Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Имеется ряд реэультатов (см. [18) — [24)), дополняющих теорему А. Н. Колмогорова. Отметим здесь, что Б. Л. Фридман в студенческой работе покаэал, что в конструкции А. Н. Колмогорова внутренние функции (аьу (х;)) могут быть выбраны удовлетворяющими условию Липппща. При рассмотрении суперпоэиций гладких функций характер реэультатов существенно меняется. Один иа таких реаультатов был укааан в п. Ш.
Еще один результат свяван с рассмотрением так наэываемых линейных суперпоэиций. У. ЛИНЕЙНЫЕ СУПЕРПОЗИЦИИ Одной иэ наиболее интересных эадач в тематике суперпоэицнй в настоящее время представляется следующая: существует ли аналитическая функция двух переменных, не представимая в виде конечной суперпоэиции непрерывно дифференцируемых функций одного переменного и операции сложения. Линейные суперпоэицни появляются в результате следующих рассуждений. Пусть функция двух переменных 7 (х, у) является суперпоэицией некоторых гладких функций одного переменного Щ1)) и операции сложения. Проварьируем эту суперпоаицию, т.
е. рассмотрим суперпоаицию Дх, у) того же вида, но составленную иэ функций (~~ (1) + ~р~(1)), где (<р~(1)) — малые возмущения, кохорые тоже являются гладкими функциями одного переменного. Тогда равность этих суперпоэиций можно записать в виде / (х, у) — / (х, у) = ~ р, (х, у) ~р,. (д, (х, у)) + ~1 +о(шахэкр[<р,(~)[), (3) 4 где функции (р; (х, у)) выражаются через исходные функции и их проиэводные, а потому про них известно лишь то, 167 Что онн непрерывны", (дз (х, уЦ выражаются только через функции (Ез (ЕЦ, следовательно, они непрерывно дпфференцпруемы; остаточный член есть бесконечно малая величина по сравнению с шах впр ]срз (1) ], если только функции ~ зс(с» ч с имеют некоторый фиксированный модуль непрерывности. Равенство (3) дает некоторую надежду на сведение общей аадачп о суперпозпцпях гладких функций к отысканию аналитических функций, пе представимых суперпозициямп вида „Я~ рз(х, у) ср. (сг (х, у)), (4) 1 3 гдв (рз (х, у)) — наперед фиксированные непрерывные функции, (дз (х, у)) — наперед фиксированные непрерывно дифференцируемые функции, а (зрз (ЕЦ вЂ” произвольные непрерывные функции одного переменного.
Такие суперпозпцип будем называть линейными, подчеркивая этим, что функции (рз (х, уЦ п (уз (х, у)) фиксированы, а от переменных функций (срз (ЕЦ суперпозиция зависит линейным образом. Отметим здесь же, что суперпозпцпи А. Н. Колмогорова (2) также линейные, причем « все р, —.= 1, а уз =,~~схс,; (х;) (з' = 1, 2,..., 2и+1) явля!=з ются фиксированными непрерывнымп функциями. Оказалось (см. [9), [10), [11)), что множество суперпозицпй вида (4) является аамкнутым н нигде не плотным в пространстве всех непрерывных функций двух переменных. Отсюда, в частности, следует, что существует даже многочлен, не представимый суперпозицией вида (4). Что касается воэможности сведения задачи о суперпоэпцняхгладкпхфункций к задаче о линейных суперпоэицпях, то оно удается в случае «устойчивых» суперпознцпй.
На этом пути возможно доказать, например (см. [24)), что нельзя представить все аналитические функции п переменных суперпоэицнями непрерывно дифференцнруемых функций от ]с переменных (й ~=' и) так, чтобы малым изменениям (в равномерной метрике) разлагаемых функций соответствовалн столь же малые изменения функций, составляющих супе рпозпцню. 168 ЛИТЕРАТУРА [11 Н з 1Ь ег1 Ез., МасЬевзаь!всЬе РгоЫеше, Совашш. АЬЬ., Ш, 1935, 290 — 329. [2] О в Ф г о чс в Ь ! А., СЬег Рп1сЬ]есасЬв ВвзЬев свб а]йвьюз- всЬв В!(Евген!!а!6!е!сЬавбеп, Ма»Ь.
