Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 26
Текст из файла (страница 26)
В создании и развитии методов доказательства. транснендентности чисел за 60 лет, прошедших со времени постановки проблем Д. Гильберта, были достигнуты существенные успехи и основная проблема, поставленная Д. Гильбертом, была решена в общем виде. Два основных метода доказательства трансцендентности, как это и было предположено Д. Гкльбертом, основаны на исследовании арифметических и аналитических свойств функции, значением которой является при алгебраическом значении аргумента исследуемое число. Мы остановимся только на основных этапах развития этих методов. ') С.
г. А«ай. «сй 18 (1844), 883, 910; 7. ваЕЬ. Ршсс «С арр1. 18 (1851), 133.— Прям. рад. 121 Геометрическая проблема трансцендентности отношения основания к боковой стороне равнобедренного треугольника, отношение углов которого будет иррациональным алгебраическим числом, сводится к трансцендаыаности числа е = 1 я«при алгебраическом и действительном а. Трансцендентность чисел вида а««' », где а + + О, 1 — алгебраическое число, а д м 1 целое, была доказана А.
О. Гельфондом в 1929 г. ') с помощью исследования роста и арифметических свойств коэффициентов раэложения функции а' в интерполяционный ряд Ньютона с уэлами интерполяции вида х+ (Уеду,где х и у пробегают все целые значения. Этот же метод был в дальнейшем использован Р. О. Кузьминым ') для доказательства трансцендентности чисел вида а е» прн прежних предположениях относительно а и «г и дополнительном условии иррациональности )~д и К.
Л. Энгелем для докаэательства трансцендентности хотя бы одного иэ периодов эллиптической функции У (х), удовлетворяющей диффе« рвнциальному уравнению [5» (х))Я = 4й (х) — ЕМ(х) яя пРи алгебРаических значениЯх инваРиантов 8'я и Яя. Трансцендентность чисел вида аа прн алгебраическом и, а+ О, 1, и р алгебраическом иррациональном (к вопросу об арифметической природе таких чисел и сводится проблема Д. Гнльберта) была впервые доказана в 1934 г. А. О. Гельфондом Я) с помощью более глубокого исследования арифметических и аналитических свойств показательных функций.
Несколько позднее эта теорема была доказана Т. Шнейдером е), который также использовал метод А. О. Гельфонда для доказательства трансцендентности каждого нэ периодов эллиптической функции при алгебраических инвариантах, а также трансцендентности многих постоянных, свяаанных с эллиптическими функциями. Трансцендентность чисел вида аа эквивалентна трансцендентности отношения логарифмов — при 1ви 1а 3 алгебраических а и р, откуда, в частности, следует, что «) С. е. Асаб. яс(. 189 (1929), 1224 — 1228.— Прим.
ред. е) ИАН СССР, сер. матам. 3 (1930), 585 — 597.— Прим. ред. ') ДАН СССР 2 (1934), 1 — 6; ИАН СССР, сер. фиа.-ма»ем. 4 (1934), 623 — 630. — Прим. ред. е) Х. геше а. аа8е«» Ма«Ь. 122 (!934), 65 — 69.— Прим. ред. 122 все логарифмы, приближенные значения которых приводятся в таблице десятичных логарифмов, — нли рациональные нли трансцендентные числа. Общая проблема отсутствия алгебраических соотношений с целыми коэффициентами между числами вида ая при прежних предположениях относительно а н р не решена до настоящего времени.
Некоторые частные случаи этой проблемы с помощью существенного усиления прежних методов были решены в 1949 г. А. О; Гельфондом. В частности, было доказано, что таких соотношений нет между числами а и а *, где а + О, 1 — алгебраическое число, а а — кубическая иррациональность. Не решена также проблема отсутствия алгебраических соотношений с целыми коэффициентами между логарифмами алгебраических чисел, исключая случай однородного соотношения между двумя логарифмами. Эта проблема представляет большой интерес с точки арения возможных приложений в области других числовых эадач, в частности решения уравнений в целых числах.
Отметим еще раз, что впервые проблематрансцендент1а и ности чисел вида аа илн — была в частной формулиров)а 8 ке поставлена Л. Эйлером (Введение в анализ, т. 1738 г,). Все числа, о трансцендентности которых мы говорили выше, являются эначеннями аналитических функций, обладающих тем свойством, что из предположения алгебранчности одного ее значения прн алгебраическом значении переменного следует алгебраичность аначений на очень плотном множестве значений аргумента вместе с умноженными на каков-то число значениями производных. 0) На ример для функции «р(~) ~ все числа —,, «р«'1(я) при г = ш + иге будут алгебраическими, 'если а, яе н и ° — алгебраические н яе — иррациональное число, а й ~ О, и«н и — целые числа.
