение 1 в точке е ~:= 6. Тогда для функции ~(х) = Ь(х гу)Ь(у)Ну имеем бф(х) + ~(х).
Раскладывая функцию ~(х) в ряд Фурье по собственным функциям оператора ~Ь(х 'у)<р(у) ду, убеждаемся в том, что элемент с я определяет нетривиальное преобразование хотя бы на одном из собственных подпростраиств; это и означает, что определенная выше система линейных представлений является полной. Используя существование полной системы линейных представлений, нетрудно показать, что в любой окрестности единицыгруппы 6 существует бикомпактиый нормальный делитель У такой, что фактор-группа 6/ У ест( группа Ли.
Это означает, что группа 6 с любой степенью точности может быть аппроксимирована группами Ли. Следствием этой аппроксимации является следующая структурная теорема (ИЗ)): всякая бикомпактная группа конечной размерности и локально распадается в прямое произведение и-мерной локальной группы Ли и своего нульмерного бикомпактного нормального делителя.
Отсюда немедленно вытекает, что конечномерная локально связная бикоза|актная группа (например, локально евклидова бикомпактная группа) есть группа Ли. Линейные представления играют существенную роль и при рассмотрении коммутативных локально бикомпактных групп. Правда, с формальной точки арения решение пятой проблемы Гильберта для коммутативных локально бикомпактных групп можно вывести из ее решения для бикомпактных групп. В самом деле, как показал Л.
С. П о н т р я г и н ИЗ), всякая коммутативная локально бикомпактная группа бикомпактного происхождения ') накрывает некоторую бикомпактиую группу (доказательство этого утверждения несложно: сперва показывается, что циклическая подгруппа, порожденная произвольным элементом коммутативной локально бикомпактной груп- г) Группой бииомпактиого проислождеиил иаэывеетсл тояслогичеспал группа, которая порождается и«потерей бэиомпеитией сирестиостъю едйпицы; в любой лоиелъис бпиомпеитиой группе имеетсл открытая подгруппа бпиомпаитлого происхождеиил.
108 кы, либо имеет бикомпактное замыкание, либо замкнута н дискретна; затем с помощью этого факта устанавливается, что в коммутативной группе бикомпактного происхождения имеется дискретная подгруппа с конечным числом образующих, фактор-группа по которой бико»шактна); таким образом, локальные свойства этих двух групп идентичны, и если вторая иэ них есть группа Ли, то группой Ли является также любое ее накрытие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
