Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 28
Текст из файла (страница 28)
д. Другими словами, сравнение г' + 1 эп О (шой р) по простому модулю р разрешимо в том и только в том случае, когда р = 2 илп р = — 1 (шой 4), Этот факт обобщается следующим образом. Если целое число а не квадрат целого, то простые делители чисел ээ — а, кроме 2 и делителей а, укладываются ровно в половину примитивных классов вычетов по модулю 4а (т. е. арифметических прогрессий 4ай + Ь, 0 ( Ь ~4а„ Ь взаимно просто с 4а).
Характеристика классов вычетов, содержащих простые делители чисел сэ — а, составляет основное содержание закона взаимности Гаусса. Введем термины и обозначения для формулировки этого закона. Целое число а называется квадратишым вычетом по простому модулю р+ 2,если а не делится на р я сравнение хэ — а = — О (шой р) разрешимо. Если же сравнение лэ — а = — 0 (шой р) не имеет решений, то а называется квадратичным невычетом. Согласно опалой теореме Ферма», для любого целого а, не делящегося на р, выполняется сравнение аг-г = 1 (шой р), откуда ( — М э — 1 1е э — 1 а ' — 1)(,а * +1) ив в 0 (шойр), и, следовательно, илк У-1 р-~ а ' вп 1 (шой р) или а ' вп — 1(шой р).
Оказыййдтся, — и зт0 состааляет содержание так называемого 131 получен А. И Виноградовым [81: все большие четные числа представляют собой суммы двух слагаемых, цмеющих каждое пе более трех простых множителей. Терпарпая проблема Гольдбаха, т. е. уравнение л + +у + х — И=О в простых числах л, у, хв случае почетного достаточно большого И полностью решена в 1%7 г. И. М. В и п о г р а д о в ы и ') [31; уравнение ал + Ьу + + сх — е[= О в простых числах решается аналогично. Л ИТЕРАТ УРА [1) М э л л э р Н. А., О эычкслэчяях, авяээвяых а проверкой глвогеэы Рвмапэ, ДАН СССР 129, М 2 (1958), 245 — 247.
[2[ 8 э 1Ъ э г 8 А., Ов»Ъа хэгаэ а( В[эшэвл'э хе1а-[заспал, 8Ъг. ИашЪэ У16. АЪаб. Оэ)а, М 10, 1942. [3) Виноградов И. М., Иэбрэввыэ труды, Иэд-ва АН СССР, 1952. М 1 1936), 187 — 201. [4) Ч у д а к а в ' Н. Г., О кулях фуккцли 4 (е), ДАН СССР 1, [5) Виноградов И, М., Навея ацэвкэ фуякцяк ь (1+ + П, ИАН СССР, сер. матам.
22, М 2 (1958), 161-169. 6[ К а р об а в Н. М., Новые теоретико-числовые ацеяяк, ДАН СССР 119, М 3 (1958), 433 — 439. [7) % е 1 1 А., В(ешавп Ъуао»Ъмээ [в 1авс»1ав Йе[бз, Ргаа. )Чээ. Аааб. Ва(. ()8А 27 (1941), 345-347. [8[ В к и а г р а д а в А. И., Павмевавпэ ((е) к рыяэту Эратосфена, Матам. сб. 41 (83), М 1 (1957), 49 — 80. х) Проблема, пастэвлаввэя яэтербургсввы академиком Х. Гольдбахам в ппсьмев Эйлеру от 7 шаля 1742 г., фарыулкравалэсь следующем абрахам: доказать, чта всякое цэлаэ чяала~вб есть сумма трех врастых.
Иегарйя вопроса я»лажеле э работах: Ь. Е. В 1 с Ъ э а в, Н[э(агу а1»Ъэ ТЪеагу а[ ИашЪэгз, т. 1, 1ЧээЫв8- эав, 1934, 421 — 425 (да 1923 г.) я Н. Г. Ч у д а я а в, О проблеме Гальдбэхэ, УМН 4 (1938), 14 — ЗЗ. Теорема, давэээявэя Вяяаградавым в 1937 г., давала решение яраблемы Гальдбэхэ для дастэтачко балыквх иэчэтвых чисел.
В 1946 г. Ю. В. Лввввк (Матем. аб. (к. с.) 19 (6О, М 1 (4) (1946), 3 — 8) получка другое доказательства теоремы Вкяагрэдавэ с првзлэчэвкэы методов теории «яалятвчэаквх фующвй. К проблематике задачи Гальдбаха таска првмыяээт результат, калучэввыйв 1930г. Л.
Г. Швлрельмэвам (Иэв. Далек. цалвтехк. вп-та 14, М 2 — 3 (1930), 3 — 28): каждое ватурэльяае чксла )», кроме эдвввцы, эап сумма ке более чэыС простых чисел, где С ат К кэ эазксвт. У самого Швврээьмаяэ С 800000, трудами вкагвх ыэтематвказ ээлячвва этой какстэкты павюкеяэ да 20 (Г. Шапира к Д. Варгэ, 1950).— Прил. ред, К ДЕВЯТОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА Д'.
)Г. Фаддеее 1'. Закон ззаимнаслхи Гаусса. Самым простым проявлением закона взаимности является следующий факт, бывший известным еще П. Ферма. Среди простых множителей чисел хх + 1 при целых х появляются все простые числа, лежащие в прогрессии 4Й + 1, и отсутствуют простые вида 4$ + 3. Так, 2» + 1 = 5; 8» + 1 = 5 13; 4» + 1 = = 17; 12» + 1 = 5 ° 29 и т. д.