К другому классу проблем трансцендентности относится трансцендентность эначений функций, разлагающихся в хорошо сходящиеся степенные ряды с алгебраическими коэффициентами н удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнвнкям с полнномиальнымн коэффициентами. Простейшим примером таких функций является функция е*, где число 123 е — основание натуральных логарифмов, так как И еЬ ее Ые Такие функции К. Энгель назвал Е-функциямк. В 1873 г. Ш. Эрмит доказал трансцендентность числа д '); а в 1882 г. Линдеманн е), обобщая метод Эрмита, доказал, что соотношение,"~~ Аье*» =-Оневозможно при алгвбг-г раических пе равных кулю в совокупности Аэ и алгебраических ираэличныхзь.
Этим была доказана трансцендентность я, так как е' ' = 1, что было бы невозможно, если бы я, а тем самым и 2я( было бы алгебраическим числом '). Трансцендентность я, как известно, влечет за собой и отрицательное решение проблемы квадратуры круга. Трансцендентность и алгебраическая независимость значений Е-функций, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям второго порядка при алгебраических значениях аргумента, была доказана впервые К. Энгелем ') в 1930 г. с помощью разработанного нм общего метода. Например, им была доказана трансцендентность чисел вида Х,„,). ае —,, при алгебраическом а, а + О, и, более общо, знае 1 чений функций Бесселя или цилиндрических функций.
В самые последние годы очень существенное продвижение в этом" направлении, в известном смысле слова исчерпавшее естественную проблематику этой области, было сделано А. Б. Шидловским. Он доказал, что если система Е-функций представляет собой решение системы линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами, числовые коэффициенты которых являются алгебраическими числами, то из алгебраической незави- ь) С, г.
Асад. ес$. 77 (1873), 18, 74, 226, 286,— 7Трим. ред. е) Ма1Ь. Аш1. йэ (1882) ФЗ вЂ” 1Трпп. ред. ') Вопрос об арпфметп геской природе чисел е и и имеет длвтелт пую исторюо. В 1767 г. Ламберт доказал, что чпела я в ее' (где ж рацпопальпое) пв ззлпвтся рацвопальпыпп (Мдпь Ас. Вегпп, 1761 (1768)). Лвузплль в 1840 г. (7. шаФЬ.
ршее еь арр1.) показал, что пп е, ви ее не могут явлатьсп пвадратпчпымп кррацвовальпостяпп.— 7Триа. ред. е) АЬЬ; ргепае. Асей. ее(ае., е9 1 (1929 — 1930), 1 — 70. 124 сэмостя этих функций в поле рациональных фунппий сле- дует алгебраическая независимость их значений в раци- ональном поле при алгебраических значениях аргумента, кроме, конечно, отдельных тривиальных исключенкй. В частности, например, им доказана трансцендент- СО а" ность чисел энда,~~, где а + 0 — алгебраичес(а!]» кое, а 9 ~ 1 — целое число.
Отметим также очень красивую теорему К. Малера о трансцендентности числа а а = 0,123456789101112..., другими словами, десятичной или д-ичной дроби, в кото.— рой после запятой выписаны подряд все числа натурального ряда, нли, более общо, цифры последовательных значений целочисленного многочлена Р(и), и = 1,2,3,... Этот результат получен с помощью теоремы Т. Шнейдера о приближении алгебраических чисел рациональкыын дробями н явился прямым следствием полученной позднее теоремы Рота. Помимо некоторых геометрвческих приложений факта трансцендентности тех или иных чисел, о котйрых мы ужй говорили, большое прикладное значение имеет так называемая мера трансцендентности или алгебраической независимости чисел, изучению которой посвящено много работ.
Если Р(х„..., х,) — многочлен с целымк коэффициентами, не имеющими общего делителя, верхняя грань мо-, дуля которых.Н, а степени по отношению х„..., х, будут и, ..., и„то при любых действительных значениях хм хь,... ..., х, зги коэффициенты, отличные от нуля, в совокупности могут быть выбраны так, что будет выполняться изравепство ~Р(х„..., х,)!(Н' ( ~')"'"' "'"е, е)0, где з — произвольно малая постоянная. Мерой трансцендентности или взаимной трансцендентности.чисел а„ а,..., а, называется функция Ф(Н, и,,..., и,), определяе-. мая соотношением Ф(Н, и„..., и,).= (пХ~Р(а„..., хе) ~ - и, В этом направлении многочисленные и интересные результаты принадлежат К Энгелю, Коксма, К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
