Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Приняв зту последнюю точку зрения, мы оказываемся перед необходимостью обозреть большой по объему и технически сложный материал по арифметике алгебраических групп, в особенности ортогональной группы, накопленный к настоящему времени. Поэтому, заведомо жертвуя полнотой, мы опишем лишь немногие центральные понятия и результаты, не пытаясь объяснить нх доказательства. Пусть к — некоторое поле алгебраических чисел, Л д— квадратичные формы над к Формы ~ и б зкеиеалентнм над к, если одна переводится в другую невырожденной линейной подстановкой. Число а е= к кредстааелетск формой Л если уравнение / = а разрешимо в к.
Эквивалентные формы, очевидно, представляют одну и ту же совокупность чисел из к; классические постановки задач состоят в классификации форм с точностью до зквивалентности и в описании множества чисел, представимых данной формой. Оба эти вопроса являются частными случаями вопроса о екредставнмостн формы формойз: существуетлилянейнаяподстановка, переводящая у в д9 154 Фундаментальный результат Хассе ') (подготовленный более ранними исследованиями Лагранжа, Минковского и других) дает следующий ответ на зту задачу. Рассмотрим пополнения к, поля )с по всем (архимедовым и неархнмедовым) метрикам з. Существует очевидное необходимое условие представимости д с помощью ~: она должна иметь место во всех полях й,.
Хассе доказал, что зто условие н достаточно. Смысл атой редукции глобальной задачи к набору локальных состоит в том, что в полях й, арифметика значительно проще. Если в описанной постановке заменить поле к кольцом целых чисел о, рассматривая формы, эквивалентность и представимость с коэффициентами в о, то положение усложняется.
Из того, что две формы всюду локально целочисленно эквивалентны (т. е. над пополненными кольцами о, для всех е), еще ие следует, что онк эквивалентны над о. Множество всюду локально целочисленно эквивалентных форм — род форм — разбивается на конечное число классов форм относительно зквввалентностн иад о. С другой стороны, вопрос о представимости может быть в атом случае значительно уточнен: например, для положительно определенной квадратичной формы ~ над Я и любого числа а ~ Я мы можем спросить, сколько решений имеет уравнение у = а.
К. 3 и г е л ь в работах (9), (10) установил ряд замечательнь|х результатов о связи числа целочисленных и локальных решений задачи о представлении. Мы опишем сейчас одну из его формул, относящуюся к случаю положительно определенных форм кад Я. Рассмотрим некоторый род квадратичных форм, и пусть Д,) — представители всех классов форм в этом роде. Будем рассматривать представление некоторой формы д формами /, Обозначим через Е(~,) порядок группы целочисленных автоморфизмов формы Л, а через .4Ц, д) — количество целочисленных представлений формы 3 формой Л.
Взвешенное среднее чисел А(Л, я), взятое по всему роду: р(У, д) = (Х А(Л, д)/Е(Л))/~Х)Ф(Л)) з) Т. Сгейез, $53 (1923), ИЗ-130; УэЬгезЬег. ЭтсЬ, Иай.- Уэь, Той 1, 33 (1936), 1-33; ТзЦ 1з1 Зб (1937), 333-311.— ~ТРик Рд™ $33 называется «мерой представления формы д родом (~,.)» и является разумной заменой понятия «чнсло представлений формы формой». Необходимость усреднения по роду вытекает иэ существа дела: если мы хотим выразить число представлений в чисто локальных терминах, то мы неизбежно утратим различие между классами в данном роде, а они действительно могут давать разные числа представлений.
Локальные «меры представления» вводятся следующим образом. Пусть сначала э — р-аднческая метрика. Обозначим через А„«(у, л) число представлений г с помощью / в кольце Я/ р'Я и положим, обозначая через п, т, ранги л, ~ соответственно: в (ти-и а,(/, ь) = )„»(ра) « " 4„а(у,) где Хр — 1 при и,» л«и Х„= 1д прн я — в« Множитель, соответствующий архимедовой метрике, а Д, г), определяется так. Введем в пространстве Ъ' форм над В и в пространстве Х преобразований ~ в формы ранга п над В согласованные инвариантные меры; тогда / отображает Х в У; коэффициент искажения объема в точке У, соответствующей э, и равен а (/, у) (или 2 а„Ц, г) при т=и+ 1). В описанных обозначениях формула Энгеля выглядит так: )«(У, а) = Па" У, а), где и пробегает все метрики поля Д. В последующих работах Энгель перенес этот результат на случай произвольных числовых полей, а также обобщил его, рассматривая не только положительно определенные формы.
