Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 24
Текст из файла (страница 24)
у~-д (поэтойподпоследовательностн) существует и является однопараметрической подгруппой группы 6. Этот предел обозначим через х(1) + у(1). Операция сложения (которая оказывается коммутативной) вместе с операцией умножения на действительные числа (2, ° х(3) = = х(М)) превращает множество всех однопараметрнческих подгрупп группы 6 в топологическое векторное пространство Е, которое оказывается локально компактным и, следовательно, конечномерним. Нетрудно проверить, что внутренние автоморфизмы группы 6 определяют линейное представление 6 в группу преобразований пространства Е. Из существовании такого представления вытекает, что 6/Х есть группа Ли, где Х вЂ” ядро этого представления. Группой Ли 'окаэываетби и ядро Н, так как, с одной стороны, Н не имезт малых подгрупп (как подгруяяа в 6) и, с другой стороны, компонента единицы этой группы коммутативна1); Кроме того, нормальный делитель Н оказывается центральным, если группа 6 связна.
Таким образом, в 6 имеется центральный нормальный делитель Н., являющийся группой Ли, фактор- группа по которому также есть группа Ли. Можно показать, что при этих условиях сама 6 является группой Ли (в такой форме впервые это доказано К у р а н и с н 120; см.
также [191). Пусть теперь 6 — группа о малыми подгруппами. С помощью примерно той же техники, которая применялась для доказательства существования однопараметрическях подгрупп, можно показать, что в любой окрестности 0 единицы группы 6 существует такая бикомнактная 11 Отсюда в кз упоминавшейся теоремы И в а с а в а — Г л ко о в а (сы. [191, [221) о распшреввзх группы Лв уже вытекает, что 0 есть группа Лп; однако сама эта теорема зэпяетск следствкеы форыулкруеыого виже ыезее сзльвого утверждения.
113 подгруппа Г, что все ядостаточно малые» подгруппы группы 6 (т. е. подгруппы, содержащиеся в достаточно малой окрестности Ег ~ Е)) лежат в г*'. Далее уже нетрудно прийти к следующему: в 6 имеются такая открытая подгруппа Н и такая биномпактяая подгруппа г" ~ Н, что )' является нормальным делителем в Н, причем Нс'г' не имеет малых подгрупп. Другими словами, сг содержит открытую проективно-лиевую подгруппу Н.
Как показали К. Ивасава [Е9] и А. Глисон [22], проективно-ливны группы представляются в виде обратного предела группЛи (к таким группам применим и метод аппроксимации Л. С, П о н т р я г и н а ЦЗ], рааработанный им для бикомпактных групп). Это позволяет исследовать локальную структуру таких групп и показать, в частности, что они не являются локально евклидовыми (окончательный результат(см. [30]) гласит, что в любой проективно-лиевой группе имеются сколь угодно малые окрестности единицы, распадающиеся в прямое произведение локальной группы Ли и бикомпактной подгруппы). Ограничиваясь этим кратким описанием большого круга идей, приводящих в конечном итоге к полному решению проблемы Гильберта для локально компактных групп, отсылаем читателя к статье В.
М. Г л у ш к о в а [30], в которой изложены доказательства всех утверждений, относящихся к этой проблеме и к структуре локально бикомпактных групп. Решение проблемы Гильберта для бнкомпактиых и коммутативных локально бнкомпактных групп изложено в книге Л. С. П о н т р я г и н а [13]. ЛИТЕРАТУРА [1] Р е Ф е г Р., 'ту е у 1 Н., Р(е уо1)зсапй(басе(т йет рг(пи»1теп РагзяеНип9еи ешег ЯезсЫоявеиеп )сопсшшегИсЬвп Сгирре, Май. Асш. 97 (1 927), 737 — 755 [русскяй перевод: УМН 2 (1936Ь 144 — 160] (2) С а г я а и Е., 1 а йеосче йея Ягоирез Йшз еэ сопсшиз ея ГАпа1уяш 81тив, Меш.
