Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Лн непрерывные группы преобразований — это локально евклидовы локальные группы гладких преобразований областей евклидова пространства, в которых групповые операции определяются достаточное число раа дифференцнруемыми функциями. В локальном смысле, очевидно, группы преобразований понимаются н Гиль- бертом в его пятой проблеме. Задачу, поставленную «) См. Ф. Кл е й к. Сраэввтельное обозренвв и<зейшкх гвомвтркчесе кх ксслвдозаввй («Эрлен генскаа программаэ), пер аз Д. М. Сквпоза, в сб. «Об оскоэаннлх геомвтрнвэ, Гостехвздат, 1956, 399 — 434. -'Лр ~ р а.
«01 руются геометрические предпосылки, необходимые для построения соответствующих -. геометрий. В дальнейшем Буземан пришел к мысли о.целесообразности известного ослабления наложенных Гилъбертом требований; широким обобщением геометрий, о которых говорится в четвертой проблеме Гильберта„являются так называемые «геометрии геодезических» (6-пространства) Г. Буземана, которым посвящена монография [4). (По поводу случая несимметричного расстояния см. книгу Е. Ц а у с т и нского [9)) См.
также обзор Г, Б у з е и а н а [5), специально посвященный четвертой проблеме Гильберта. К ПЯТОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА р *е ЛИТЕРАТ'УРА [1) Г к л ь 6 е р т Д., Осковвккя геокетркк, Гостехквдзт, 1943.' [2) Б увела к Г. к К елки П., Проектввквя геомвтркя к пр ектвв е мв рюш, ИЛ, 1957. [3) Н'а ш ш е 1 С., ()Ьег йсе Сеозсет»1еп ш йепеп й!е Сесзйеп «Пе Кйгзев»еп апй, Мз»Ь. Ашь 57 (1903), 231 — 264. [4) Б у з е м а к Г., Геометрия геодезкческкх, Фкзматгкз, 1962. [5) Б у з е м а к Г., О четвертой проблеме Гкльберта, УМН 21, гй 1 (127) (1966), 155 — 164.
[6) У и и )с Р. ЮЬег сце Сеошетс«еп, Ьес йепек «Ие Се»айвз йсе Кйгзев»вп в[пй, Мат)с. Апп. 101 (1929), 226 — 237. [7) В и в е ш а п и Н., Ме»г[Ь Ме»Ьойв Ьт Рш«1ег Зрасев зпй ш сЬв Роппйа»1опв о( Сеозсесгу, Ргшсе«оп, 1942. [6) В п в е ш з и и. Н., Оп врзсев ш се)с)сЬ С»со Зо[п(в йе»егкйпе з йеойемс, Тгзпв. Ашег. МаСЬ. Зос. 54 (1943), 171 — 134.
[9) 2 а и в С с и в )с у Е. М., Зрзсев к1»Ь поп-ву шшетс1с й[в»зпсвв, Кем Хат[с, 1959. Понятие топологической (или непрерывной) группы возникло в математике в конце прошлого столетия в связи с развитием теоретико-групповых принципов в геометрии, принадлежащих в основном Ф. Клейну н С. Ли. Еще в 1872 г. Ф. Клейн предложил рассматривать различные геометрические теории как теории ииваризнтов тех или иных групп преобразований' ). В аналогичной роли непрйрывные группы используются и в исследовашсях С. Ли, основателя теории групп Ли.
Однако развитие теории топологнческих групп, а также построение основ этой теории начались гораздо позже — в конце 20-х и начале 3)-х годов ХХ в. Большое влияние на развитие теории топологических групп оказала пятая проблема Гильберта. Топологические группы появились первоначально как непрерывные группы преобразований. При этом очень часто непрерывные группы употреблялись совсем не в том смысле, который придается этому понятию сейчас, а лишь как локальные группы преобразований. Так, в работах С.
Ли непрерывные группы преобразований — это локально евклидовы локальные группы гладких преобразований областей евклидова пространства, в которьсх групповые операции определяются достаточное число раз днфференцируемыми функциями. В локальном смысле, очевидно, группы преобразований понимаются и Гиль- бертом в его пятой проблеме. Задачу, поставленную с) См. Ф. К л е й к. Сравкктеяькое обозрение нсзейшкх .геомвгрктесккх ксследовзвкй («Зрязкгексквя программа»), перед» Д.- М. Сккповз, в сб. «06 осковвккях геометрии», Гостехкздзт, 1956, 399 — 434. -')Ур . р Е. мм Гильбертом, кратко можно сформулировать так: можно ли выбрать координаты в локально евклидовой группе преобразований и в той области, над которой совершаются преобрааования, таким образом, чтобы функции ..., ~„, е1,..., е„определяющие группу преобразований (см.
текст проблемы Гильберта) в этой системе координат, были дифференцируемыми (или дюке аналитическими), если известно лишь, что в некоторой системе координат функции, задающие эту группу, являются непрерыв- НЫМИ? В дальнейшем наряду с исследованиями, в которых топологические группы рассматриваются преимущественно как группы преобразований, все большее значение приобретают работы, в которых эти группы выступают и как самостоятельный объект изучения.
Это мы видим, например,' в работах Брауэра|). (1909 — 1912 гг.), в которых он исследует группы преобразований прямой и евклидовой плоскости (где, в 'частности, им построен пример преобразования плоскости беэ неподвижных точек, не гомеоморфного обычному сдвигу); в работах Брауэра было фактически дано определение топологической группы в том смысле, в котором оно теперь считается общепринятым, и 'было показано, что канторово совершенное множество является пространством некоторой такой группы.