р. 8, ]зй 3 — 4 (1920), 241— 298. [3] Н ! 1 Ь в г Ф В.; Е]Ьвг йе С1М«Ьавб весш зев Огабвв, Св.щвна. АЫз., 11, 1933, 393 — 400. [4) В н т у ш к в н А. Г., К тоюшдцатой проблеме Гяльбврта, ДАН СССР 95, 7сй 4 (1954), 701 — 764. [5] К ол мог ор ов А. Н., Оценки минимального чисза элементов в-сетей в различных фувацвояааьяых классах и нх при- менение к вопросу о представимости функцяй некоаьккх ввремек- кых супврповвцвякк ~уккцкй меньшего числа переменных, ДАН СССР 101, М 2 (1955), 92 — 194.
[6) К ох н о гор о в А. !з., О предо»валенки непрерывных уякцвй нескольких пвремеанмх сукернознцнени непрерывных уякзвзй меньшего числа нервменных, ДАН СССР 108, 74 2 (1956), 179 †1. [7] А р к ол ь д В. И., О функциях трех переменных, ДАН СССР 114,И 4 (1957), 679 †6. [8) К ол мог о р он А. Н., О представлении непрерывных увкцяй нескольких нврвквнвых в вняв сукерпоащви нвввезыввых увкцвй одного переменного н саожввня, ДАН СССР !14, 7сй 5 (1957, 953 — 956. 9] В и т у ш к н н А. Г., Нвкоторыв свойства линейных сунео- воапзвй гладких функцвй, ДАН СССР 156, М 5 (1964), 1003 — 1006. [10] В и т у ш к н н А. Г., Доказательство существования ана- лвтюзвсквх фуикцвй многих переменных, не представим»за лвией- ными супвркоавцюзмк неарерызко дкффервязвруемых фувкцвй мевыяего числа кеременных, ДАН СССР 156, )сй 6 (1964), 1258— 1261.
[И ) Х е н к к н Г. М., О линейных сукврпоавцюзх неяревыв- но днффервнцирувмых фувкцвй, ДАН СССР 157« !сй 2 (1[с64), 288 — 290. [12] ««! ш а в А., Е]еЬег йе Аюгевс]авй бег ТзеЫпзЬаззввзь ТгаввЕогшапоа ааЕ йв ВеЬзЬ1!ов а]йеЬ«а!зсЬег О1в!сЬавбвв, Ез!о»а А«за В. Яос. Бс. Е]рраа!!азиз, тоЕ ехзгаогс!!а. еН»вш, 1927, 3 — 8. [13] Ч еб о та р вв Н. Г., К проблеме рвзсльвевт, Уч.
аап. Казанок, ув-та 114, 7сй 2 (1954], 189 — 193. [14] Ч еб о та р Зв Н. Г., Собрание сочинений, т. 1, Иэд-во АН СССР, 1949, 255 — 340. [15] М о р о а о в В. В., 0 некоторых вопросах проблемы ре- зоаъвент, Уч. зая. Казанок. ун-та 114, 34 2 (1954). [16) В и т у ш к и н А. Г., О многомерных вариациях, Гос- твхиздат, 1955. [17] В а г ! !1. К., Мешопе ак 1а гергбювза!!ов Е!ше с]вв Еов- ссйовз совмвавз, Ма«]ь Ашз.
103 (1930), 145 — 248, 598 — 653. [18] А р колья В. И., О кредстазююсти функций двух певенеакых в анде Х [Ч (в]+ сг (УЦ, 12!. Н9) Б а с с а л ы г о Л А О р дота ае рер фупкакй двух перемеакых прк помощи кепрерывпых фукацай одного перемепкого, Вести. МГУ, )ч 1 (1966). (20) Р о з з В. Оп йе гергезеп1лпоп о( йе солт(паапа (опс((опз о1 Фмо тагМЬ[ез Ьу юеапз о1 абйпоп апй сопФшпоаз о1 оае тат(аЫе, СоВос. пый. 10, Д) 2 (1963), 249 — 259. [21) 7 о г е и Ф и О. О., Ме$г1с епФгору; иЫйз апй зарегроыМопз о1 Ьшсповз, Аюег. Май.