Ясс. Май., Еаяс. ХЬП, 1930. (3] Ко1шо8огоЕЕ А. Х., Хит Сопо1оя)зсЬ-зтирэепйеоге ПвсЬеп Ве8пшйш8 йег Сеоше(аче, Сей. ХасЬг. 2 (1930), 208 — 210. (4] Р о в Ф г ] а 8 с и 1., ОЪег зсет)бе а18еьтайнЬе Когрег, Апп. Май. 33 (1932), 163 — 174. (5) Н а а гА„Рег Мазвьез»ЕЕЕ ш йег ТЬеог1е йег Кокс(пгйеет11сЬеи Стар еп, Апп. Май. 34 (1933), 147 — 169. 6) топ Хе и ма пп Е., Гне Е1ий)Ьгип6 апа1унясЬег Рагашетег 1п Соро1об)всЬеп Сгирреи, Апп.
Май. 34 (1933), 170 — 190. [7] т оп Х е и ш а пи Х.,2ишНаагясЬеиМаязш соре!оз(всЬеп Сгирреп, Сошрошно Май. 1 )й 1 (1934), 106 — 114 [русскяа переводс УМН 2 (1936), 168 — 176]. 114 [8] Р о и с г ] а з с и 1., яиг ]ев Ягоирея (оро]оя]с)па»сов)рас(з е1 !е с1ис(и1еше ргоЫеше йе М. Н11Ъегс, С. т. Асас[. яс1.
198 (1934), 238 — 240. (9) Р о псг] а 8(п Ь., Бит 1ез Ягоиреяаье11епя сои(шия, С. г. Асай. яс1. 198 (1934), 328 — 330. (10] Р о и С г ] а 8 1 и Ь., ТЬе СЬеогу оЕ Соро1о91са1 сошшитанте 6тоирв, Апп. Май. 35 (1934), 361 — 388 [руссккй перевод: УМН 2 (1936, 177 — 195]. 11] В)г)сЬо ЕЕ С., Ейе Сгоиэя з(иср1у 1зошогрЫс н[й ио 1шеат згоир, ВиН. Ашег. Май. Яос. 42 (1936), 883 — 888. [12] Я ш 1 С Ь Р., Торо1о8(са1 Еоипйат(опз ш йе йеогу оЕ сои11- ииоив Ставя(огишйопя 8тоирв, РиЬе Май; 7. 2 (1936), 246 — 280. [13) П опт ряг як Л.
С., Непрерывные группы, ГОНТИ. 1938; второе издание: Гостехкздат, 1954. (14] М оп »8 о шету Р„Е срр)и 1., ХопаЪе1еап, сошэаст, сопиестей Сгапз(огшаноп 8тоиря оЕ СЬгее-зрасе, Ашет. Е. Май. 81 (1939), 375 — 387. (15) М а л ъ ц ев А. И., О локальных к полных топологкческях группах, ДАН СССР 32 (1941), 606 — 608.
[16] С Ь е т а 11 е у С., Тио йеогешз оп яо1таЫе Серо)о61са1 Ягоиря, МссЫЯап ЬесФигез ш Торо1о9у, 1941, 291 — 292. (17) М а л ь ц е в А. И., Топологкческне раврешямые группы, Матея. сб. 19, М 2 (1946), 165 — 174. (18] М а л ъ ц е в А. И., Топологвческая алгебра н группы Лп, Математкка в СССР яа 30 лет, Гостехнздат, 1948, 134 — 180. (19] 1 н а з а ят а К., Оп зоше »урез оЕ соро1о9тса18гоирв, Апи. Май. 50 (1949), 507 — 557.
