Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 46
Текст из файла (страница 46)
сб. 5 (47) (1939), 3 — 68. [6[ 1 е чт у Н., ()Ьег йеп апа1уМзсЬеп СЬагаМвг йег Ьозппяеп е!Ьр!!зсЬег В$Иегепс!а!8!е!сЬпп8еп, Ссмшяеп г(асЪт1сЬ!еп, 1927, 178 — 186 (русский перевод: УМН 8 (1940), 100 — 106). [71 М оггеу С., Х [ге п Ьегя 7... Оп гЬе апа!!с!с!гу о1 (Ье зо1п!!опэ о! 1шеаг еШр!!с зуз!свез о1 раг(эа! й!ИегепИа! е(ааМопз, Сошш.
Рпге Арр1. МагЬ. 10 (1957), 27! — 290. [8[ М о г г е у С., Оп гЬе апа1упсПу о( сЬе зо1пЫопв о( апа1уМс поп-1шеаг е1Ирис зуз!ешз о! рагпа! й!Негев!!а1 сапа!!опз, Ашег. 7, Ма!Ь. 80 (1958), 198 — 237. [9) П о и 9 1 ! з А., Ы ! г е и Ь е г 8 Ь., !птег!ог езт!вш!вэ (ог еП[рг!с эуз!еше о( раг!!а! й!Пегев!!а! ы!паз!опз, Сошш.
Риге Арр1. Ма!Ь. 8 (!955), 503 — 538. 218 [1О) М о г г е у С., Ми1мр!е !пге8га! ш гЬе Са1сп1из о1 УагшМопз, Яргш8ег-Уег!ая, В!е Опшй!еЬгеп йег ша!Ь. гг!ш. 130 (1966). [1!) В е О 1 о г 8 ! Е. ()и езешр!о й! езггешаБ й!эеопмппе рег пп ргоЬ!еша тзг!аз!опа!е й! Про е!!!ы!со, ВоИеы!по йеда ()шопе Ма!ешапса БаНапв, зег. !Ч, Лг 1,уеЬЬга!о !968, 135 — 137. [!2) М а э ъ я В. Г., Примеры керегулярвых решений кваэиливейпых эллвптических ураввеявй с аиалигическики коаффипвевтаюг, Фувкслоиалъвый авалиэ и его приложеввя 2, вып.
3 (1968), 53 — 57. [13) О ! и з ! ! Е., ЬП г а и й а М., Сп езешр[о й! зо1пыоп! й!зсоп!!ппе рег пп ргоЫеша й! пппЬпо ге1а(!то ай пп !пгедгэ!е геЯо1аге йе1 са1со1о йе11е твг!аз!оп(, Во!!е!!шо йе!1а Сп!опе Ма!шпаг!са 1га1!эпа, зег. 1У, га 2 Арг(!е !968,219 — 226. [14) м о г г е у с. В., Рагс!а1 геяй!эг!!у гезп1$з 1ог поп-ыпеэг еБ!ръ!с зузгешз, Х. Ма[Ь. Месь. 17, Ьг 7 (!968), 649 — 670. [!5) !ч е 6 э з Х., Япг 1а ге8п!ег[!4 йез зо1пиопз тэг!аиош!е11ез йез ес[паг!опз е!!!р!!свез поп !шеэ!гез й' огйге 2ш еп йепх йЬпепз!опз, Авп.
Яспо1а Богш. Япрег., РМа, з. 3, 21 (1967), 427 — 456. К ДВАДЦАТЬ ПЕРВОЙ ПРОБЛЕМЕ ГЙЛЬБЕРТА Хееьееу»»» Ререь г) ь Если Дана система — „' =,~~ Х7, (г)Уь 1 — 1 и е(ве »1« » 1 линейных однороднцх дифференциальных уравнений первого порядка с рациональными коэффициентами, то ее решения не являются, вообще говоря, функциями, однозначньпаи и мероморфными в расширенной числовой плоскости Р'. Каждое отдельное решение обладает конечньгм числом изолированных особенностей: такими особенностями могут быть полюсы коэффициентов гг„(з): х„..., х„ и, возможно, точка х, = ао. Если решения т), = (ук (з), ...
