Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Такое расширение, неяавнснмо от его самостоятельного значения, не имело прямого отношения к поставленным Гильбертом иадачам. Этот путь освобождал от трудностей, аамення требуемые Гнльбертом аналитические решения неким суррогатом. Полагали, что введение обобщенных решений оправдано для задач с неаналнтическнми подынтегральными выражениями. Оказалось, что обобщенные решения были почвой, на которой прояирослн докаэательства существования аналитических ') С~, — совокупность функций я(я„..., я„), обладающих иепрврыякымк проиаводкыми до порядки ! включительно, причем прояииодяые порядка ! удовлетворяют условию Гбпьяера с иоки»ягелем т. ») Реиуяьтат Баряштейяи относился ии только к рвшеяиям регулярвых яидач иаряяцяопяого исчисиапвя, а к более общему спучию: к решипкям аналитических яеяяпейпых эллиптических ураякивкй (я = 2). — Прим.
ред. 208 решений. Общие классы допустимых функций поаволили сформулировать критерии компактности. Вместе с тем Лебег заметил, что функционалы некоторых регулярных задач полунепрерывны снизу. Этот факт был детально разработан Л. Т о н е л л и (13], (14] сначала для однократных интегралов, а затем и для двойных. Было обнаружено, что если не заботиться о гладкости решения, можно откаиаться от требуемой Гильбертом строгай выпуклости выражения Р (х, у, г, р, я) относительно (р, д), заменив в неравенстве, определяющем регулярность, знак > на ~. Такие задачи были названы квазнрегулярными. М о р р и (9] дал простое доказательство существования обобщенных решений квазирегулярных иадач на минимум интегралов общего вида, опираясь на слабую компактность ограниченных множеств в пространствах функций с обобщенными пронвводными и полунепрерывность функционалов относительно слабой сходнмостн.
В етой теореме можно усмотреть призрак «общего основного положения», в существование которого верил Гильберт. Однако истинное »основное положение» требовало более сложных средств. Гладкость обобщенного решения задачи Плато и не- параметрической форме, найденного Лебегом в 1902 г., была докааана А.
Хааром в 1926 г. Гладкость непрерывных решений А. Хаара для интегралов типа Ц Р (р, д) аду была получена Морри в 1938 г. Для квадратичных интегралов понятие обобщенного решения также окаиалось продуктивным, однако докаэательство аналитичности решений зтнх задач не вызывало яатруднений, ибо соответствующие дифференциальные уравнения были линейны. Для вырадя жений общего вида Р (х„..., х„, х, р„..., р„), р,. = —, п = 2, были получены доказательства гладкости прн тех или иных ограничениях на Р.
Эти ограничения нарушали естественное согласование порядков роста Р и проиэводных от Р относительно]р ! при )р! — оо (М о р р и [91, С и г а л о в (16], П л о т ни к о в (22]; дальнейшую литературу см. в обяорах (15], (39]). Приведем полученные О. А. Ладыженской и Н. Н. Уральцевой в 1959 †19 гг. условия гладкости обобщенных решений многомерных вариационных задач оощего вида, не содержшцие таких ограничений. Для того чтобы ограниченная стационарная функция г е= Б" многомерной вариационной задачи при Р б= Ся 209 также принадлежала классу Сэ, 1 ~ 2, р ) О выполнения условий: э достаточно т«д([г[)(1 + [р[) < Р(х« г, р) ( [дд([г1)(1 + [р[)'; (1) д понюкает порядки дифференцированно выражения Р по р понюкае раинен мере на роста относительно 1р[= (Ер~)ч«п ицу, а дифференцирование по х и г не пов порядков роста; э повышает т«д ( 1 г [ ) (1 + [ р 1 ) ~ [ ьэ 1 ~ Я Рг р $Д.
( ~~ [дэ ([г1) (1 + [ р [ )'-' [ г [ (2) ействительного век тора ~ д эд Ид — неуб щие полож-ельные функцж.'Если „"а' ница области С и граничные значения г лежат в классе С то г «=: — Сэд Щ. ( ), ( ) выполняются для всех задач бернштейудовлетворяющих условиям (1), (2), обобщенное ограниченное решение г т-= Й«~ т== И«, аналитично. Стационарность г означает выполнение равенства бУ (г, т[) = О. ловиям 1, 2 п е о Таким образом, для всех задач, удовлетворяю щкх ус( ), ( ), предположения, высказанные Гнльбертомв девятнадцатой и а дц " дв дцатой проблемах, оправдываются. той п обле связи с этим заметим, что в формулировке девяти р емы; помимо гипотезы об аналитичности решений т адцарегулярных вариационных задач, содержится также гипотеза об анал итичности любых решений соответствующих дифференциальных уравнений.
Условие стацион стационарности ре ует существования вторых производных у г, кпоэтому оно будет более общим, чемобапредположенпя Условия, которым должно удовлетворять Р для того, чтобы существовало ограниченное решение вариационной задачи, содержались в [161, [111, а также в [381. Дать полный ответ на этот вопрос в явных характеристиках данных задачи невозможно, ибо для квадратичных интегралов этот вопрос сводится к определению расположения спектра соответствующего линейного дифференциального оператора ио его коэффициентам.