[20] С 1 е а з о и А., Агсз 1п 1оса11у сошраст Ягоирз, Ргос, Ха(. Асай. Яс). 1)ЯА 36 (1950), 663 — 667.' (21] К и г а и 1 я Ь с М., Ои 1оса1 еисИйеап этоирз ват(з(у)и9 сег(а(п сопй)С)опз, Ргос. Ашег. Май. Яос. 1 (1950), 372 — 380. [22] С 1 е а я о и А., Оп йе ясгис(иге оЕ 1оса11у сошрас» 9тоиря, РиЬе Май. Е. 18 (1951), 85 — 104. [23) В 1 и а В., А ЬошеошотрЬ(зш Ьегнееп »Ье 3-зрЬеге аий йе яиш оЕ $»го яоИй Ьотпей зрЬегез, Авв. Ма»Ь. 56 (1952), 354 — 362.
(24] С 1е а я о и А., СгоирзъЧЬоитвшаНяиЪягойрз,Аип. Ма»Ь. 56, 962 (1952), 193 — 212. [25] М оп»Ко ш егу Р., 21р р 1 и Ь., БшаН зиЪЯгоирв ш Йвгве сИшепяюпа1 згоирв, Ашс. МаСЬ. 56, я6 2 (1952), 213 — 241. (26) с" а ша Ье Н., Оп сои[ее»иге оЕ 1нашна аий С)еаяоп, Апв. Май. 58, »5 1 (1953), 48 — 54. [27) с" а ш а Ъ е Н., А зепвгаИяапоп оЕ а йеогеш оЕ С)евяоп, Апп. Май. 58, зйя 2 (1953), 351 — 365. (28) М оп»зо шагу Р., 2[рр(п Ь., Ехашр1ез оЕ (шля[отша»)оп Этоиря, Ргос. Ашет. Май. Яос.
5 (1954), 460 — 465. (29) М оп 1 8 о ш е ту Р., 2 яр р 1в Ь., Торо1обчса1 СшпвЕогшанов згоиря, Хетт т"огЬ вЂ” Ьопйоп, 1955. (30] Г л у ш к о в В. М., Строение лопал»но бякомпакткых групп я пятая проблема Гкльберта, УМН 12, »42 (1957), 3 — 41. (31] Н 1 г я с Ь М. тт'., М 1 1 и о г 7., Яоше сипоив што1инопв оЕ ЯрЬегев, Ви11. Ашег. Май.
Яос. 70 (1964), 372 — 377. К ШЕСТОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА В. В. Гнеденхе Аксиоматическое построение основ ряда разделов физики интересовало и интересует многих выдающихся ученых. В настоящее время существует большое число таких изложений основ классической механики, квантовой физики, статистической физики и т. д.'). Это важное направление исследований заслуживает специального и пбстоятельцого обзора. Здесь мы коснемся лишь ропросов„ связанных с аксиоматяческим построением теории вероятностей.
Заслуживает.упоминания то, что для Гильберта теория вероятностей является главой физики в которой матемаанческие методы играют выдающуюся роль. Сейчас эта точка зрения уже не имеет такого распространения, которым она пользовалась на рубеже двух столетий, поскольку с тех пор достаточно определенно выявилось собственно математическое содержание теории вероятностей.
Теперь уже не вызывает сомнения то, что созданные в ией понятия и методы исследования, а также полученкые результаты имеют общенаучное значение, далеко выходящее за пределы физики и даже всего естествознания. К тому же и методологически необоснованно считать 'теорию вероятностеи частью физики или даже частью естествознания. Деиствцтельно, каждая естественнонаучная дисциплина имеет свой материальный объект исследования и ее е).В качестве крамера. можно привести работы Г. Гамеля и йе.
Маркеловго яо аксвомзткззцвк мехавмзи, ведазвке заботы Б. Ыолха ло абоскозаввю механики сшнашых сред, работы Х Каратзод ори по а к сиоматкэзцак терм одвкамвки, Д. Гзл эберт а, Л. Нордхайма, Дж. фов Неймана к Г. Бкркгофа по квантовой мехаввке.— Херил. зед. И6 содержание определяется природой тех реальных явле ний, которые она изучает. Не метод исследования, а материальный предмет исследования является определяющим для каждой науки о природе. Акустика имеет свой определенный объект исследования, и именно он, а не метод, которым изучаются акустические явления, предопределяет, будет ли данное исследование относиться кетой области физики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