Окончательно отношение к топологическим группам как к самостоятельному и важному объекту исследования выработалось в конце 20-х и начале 30-х годов. К этому времени относится возникновение целого нового и самостоятельного раздела математики, занимающегося изучением различного рода алгебраических образований, наделенных топологией, — групп, колец, тел и др. (несколько позже зта область математики получает название топологической алгебры).
Большое влияние на развитие топологической алгебры оказала работа А. Н. К о л м ог о р о в а [31, в которой им дана аксиоматика пространств постоянной кривизны, основанная на характеристике их топологии и группы движений, а также работа Л. С. П о нт р я г и н а [41 о топологически-алгебранческой характеристике топологических тел. Последовавшие вслед за этим основополагающие работы фон Н е й м а н а ([61, ') См. МаЬЬ. А в. В7 (1ООО), 24В; ВО (1МО), 1З~ — ЛОЗ к др.— арал. рвг. 102 [71) и Л. С.
П о н т р я г н н а ([81, [91, [101 и др.) послужили окончательным толчком для бурного развития теории топологических групп и всей топологической алгебры, приведшего в конечном итоге и к решению пятой проблемы Гильберта. Примерно з те же годы происходят большие сдвиги и собственно в теории групп Ли (т. е. локально евклидовых групп, пространства которых являются гладкими многообразиями, а операции не только непрерывны, но и дифференцируемы).
В работах Э. Картана (см., например, [21), Г. Вейля и др. авторов в значительной степени были исследованы глобальная структура групп Ли и их связь с подгруппами групп линейных преобразований. Э. Картаи, доказав воэможность построения группы Ли по любой алгебре Ли,показал тем самым,что любая локальная группа Ли изоморфна окрестности единицы некоторой глобальной группы Ли. Вместе с развитием теории топологических групп и теории групп Ли отношение математиков к трактовке 'задачи, поставленной Гильбертом, постепенно изменилось.
Проблема Гильберта стала рассматриваться в большей степени для самих топологических групп (локально евклидовых), чем для групп преобразований, причем преимущественно для топологических групп в целом, а не для локальных групп. Традиционной стала следующая формулировка пятой проблемы Гильберта: Яеляепггя ли группой Д'и любая локагьпо ееялидоеа топологическая группа (при подходящем еиборе локальных воординаж)? Что касается соотношения между локальными и обычными топологическими группами, го здесь, как отмечалось выше, положение оказалось вполне ясным в случае групп Ли — всякая локальная группа Ли является частью некоторой глобальной группы Ли.
Вопрос о том, справедливо ли зто утверждение для произвольных топологических групп, был поставлен П. С и и т о и [121 и Л. С. П о н тр я г и н ы м [131, в работах которых были впервые четко систематизированы определения всех понятий, относящихся к локальным топологическим группам. Ответ на этот вопрос был получен А. И. М а л ь ц е в ы м [151, показавшим, что не всякая локальная группа является частью некоторой топологической группы; в то же время А. И; Мальцев на|пел некоторое алгебраическое условие, 103 необходимое и достаточное для того, чтобы локальную группу можно было включить в некоторую топологичес кую группу. Однако неясно, для всякой ли локально евклидовой локальной группы существует локально изоморфная ей обычная топологическая группа, причем эта задача, повидимому, очень сложна (см.
об этом, например, в обзоре А. И. Мальцева [481). Несколько замечаний к той части проблемы Гильберта, которая относится к группам преобразований. Простые примеры показывают, что непрерывное действие группы Ли может не быть аналитическим ни при каком выборе координат в пространстве: например, можно определить действие аддитивной группы действительных чисел на евклидовой плоскости, при котором замкнутый круг является множеством неподвижных точек (как известно, при нетривиальном аналитическом действии множество неподвижных точек не может содержать внутренних точек). В конце 30-х годов Д.
Монтгомери и Л. Ципп и н [141'доказали, что всякая компактная связная группа, эффективно действующая на трехмерном евклидовом пространстве, является либо группой вращений оО(2), либо группой собственных ортогональных преобразований трехмерного пространства оО(3), причем ее действие эквивалентно стандартному действию соответствующей группы. Положение резко меняется, если рассматривать несвязные группы или увеличить размерность пространства. Сравнительно недавно (в $952 г.) Р. Б инг[231 построил любопытный пример действия циклической группы второго порядка на трехмерном евклидовом пространстве, не эквивалентного никакому гладкому действию. Б т 954 г., используя те же идеи, что и Бинг, М о н т г ом е р и и Ц к и п и н [281 построили пример действия ЯО(2) на четырехмерном евклидовом пространстве, не являющегося гладким ни при каком выборе гладкой структуры на этом пространстве; очевидно, можно определить аналогичное действие аддитивной группы действительных чисел.
Интересен также недавний результат Д. М и ли о р а и М. Х и р ш а [311, показавших, что на каждой сфере размерности ь 8 существует, кусочно линейная инволюция, которая не эквивалентна никакой гладкой инволюции. И хотя теория групп преобразований уже имеет свою историю (отметим, что интенсивное развитие топологичесвих аспектов теории групп преобразований ]04 началось в конце 30-х годов и в 40-е годы и не ослабевает до сих пор), мало что известно о непрерывных действиях групп Ли, если эти действия не предполагаются гладкими '). Пятая проблема относится к числу решенных проблем Гильберта: сформулированный выше вопрос решается положительно — всякая локально евклидова топологическая группа есть группа Ли. Решение этой проблемы явилось следствием очень длительного и сложного процесса построения глубокой теории локально бикомпактных топологических групп, исследования их.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