21О Не исключено, что среди регулярных задач с аналитическими Р без особенностей имеются и такие, для которых решение аналитично, но имеет особенности, в окрестности которых оно не ограничено, Методы исследования гладкости обобщенных решений можно разделить на две группы. К первой группе относятся методы, опирающиеся на уравнение Хаара 'р«,«««- 1 («,«« — «,«) с* (Х а а р [71, М о р р и [81, [91). Чтобы получить условия гладкости решения г, находят уравнение для г" = 1 = —, (г (х+ Ь, у) — г(х, у)), аналогичное уравнению Хаара, и исследуют поведение его решений при Ь -+ О.
Более поздние результаты получены прямо из условия стационарности Ы (г, т)) = О. Выбирая специальным образом функцию т), получают интегральные соотношения, кэ которых извлекают оценки интегральных норм неизвестной функции. Если, например, взять т[=г при (х, у), лежащей в области меньших значений 0«функции г, и т[=О вне О„мож- '«' ««««'~«~« ~'р««« *М ««-«' Дифференцируя д, по уровню с, можно получить оценки разности колебаний решения в области нна ее границе, о 6обдцающие принцип максимума для гармонических функций. Дальнейший прогресс втой техники был связан с работой Д е Д ж о р д ж и [351, который изучал изменение интегралов от ~ йтад[ г ~' по пересечению области 6«с шаром радиуса г в зависимости от с и г в задачах, связанных с выражениями вида Р (рд, ..., р„).
Наиболее полного развития, приведшего к результату, о котором говорилось вьппе, эта техника получила в работах О. А. Ладыженской и Н. Н. Уральцевой. Ю, М оэ е р [361 внес в получение таких оценок идею введения вспомогательной функции. Большой интерес представляют регулярные задачи, в которых С = Л", а Р (х, г, р) как функция х, оставаясь аналитической, может иметь особенности. Один класс таких задач с особенностями, суммируемыми в достаточно высокой степени, изучен в [111, гл. 1Х.
Более сложные задачи, не входящие в бернштейновский 211 класс, в изобилии поставляет квантовая механика. Решение оказывается аналитической функцией, голоморфной в каждой точке, где нет особенностей, и сейчас мы имеем много интересных нерешенных задач такого типа [20). ЗАДАЧИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ Если выражение г" удовлетворяет условию т у' 1 + рз + дэ ~~ Р ~( ЛХ )/ 1 + рз + дз, (А) то преобразование функционала Х (г) к параметрической форме дает функционал определенный для непрерывных поверхностей конечной площади Т, задаваемых параметрическими представлениями х = / (и), и ~:-= я; здесь Ат — три якобиана векторфункцни / (и).
Гильбертово условие регулярности для г" равносильно строгой выпуклости выражения Ф (х, А) относительно А. Задача на отыскание минимума У (г) при условии (А), вообще говоря, не имеет решения. Но аадача на отыскание минимума У (Т) имеет решение, если допустимые поверхности непрерывны н ограничены заданной жордановой кривой Г. От Ф (х, А) требуется только непрерывность, а от à — только, чтобы она ограничивала по крайней мере одну поверхность конечной площади. Имеется несколько доказательств этой теоремы: С и г а л о в [17), Л. Ч е— э а р и [24), И.
Д а н с к и н [23!, Л. Ю н г [25), Ю. Р еш е т н я к [27). Связь задач на минимум У (г) и У (Т) при условии более общем, чем (А), дана в [19). Трактовка двумерных регулярных задач в параметрической форме в классе непрерывных поверхностей была связана с глубокими исследованиями понятия поверхности конечной площади. Л. Юнг для получения теоремы существования использовал понятие обобщенной поверхности, близкое по содержанию к обобщенным функциям Л. Шварца.
пр Ф = ~ .4 ~, р Р = ~~т+ р' -~- ю', ~акты~ задачу об отыскании поверхности наименьшей площади, 212 ограниченной кривой Г. Впервые решение этой задачи было получено Т. Р а д о [28) и Д. Д у г л а с о м [31[ в1930г. Обзорпредшествующихработдан Т. Р а д о [30). Решение дается аналитическими функциями, если параметрическое представление / (и) конформно, т. е. если коэффициенты первой дифференциальной формы удовлетворяют равенствам Е~=а, Р =О. В теореме Радо — Дугласа допустимые поверхности имеют топологическнй тип круга, т. е.
область изменения параметров гомеоморфна кругу. Однако известны примеры замкнутых жордановых кривых Г, для которых поверхность наименьшей площади имеет тип листа Мебиуса, тора с отверстием или более сложный тип (Д у г л а с [32)). Отыскание минимальной поверхности заданного топо- логического тина, ограниченной заданнойсистемойжордановых кривых, называют задачей Дугласа, Условия существованияихрешений изложены вкниге Куран т а [34). Обобщение задачи Дугласа на регулярные интегралы общего вида Х (Т) подсказывается следующим примером.
Пусть Ф (х, А) = ~р (х) )А). Даже когда граничная кривая à — окружность, ~р (х) может быть задана так, что нижняя грань значений )' (Т) на поверхностях заданного топологического типа будет меньшей, чем на поверхностях болев простых топологических типов. Зная связь У (з) с Х (Т), мы видим, что расширение понятия решения, включающее поверхности произвольных топологических типов, естественно укладывается в постановку двадцатой проблемы. Существование решений предписанного топологического типа илн ограниченного типа с заданной системой замкнутых кривых дано в [18); для жордановых кривых Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
