Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Теория же вероятностей изучает общие закономерности случайных явлений независимо от того, относятся они к физике, химии, экономике, биологии или лингвистике. Современное развитие теории вероятностей в значительной мере находилось под влиянием общих идей теории множеств и теории функций действительного переменного.
Именно эти идеи позволили теории вероятностей осознать себя как математическую дисциплину и разработать в ней четкую систему понятий и освободить ее от чисто интуитивных представлений и заключений. Конечно, сказанное совсем не означает умаления роли естествознания и техники, в первуюочередь физики, биологки, теории связи, организации производства, в формировании основных ее понятий и направлений исследования. Попытки аксиоматического изложения теории вероятностей были предприняты в начале нашего века Г. Б о л ьи а н о м (см., например, Щ).
Однако его работы далеки от глубокого решения стоявшей перед ним задачи, поскольку в них не было дано ни анализа основных понятий теории вероятностей, ни логически стройного изложения накопленных в ней фактов, ни связей с остальной частью математики и господствовавшими в ней представлениями. Только в 191 7 г. появилась статья С.' Н. Б е р н ш т е й н а [2], в которой было дано современное и развернутое аксиоматическое построение основ теории вероятностей.
Позднее этот подход был подробно изложен в известной его книге [3). Система аксиом С Н Бернштейна основана на качественном сравнении случайных событий по их большей или меньшей вероятности. Совокупность всех событий рассматривалась как булеза алгебра. Позднее более подробное изложение этой системы взглядов было дано В. И. Гливенко и Купмэном. С других позиций к обоснованию теории вероятностей подошел в ряде работ, которые начали публиковаться, И7 01й18г., Р. Ми з е с (см.
14), 15), 16)). Для него теория вероятностей является естественнонаучной дисциплиной и поэтому в основу понятия вероятности случайного события он положил результат идеализированного эксперимента, заменив реальную статистическую совокупность, по необходимости конечную, некоторым бесконечным рядом и потребовав от этого ряда выполнения двух свойств — существования предела частоты и иррегулярности. Концепция Р.
)14иэеса встретила и встречает многочисленнйх восторженных последователей и серьезные критические возражения по существу его взглядов (см. об этом работы А. Я. Х и н ч и н а [7) и 18)). Э. Борель, высказавший мысль о связи теории вероятностей с теорией меры, явился основоположником очень плодотворного круга идей. В намеченном им направлении начали работать многочисленные исследователи, к плоды не заставилн себя ждать. Уже в 1923 г. была опубликована превосходная работа А.
Л о ми и ц к от о 19), в которой достаточно систематически и продвинуто излагалось аксиоматическое построение основ теории вероятностей на базе теоретико-множественных концепций. Как ни велики были достигнуты успехи, проведенные исследования должны рассматриваться лишь как начало аксиоматического построения теории вероятностей.
Ряд основных задач еще не только не был решен, но даже н не получил четкой математической формулировки. Здесь в первую очередь следует упомянуть вопросы аксиоматического обоснования счетных операций над событиямн и нх вероятностями, определения таких фундаментальных для теории вероятностей понятий, как случайная величина, математическое ожидание, условная вероятность.
Необходимо было также создать предпосылки для возникавшей теории случайных процессов. Эти задачи с успехом были решены работами А. Н. К о л м о г о р ов а 110), 111). Аксиоматика, предложенная А. Н. Колмогоровым н базирующаяся на концепциях теории множеств и теории меры, с логической и философской позиций не является ни единственно возможной, ни пришпзпиально более совершенной по сравнению с другими.
Ее успех объясняется рядом обстоятельств, среди которых упомянем лишь следующие: она соответствовала общему духу математики 118 того времени, тесно связала теорию вероятностей с метрической теорией функций и тем самым открыла перед ней богатейший арсенал хорошо разработанных методов исследования, позволила охватить единой простой схемой не только классические главы теории вероятностей, но и вновь возникающие ее понятия и проблемы. Отметим, что в работе В.
И. Г л н в е н к о 112) удалось доказать, что подход к аксиоматизации теории вероятностей, предложенный С. Н. Бернштейном и относящийся к рассмотрению полных нормированных булевых алгебр, совпадает с аксноматикой А. Н. Колмогорова. Исследования по основам теории вероятностей продолжаются непрерывно. За последние годы были предложены многие новые подходы — А. Репьи, А.
Н. Колмогоровым и рядом других исследователей. В основу новых аксиоматическпх построений предлагается взять различные исходные понятия — понятия информации,сложностин т. д. Совершенно ясно, что живая математическая дисциплина с очень широкими связями буквально со всеми областями знания всегда будет требовать тщательного изучения ее основ с различных позиций.
И как бы хорошо ни были разработаны акспоматические основы математической дисциплины, пока она развивается, будут продолжаться поиски иных методов ее логического обоснования. Л ИТЕРАТ УРА (1) В оЬ 1 ша па О., Б(в Стикс(Ьвзп(1в с)вг ЖвЬгтвЬвпс)!вЬ- )свмвгвсЬвлшз 1п (Ьтвг Ашгвпс)кпз вп1 сйв 1 вЬвпвгвтк(вЬвгкп8, А1(1 с)в1 1Ч Сопзтвзво 1птвгпвз!опа1в 4в1 Мв(Ьвшат(с1, Воша, 6 — 11 АРП1в 1908, то1. П1, 8вс1впв 11Ь, 1909. (2) Б в р н ш т в й в С. Н., Опыт аквквматкчвсквгв обввкввввкк теории вероятностей, Сввбщввкк Харьковского магвмагкчвшсвгв абщввгвв 15 (1917), 209 — 274. [3) Б в р к ш т в й к С.
