Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Таким образом, для решения проблемы Гильберта остается решить уравнения третьей и четвертой степени. О трудностях, связанных с решением таких уравнений, уже говорилось. В последнее время получен ряд интересных результатов, относящихся к решению диофантовых уравнений Р(х„..., х„)= О, где Р— форма от в переменных '). Одна из основных гипотез теории диофантовых уравнений состоит в том, что если число переменных достаточно велнкопосравнению со степенью формы Р(х„... ..., х„), то уравнение Р = О, вообще говоря, имеет нетривиальное (т. е.
ненулевое) решение. Более точная гипотеза Артнна утверждает, что форма нечетной степени Н от л переменных вмеет нетривиальный нуль, если и ~ У. Гипотеза Артина доказана пока только для й = 2. Б е р ч [161 доказал, что форма нечетной степени представляет нуль, если число ее переменных достаточна велико по сравнению со степенью. Д э в е н и о р т [17) доказал, что всякая кубическая форма от шестнадцати переменных имеет нетривиальный нуль.
Б е р ч [181 рассматривает также вопрос о представлении нуля системой форм степени Н, в которых число переменных велика по сравнению со степенью. Упомянутые работы связаны с представлением нуля формами. Вопрос о представлении нуля многочленами степени выше второй изучен совсем мало. Д э в е ни о р т и Л ь ю и с [151 рассматривали уравнение третьей степени Р(х„..., х„) = 0 в предположении, что форма третьей степени, входящая в Р, является суммой произведений форм первой и второй степени. Ряд авторов занимается исследованием конкрет- г) решение телих уравиеввй связано с другим зашкым валравлевяем двофзвтова авалкза — решением урзвневвй в рациональных числах. Отыекавзе рациональных решеявй дяофязтозых уравнений как раз сводятся и отыслаяяю целых решввзй уравнения Р = О, где Р— форма с целыми (влм рзвяаязлъвимя) коэффициентами, ных диофантовых уравнений степени выше второй.
(См., например, [261). В последнее время получен ряд результатов алгорифмического характера, относящихся к решению неопределенных уравнений над полем р-адических чисел. Это представляет известный интерес и для диофантовых уравнений, поскольку между диофантовым и р-адическим анализом имеется определенная связь. Она состоит в следующем. Рассмотрим диофантово уравнение Р(х„..., х„) = О н сравнение Р =— 0 (шоб т). Если уравнение имеет решение, то сравнение разрешимо при любом модуле ж. Обратное, вообще говоря, неверно.
Но иногда верно и обратное, например, если Р— квадратичная или линейная форма. Таким образом, вопрос о том, когда сравнение Р вв 0 (шой т) разрешимо при всех гв, имеет значение для выяснения вопроса о там, когда уравнение Р = 0 имеет решеяие. В частности, в связи с десятой проблемой Гиль- берта интересно, существует ли алгорифм, распознающий по данному многочлену Р с целыми коэффициентами, разрешимо сравнение Р = — 0 (шод ш) кри всех т или нет. В 1906 г.
Гензель ввел Р-адические числа и доказал, что сравнение Р ив е 0 (шой т) разрешимо при всех т тогда в только тогда, когда уравнение Р = 0 разрешимо в р-адических числах при всех р(р — простое число). В связи с этим интересно [201, что существует алгорифм, распознающий по данному многочлену Р с целыми коэффициентами, имеет ли уравнение Р = 0 р-адические решения. Более того ([211, [221) существует алгорифм, распознающий по любой арифметической формуле, истинна эта формула в поле р-адических чисел (при фиксированном р) или нет. В частности, зто относится к формулам вида аахм..., Ях„(Р(хы..., х„) = О), выражающим разрешимость диофантовых уравнений в р-адических числах.
Однако вопрос о том, существует ли элгорифм, распознающий по данному многочлену Р с целыми коэффициентами, разрешимо ли уравнение Р = 0 в Р-адических числах при всех р, оставался открытым. Существование такого алгорифма доказано недавно Аксом. (Сы. 7. А х, ТЬш е1ешепФагу Фвеогу о1 йпбсе Вейз, Апп. Маь)г. 88, № 2 (1968), 239 — 271,) Для современного подхода к диофантовым проблемам, з частности к проблеме Гильберта, с положительной точки $И зрения вообще характерны широкая постановка задач, выход за пределы области целых чисел, использование новейших идей алгебры, топологии, анализа. Обсуждение диофантовых проблем в этом плане мох«но найти в докладе М а ни н а [23] и обзорной статье Л е н г а [24). О перспективе применения новых методов в диофаптовом анализе говорит также Д ь е д о н н е [25).