Мопй)у 69, зй 6 (1962), 469 — 485. [22) О з В г а а 4 Р. А., Р(юепз(оп о1 юе(г1с зрасаа ааб Н!1Ьегг'з ргоЫею 13, ВпВ. Аюег. Май. Яос. 71, М 4 (1965), 619 — 622. (23~ 8 р г е с Ь е г Р. А., Оп йе зФгчсФиге о1 оопмппоаз Ьш- 355. снопа о еетега1 тат)аЫез, Тгапз. Аюег. Май. Зос. П5 (1964) 340— [24) В к туша як А. Г. и Х е як и н Г. М., Лпкейпые суперпоэпэзгп фупкцпй, УМН 22, Эй 1 (1967), 77 — 124. Н ЧЕТЫРНАДЦАТОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА Ю. М. Макин Совокупность задач, поставленных Гильбертом в атой части его доклада, обяаана своим воакикиовеикем следующему вопросу в теории инвариантов. Пусть й [хг, ..., х [— кольцо многочленов над полем м, 6 — некоторая группа л-автоморфизмов этого кольца.
Имеет ли конечное число образующих над л подкольцо 6-инвариантных многочленов я [х, ..., х„[о? (В первоначальной постановке й является полем комплексных чисел, а 6 — некоторая подгруппа проективной группы.) Обозначая через х' поле инвариантных элементов, имеем й [х„..., ла)о = Ь П Ь [хы ... ..., х„[; естественное обобщение задачи, которое предлагает Гильберт, состоит в том, чтобы взять в качестве Г произвольное подполе в л (х„..., х„), содержащее й. Вариант этого вопроса получается, если заменить поле й кольцом целых чисел Е.
Для представлений ряда классических групп 6 вопрос решен положительно '); тем более неожиданным был результат Н а г а ты [3), объявленный на Эдинбургском международном математическом конгрессе, согласно которому над едостаточно большим» полем й (например, над полем комплексных чисел С) существует представление прямой суьогы 6 конечного числа адднтпвных групп я+ в кольце многочленов л [лы ..., хи[ такое, что й [х, ..., х„[о не имеет конечного числа образующих. Прежде чем описывать пример Нагаты более подробно, укажем на важную алгебро-геометркческую интерярегацию и обобщение задачи, принадлежащие 3 а р и с- ~) Для проектпакой группы ато было сделано Гкльбертом.— Прим.
рад. 171 [19] В а с с а л ы го Л. А., О представленкп непрерывных функгщй двух переменных прп помощи непрерывпык функций одного пвремевкого, Вестп. МГУ, М 1 (1966). [20] В е в з В., Оп йе гергеаеп(апеп с( йе еопгаппсив 11шспопз еЕ Фмо чагшЬ[ез Ьу швапз оЕ абйпсп апй сепйппоиз оЕ епе чапаЫе, СоПеп. шай. 10, )м 2 (1963), 249 — 259. [21] Е о г е и Ф з О. О., Ме«г(с еп«гору; еИйз авй зпрегрсз( «Еспв еЕ 6шс«1овз, Ашег. Май. Мопй[у 69, гз 6 (1962), 469-485.
[22] О в Ф г а п 4 Р. А., В(шепшоп сЕ ше(г]с воасевапб НВЬег«'з ргоЫеш 13, Впй. Ашег. Май. Ясс. 71, )м 4 (19([5), 619 — 622. [2Щ Я р г е с Ь е г В. А., Оп йе з«гас«иге еЕ сеп«(пзопз Епп- 355. сйопз зачеса[ чаг(аЫез, Тгапз. Ашеп Май. Яос. 115 (1964) 340- [24] В и т у ш к н н А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