В этом случае нуждается в переопределения число рД, л); не останавливаясь на подробностях, укажем лишь, что усреднение по роду перестает быть необходимым, потому что меры представления для всех классов оказываются одинаковымн (см.
К н е з е р (61 и литературу, указанную там). В книге Э й х л е р а ~51 подведены итоги исследований по теории квадратичных форм до 1952 г. и последовательно проведена геометрическая концепция, эффективно использованная В и т т о м (13). С геометрической точки зрения теория квадратичных форм над полем й — это теория абстрактных «метрических пространст⻠— линейных пространств над )«, снабженных скалярным произведением. Понятия, связанные с кольцом, естественно появляются при рассмотрении «решеток» в таком метрическом пространстве.
На первый план при таком изложении выходит ортогональная группа автоморфиэмов метрического пространства, которая с алгебро-геометрической точки зрения представляет собой группу й точек некоторой линейной алгебраической группы, определенной над й. Анализ результатов. Энгеля с этой точки зрения привел независимо Т. Тамагава и М. Кнезера к переформулировке теоремы Энгеля, которая стала интерпретироваться как вычисление инвариантного объема фактор-пространства группы аделей ортогональной группы по дискретной подгруппе главных аделей — так называемого «числа Тамагава». Подробнее, пусть 6 — некоторая связная линейная алгебраическая группа, скажем, над полем рациональных чисел ().
Рассмотрим фиксированную левоинвариантную дифференциальную форму «о старшей размерности на 6. Ее «интегрирование» определяет набор инвариантных мер а, на локально компактных группах 6((),) ч,-точек группы 6 (только условие инвариантности определяет локальную меру лишь с точностью до множителя из ()„; выбор «э дает возможность согласовать эти меры, ограничив произвол до общего множителя из к). Обозначим через 6л группу аделей группы 6; это — подгруппа произведения Ц6(Д„), состоящая«из векторов, почти все координаты которых целые.
Группа 6(~) диагонально вкладывается в бл. При некоторых естественных условиях на 6 (выполняющихся для ортогональных групп) объем фактор-пространства 6,~ / 6(ч) конечен. Как следует из «формулы произведения», он не зависит от выбора а. Этот объем называется числом Тая«агава группы 6 и обозначается через т(6). Теорема Зигеля формальным и несложным подсчетом сводится к утверждению о том, что т (6) = 2, если 6— (собственная) ортогональная группа. Определение чисел Тамагавы немедленно переносится на широкий класс линейных алгебраических групп; методы их вычисления были развиты А.
В е й л е м и Т. О н о в работах (7), (81, (11). 157 Самые последние идеи в этой области относятся к вопросу о возможности перенести определение чисел Тамагавы н найти аналоги результатов Зигеля в случае,"когда О является абелевым многообразием. Результаты в этой области еще весьма отрывочны, но ряд точных и глубоких гипотез был высказан Берчем, Сункнертоном-Дайером н Тзйтом; их внутренняя согласованность и подтверждающий их проведенный на вычислительных машинах просчет большого числа частных случаев делают зти гипотезы весьма заманчивой целью исследований.
Литература по атому вопросу — статьи [2), [3), [4).' ЛИТВРАТУРА [1) В о г в 1 А., Аг[ФЬшв11с ргорвгФ!зз о1 а16еЬга[с эгопрв, Ргос Хпа Маей. Сопбгвзв, Я»осЬЬо[ш, 1962 (русский пврввод: Математика сб. перев. 8, Ха 2 (1964), 3 — 17). [2) В 1 г с Ь В. Х., Соп)ссспгвз сопсвгпш8 еШрмс спггвв, ТЬвогу о( ппшЪсгз, СаВХогп(а, 1965, 106 — И3. [3) В 1 г с Ь В.