Другими словами, сравнение хх + 1 еп О (шой р) по простому модулю р разрешимо в том п только в том случае, когда р = 2 или р =— 1 (шо([ 4). Этот факт обобщается следующим образом. Если целое число а пе квадрат целого, то простые делители чисел хэ — а, кроме 2 и делителей а, укладываются ровно в половину примитивных классов вычетов по модулю 4а (т. е. арифметических прогрессий 4ай + Ь, О ( Ь С4а, Ь взаимно просто с 4а). Характеристика классов вычетов, содержащих простыв делители чисел хх — а, составляет основное содержание закона взаимпости Гаусса.
Введем термины и обозпачеппя для формулировки этого закона. Целое число а называется квадратичным вычетом по простому модулю р + 2,если а пе делится па р л сравнение хэ — а = — О (шой р) разрешимо. Если же сравнение хх — а = О (шоб р) пе имеет решений, то а называется квадратичным певычетом.
Согласно эмалой теореме Ферма», для любого целого а, пе делящегося па р, выполняется сравнение аг-1 = 1 (шой р)., откуда ( ° Н э — 1 а ' — 1)(а ' +1) =О (шойр), и, следовательно, илп р-~ Я..1 а ':— 1 (шоб р) или а ': — — 1(шой р). Оказы969тся, — и зто составляет содержаппе так пазываемого 131 критерия Эйлера, — первое сравнение выполняется, если а есть квадратичный вычет, второе — если а есть квадратичный невычет. Свойства квадратичных вычетов и не- вычетов удобно формализуются при помощи символа Лежандра ( — ~) '), который является функцией от простого ~Р/ р и целого а, не делящегося на р, со значениями +1 мли — 1 в зависимости от того, является число а квадратичным вычетом или невычетом.
Простейшие свойства квадратичных вычетов и невычетов даются формулами: 1) ( — ( =- ~ — ), если а = — а,(шо«( р), так что ( — ~1 как ~Р)' ~Р/ функция от а при фиксированном р имеет период р. У вЂ” 1 а 2) ( — ~ = — а э (шоб р) (критерий Эйлера). 3) ( — ~ — ~ — ~( — ). Это свойство обозначает что 1 произведение двух Квадратичных вычетов или двух невычетов есть вычет, а произведение вычета на невычет есть певычет.
Исследование поведения символа ( — ~( как функции ~Р/ от р при фиксированном а представляет собой вопрос, тождественный с вопросом об описании простых делителей зз — а. Ответ на него дается законом взаимности Гаусса. Оя состоит иэ основной формулировки и двух дополнений: 1) Если р и д — два нечетных простых числа, то р для в и о для р будут одновременно квадратичными вычетами или невычетами, вели хотя бы одно из этих чисел сравнимо с+1 по модулю 4.
Если же оба сравнимы с — 1 (шоа 4), то одно иэ них — вычет для второго, второе— невычет для первого. С помощью символа Лежандра это запишется так: я 1 ~р-1 ®=( — 1) ' ' ('Р). 2) ~ — ) = ( — 1) . Этаформула обозначает, что — 1 есть квадратичный вычет для р ь— е 1 (шо«( 4) н нввычет для р = — 1 (шо«( 4). ') Этот симпая взвдвя А, М. Лвжакаром в 1808 г.-Прим. Р«д. 2 р' — « 3) ( ) =( — 1) ' . Эта формула дает, что 2 есть квадратичный вычет для р = +- 1 (шоб 8) и невычет для р = -+ 3 (шой 8). Выясним, как закон взаимности решает задачу о значениях ( — 1 при фиксированном а.
Будем считать, что 'Рl а свободно от квадратов, что не нарушает общности. Пусть а = ( — 1) 2»д,...д», сс = О, 1; Р = 0,1; ды ...,((»вЂ” нечетные простые. Тогда ®=1=,')'(ИФ)- ® Значение первого множителя (при а = 1) зависит от класса р ко модулю 4, второго (прн Р = 1) — от класса р по модулю 8. Следующие множители ( — ) в силу равенства / Ч«~ (р/ ( — '~=~ ',) 71~ / Р~ — ~~ = ( †)( — 1) зависят от класса р по мо- ~ ч«) дулю 4у«. Поэтому, веля нам известен класс вычетов, которому принадлежит р по модулю 4 ° 2» д,...д» = 4 ~ а1, то будут известны значения каждого множителя к значения символа ( — ') .
Например, ( — ~ = ~ — ) ( — ~ = ( — 1). ' (+), / — 5« откуда легко получить, что ~:)=+ 1 при р =1,3, 7, 9 Р (шо«) 20) и ( — ~~= — 1 прн р = 11, 13, 17, 19 (шой 20). ~Р/ Гаусс справедливо придавал очень большое зваченио доказанному им закону взаимности ндал несколько его доказательств, основанных на совершенно различных идеях Я '). Для многих целей, в частности для дальнейших обобщений, оказывается удобной несколько более общая фор') Квздратичиый закон взаимности был установлен Л. Эйлврвы в 1772 г. (опубликовав (бвз даквззтвльстпа) в 1788 г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