Н„Творкп вврваткввтвй, Рввтвхквдвт, 1946. (4) М 1 в в в В., СтвшПвзвп с(вт ЮвЬтзвЬв(кцвЫсв(твтввЬппв8, МвсЬ. 2. 5 (1919), 52 — 99. 15) М сввв В., %аЬтввЬвшЬсЫсв(1, 8(аыв(Ис ввй %вйгЬв(1, %(вп, 1928. (6) М савв В., Ма1Ьвкшт(вв1 (Ьвоту о1 РгоЬвЫ)Иу, Аввй. Ртввв, 1964. (7) Х к я ч к к А. Я., гчвпкв Мкзвса в вероятностях к прккцкпы физической стагксткки, УФН 9 (1929), 141 — 166. 119 (8) Х к и ч я и А. Я., Част«тлея т«оркя Р.
Мизеса я сазремепяыв идеи теорви вероятностей, Вопросы философии, 1981, М 1, 91 — 102, 76 2, 77 — 89. [9) Ь о и и 1 с Ь 1. А., Коптеапх 1опйвтеп«з Йп са)сп) 4«з рго- Ь«ЬШ«4», рспйат. Ма«Ь. 4 (1923), 34 — 71. НО) К о я м о г о р о в А. Н., Обп(«я теория меры и яачяслеяяе ввроятяостей, Тр. Коммуяястяч.'зяздемия, раап. Мог«патака 1 (1929, 8 — 21. 11) К о я м о г о р о з А. Н., Осяовзие попятяя теории верояткостзк ОНТИ,.1936 (пемсцпос в»давке, 1933). Н2) Гл ив е я я о В. И., Курс теориивероятяостей, ГОНТИ, 1939.
К СЕДЬМОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА ~А. О.Г ф Алгебраическим числом называется любой корень алгебраического уравнения а, + агх+ ... + о„х" = О, где а„а„..., а„— целые числа. Всякое неалгебраическое число называется трансцендентным числом. Существование трансцендентных чисел строго было доказано Ж. Лиувиллем ') в 1844 г., но еще Л. Эйлер нх существование считал безусловным, хотя вполне строгого определения трансцендентного числа у него, по-видимому, не было. Первые общие утверждения относительно арифметической природы чисел мы находим у Л.
Эйлера, который, например, утверждал, что числа а" », где а иррационально, а Б — целое, но не квадрат, не только не рациональны, но даже не «иррациональны», что в нашей терминологии значит «трансценденткы». В создании и развитии методов доказательства трансиендентности чисел за 60 лет, прошедших со времени постановки проблем Д. Гильберта, были достигнуты существенные успехи и основная проблема, поставленная Д. Гнльбертом, была решена в общем виде. Два основных метода доказательства трансцендентности, как это и было предположено Д. Гнльбертом, основаны иа исследовании арифметических и аналитических свойств функции, значением которой является при алгебраическом значении аргумента исследуемое число.
Мы остановимся только иа основных этапах развития этих методов. ') С. г. Аеай. «с). 18 (1844), 883, 910; У. та«Ь. Рогоз е« арр1. 16 (1831), 133.— Приэа. р«д. 121 (8) Х и кч к и.А. Я., Частотная теория Р. Мизеса и созремеизыв иден теории всрояткосгей, Вопросы фияософюг, 1961,,)й 1, 91 — 102, М 2, 77 — 89. (9) Ь о ш к 1 с Ы 1. А., Кок»с«ох.
Еокйсшек(а 6и са)си) 6«з рго- Ь«МИ(4«, рккйаш. Ма»Ь. 4 (1923), 34-71. (10) К о я м о г о р о в А. Н., Общая теория меры и и««иск«- кис вврояткостсй, Тр. Коммуякстич.'акадамии, равд. Математика 1 (1929, 8 — 21. 11] К о я мог ор о» А. Н., Осиовкыс кокяткя теории вероятиостеи ОНТИ,.1936 (кем«даос надави«, 1933). (12) Г я и» е к к о В.
И., Курс теории вероятностей, ГОНТИ, 1939. К СЕДЬМОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА О. У ЯМ~ Алгебраическим числом называется любой корень алгебраического уравнения а»+ а,х+ ... + а„я" =О, где с„а„..., а„— целые числа. Всякое неалгебраическое число называется трансцендентным числом. Существование трансцендентных чисел строго было доказано Ж. Лнувиллем ') в 1844 г., но еще Л. Эйлер кх существование считал безусловным, хотя вполне строгого определения трансцендентного числа у него, по-вндимому, не было. Первые общие утверждения относительно арифметической природы чисел мы находим у Л. Эйлера„который, например, утверждал, что числа аг», где а иррационально, а Ь вЂ” целое, но не квадрат, не только не рациональны, но даже не «иррациональны», что в нашей терминологии значит «трансцендентны».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