Х.-, Я и 1 п п в г С о п - 1) у в г Н. Р., »[о(вв оп е111рмс спггвз П, Х. 1. гвшв и. аплсзг. Ма»Ь. 218 (1965), 79 — 108. [4) Са зав1в Х. Ю. Я., О(орЬап»шв сяпамопв вг1»Ь вовс(а1 гв(вгвпсвто зШрпс сш"гсвг Х. Х.овб. Ма»Ь. Яос, 41, р. 2а Хй 162 (1966), 193 — 291 (руссквй перевод: Математика, сб. перев. 12, Хй 1 (1968), И4 — 160; 12, М 2 (1968), 3 — 48). [5) В 1 с Ь 1 в г М., Опзбга»(зсЬе рогшвп пш1 огФЬобопа1в Огпррсп, Ввг1(п, 1952.
[6) К п е в в г М., Х)аш»с)[опбзшаввв $пбв(1п(гвг ЧпабгапзсЬвп рогшсп, Ма»Ь. 2. 77 (1961), 188 — 194. [71 О и о Т., ТЬс Тавшйава ппшЪвг о( а18еЪгаж »оп, Апп. Ма(Ь. 78 (1965), 47 — 73. [8[ О п о Т., Оп»Ьв гв)амтв 1Ьвогу о1 Ташайаиа ппшЪвгз, ВпБ. Ашег. Ма»Ь. Яос. 70 (1964), 325 — 326. [9) Я 1 с 8в1 С. 1., ОЪвг 61в апа1у»(зсЬв ТЬвог(с бвг опабга»1- зсЬзп Рогшвп 1, 11, 111, Апп. Ма»Ь. 36 (1935), 527 — 606; 37 (1936), 230 — 263; 38 (1937), 212 — 291. [101 Я г в 6 в 1 С.
Х., Хппз(ш(»в ЧпабгаквсЬв Рогшвп ппб Р ЬПопвп»Ьвопв. 1, 11, Ма%. Апв. 124 (1951), 17 — 54, 366 — 387. [И) ~Ч в[1 А., АЙЫзв апб а18вЪга[с бгоппз, Ргй»св(оп, 1961 (русский пврввсд: Математика, сб. перев. 8, М 4 (1964); 3 — 74Ъ [121 Ж в (1 А., Яш 1а Хогшо1в бв Я(збе1 бапз )а »Ьбомв дев йгопрез с1азпбпсв, Ас(а МаФЬ. 113 (1965), 1 — 87.
[13[ %1»1 Е., ТЬеопв бог чпабшпвсЬзп Фогшвп (п ЪсйвЪ[бвп Х(бгрвш, Х. 1. геше и, апбвп, МасЬ, 176 (1937), 31 — 44. К ДВЕНАДЦАТОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА Ю. ХХ. Манин Теорема Кронекера — Вебера утверждает, что максимальное абелево расширение Ао поля рациональных чисел (3 порождено всеми корнями иэ единицы (идейно прозрачное и элементарное доказательство принадлежит И.
Р. Ш а ф а р е в и ч у [10)). Из 'этого результата немедленно получается описание группы Галуа А 0 / ® она изоморфна П УР, где УР— группа р-адкческих едиРФРаа ннц. Действительно, если Ъ вЂ” примитивный корень нэ 1 степени и», то группа Галуа расширения ()(ь) / ~) кзоморфпа (Я / тЯ)*,и1[ш (Ю / т2) в = Пб' . Более деталь»в РФг»» ное исследование этого изоморфизма позволяет придать явную форму закону взаимности н получить подробные сведения об арифметике полей, соответствующих различным подгруппам группы Галуа.
Группа П г/ изоморфна УРРА» фактор-группе классов иделей Хо / ()в по ее связной компоненте. В этой формулировке результат кереноснтся на произвольные поля /г, [/г: ф ~. оо: для любого такого поля группа Галуа максимального абелева расширения 4» поля к изоморфна фактор-группе классов иделей Х» //г» поля /с по ее связной компоненте. Подгрупка„соответствующая абелеву полю К:з /с, порождена классами норм иделей поля К. Приведенная формулировка основного результата современной теории полей классов выкристаллизовалась постепенно в результате работ самого Гиль- берта, Такагн, Чеботарева, Артина, Хассе, Шевалле, Накаяма, Хохшильда, А. Бейля, Тэйта и ряда других 159 Самые последние идеи в этой области относятся к вопросу о возможности перенести определение чисел Тамагавы и найти аналоги результатов Зигеля в случае,~когда (" является абелевым многообразием.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