ЛИТКРАТУРА [1) Г а у с с К. Ф., Труды по теории чисел, Изд-во АН СССР, 1959, 151 — 468. [2] ТЬ се А., Веже»1сзв8еп 6Ъег Сом(ззе МаЬегш|8зЬгбсЬе а)8еЬга!зсЬег ЕаЫеп, СЬгшнап!а, 1908. »18евзйаЬз-зе)з)гаЬе(з зйг)1- Гег. 1 Ма$Ь. вагпгч. К)аззе, )|е 3 (1908) (см. тю|в|е [3]). [3) Д ел о ие Б.
Н., Ф ад деев Д. К., Теория иррациовальиостсй третьей степеив, Тр. Матем. ии-та АН СССР им. В. А. Стеклова, т. 11, Изд-во АН СССР, 1940, [4) Боревич Я. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел„«Наука», 1964. [5] М ар к ов А. А., Теория алгорифмов, Тр. Матем. ии-та АН СССР им. В. А. Стеклова, т. 42, Иад-во АН СССР, 1954. [6] Д е в и с М., Арифметические проблемы и рекурсиввоперечислимые предккаты, Математика (сб.
перев.) 8, 7|5 5 (1964). [7] Деево М., Путпам Х., Роб иксов Дж, Проблемы разрешимости для показательво-диофавтовых ураввекпй, там же. [8] П у т и а м Х., Об одной керазрешвмой проблеме арифметики, там же. [9) Р о б и и с о и Р., Арифметическое представлеиие рекурсизио-перечиглеикых множеств, там же. [10) Д е в и с М., П у ти а м Х., Диофаитсвы множества з полвиомиальиых кольцах, там же.
[11] Р а ч]з М., Р)орЬавг)ве в|)панове авй гесшз)че)у евишегаЫе зе»з. «Аз(овш(а |Ьеогу», Асаб. Ргезз, Мем гог)с — г,сидов, 1986, 146 — 157. | [12) Д е т л о в с В. К., Эквивалентность нормальных алгорифмов и рекурсивных функций, Тр.
Мате||. ии-та АН СССР им. В. А. Стеклова, т. 52, Изд-зо АН СССР, 1958, 103 — 107. [13] С а и о в И. И., Свойство одного представлевия свободной группы, ДАН СССР 57, М 7 (1947)„ [14] Я Ь о 1 е |и Т., ГпорЬзвпзсЬе О)е1сЬзвЯев, Вег)ш, 1933. [15) Р а ч е в ро гг Н., 1 еч | з, Моз-Ьошобепеоиз сиЪ|с ер|аповз, 7. Бовбоп МагЬ. Яос. 39, «6 4 (1964), 657 — 671. [16) В | г с Ь В. 7., Ношобевеоиз 1огп|з о( о|)«) бебгее ш а )агбе вишЬег о( чагиЫез, Ма«Ьсша11Ьа 4, «и 8 (1967), 102— 105. Н7] Р а те в ротс Н., СзЫс Еогшз )п ыхгеев чапаЫез, Ргос.
Воу. Яос. А 272 (1963), 285 — 303. 152 [18) В | г с Ь В. У., Рогшз ш шапу чаг)аЫез, Ргос. Воу. Яос. А 265 (1962), 245 — 263. [19] Д з в е и п о р т Г., Высшая арифметика, «Наука», 1965, стр. 154. [20) М е г о 4 е А., А бес[а)оп ше|Ьоб (ог р-аб(с (в»езта) зегоз о(81орЬавпве е)аановз, ВзП. Ашег. МагЬ. Яос. 69, 7|а 4 (1963). [21 ] А к с Дж, К о ч е к С., Дисфавтозы проблемы иад коиечвыми полями, Математика (сб. перва.) 9,,М 5 (1966). [22] Е р ш о в Ю. Л., Об елемевтарвой теории макею«альиых иормировавиых полей, ДАН СССР 165, га 1 (1965).
[23) М а и и и Ю. И., Двофавтовы ураввевия и алгебраическая геометрия, Тр. 1» Всееовзвого математического съезда, т. П, 15 — 21. [24) Л е в г С., Некоторые результаты и предположения в теории диофаитозых уравиеквй, Математика (сб. перев.) 5, М 6 (1961). [25) Д ь е д о и и е Ж., Современное развитие математш|в, Математика (сб.
перев.) 10, «в 3 (1966). [26] С е р пинок ий В., О решевии ураввевийв целых шглах, Физматгиз, 1961. К ОДИННАДЦАТОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА И. Л'. Манин Формулировка этой проблемы может быть истолкована в узком смысле, как задача перенести ка поля алгебраических чисел результаты теории квадратичных форм нзд полем рациональных чисел, известные к 1900 г. Более пщрокое точкование вынуждает отнести к кругу вопросов, связанных с одиннадцатой проблемой, всю серию результатов Хассе, Гекке, Знгеля (называя лишь центральные имена) по арифметической н аналитической теории квадратичных форм над числовыми полями и вх современную интерпретацию и обобщение, связанные с введением аделей и чисел Тамагава.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