..., у»м (з)), 1 = 1, ..., и, образуют фундамейтальную систему решений, то при обходе вокруг особой точки х вектор г), превращается в вектор Ха(1 'г);, причем матрицы А("»» невырождены и удовлетворяют так называемому соотношению Римана А <ь> А<'» ...
А<'"> =Ь". Это риманово соотношение означает не что иное, как то, что каждая фундаментальная система г)„..., г)„решений определяет гомоморфизм фундаментальной группы пространства Р' — (х„..., х«) в общую линейную группу 6Х (и, С) над полем комплексных чисел.
Уже в 1857 г. Б. Р и м а н И51 поставил обратную задачу: не существует ли для каждого гомоморфизма фундаментальной группы пг (Р' — (х„..., хе)), где х„..., х« заранее даны, в группу СХ (и, С) система из и линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений ь) Н. 11 о)» г1, В1«л»авп-Н111»ег1«с)»е РгоЫвы йег Т)»еог(е бег Пвеагев 0111«геп«1а131«1сазвзеп (Еш1«И»шз)» Маг)». Авв. 133 (1957), 1 — 3; перевод А. Н. Паршива.— ~Ури»е, ред. 22О первого порядка с рациональными коэффициентами, обладающая фундаментальной системой решений, которая порождает данный гомоморфизм. Сверх того, Рвман предположил, что в качестве такой системы дифференциальных уравнений можно выбрать систему фуксова типа.
В том же году он дал И41 положительный ответ на этот вопрос в случае й = и = 2 и указал явным образом фундаментальную систему, обладающую нужными свойствами. В последующее время проблемой Римана занимались А. П у а ни а р е ИЗ)и Л. Ш л е з и н г е р И71, И81 Предложенные ими доказательства обладают пробелами и с современной точки зрения не являются строгими.
На зто указал уже П л е и е л ь И21, который в 1908 г. дал первое свободное от возражений доказательство И11, годное для любых »«и и. В 1900 г. Д. Г и л ь б е р т [51 включил проблему Римана в число своих «Математических проблею», вследствие чего в дальнейшем она получила наименование проблемы Римана — Гнльберта; в 1905 г. Г и л ь б е р т [81, [71 рассмотрел случай и = 2, [г произвольно (в одном частном случае проблема рассматривалась перед этим О.
К е л л о г о м [81). Доказательство Племеля, как и доказательства Гильберта и Келлога, основывалось на теории фредгольмовских интегральных уравнений. В 1918 г. Г. Д. Б и р к г о ф И[получил общий результат Племеля с помощью одной аппроксимационной теоремы; одновременно он доказал ранее высказанное им обобщение проблемы Римана — Гнльберта. В 1924 г. О. Х а у п т [21, [81, [41 занимался вопросами, близко связанными с проблемой Римана — Гнльберта. Йз монографий, в которых подробно рассматривается проблема Римана — Гильберта, следует упомянуть труды И. А.
Л а п и о - Д а н и л е в с к о г о [91 и Н. И. М у ох е л и ш в и л и ИО! В [91 был рассмотрен в достаточной общности вопрос о зависимости фундаментальной системы от выбора «точек ветвленияь. Благодаря результату Племеля общая теория систем линейных однородных дифференциальных уравнений перв ого порядка фуксова типа с рациональнымн коэффициентами была, в определенном смысле, полностью завершена, так как можно получить полное представление о локальных и глобальных теоретнко-функциональных свойствах решений.
Аналогичные исследования для систем линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка, 221 коэффициенты которых являются мероморфными функция ми на произвольной компактной нли некомпактяой рима- новой поверхности, до сих пор отсутствовали. Локальная теория, очевидно, такова, как н в классическом случае. Так же как на числовой плоскости, можно определить множество особенностей Х' системы решений. Каждая фундаментальная система порождает, как и в классическом случае, гомоморфизм фундаментальной группы множества Х вЂ” Х' в группу с сг' (и, С). В этой ситуации можно снова сформулировать проблему Римана — Гнльберта, а также спросить: как зависят решения от точек ветвленияр Трудности, возникающие при попытке ответить на подобные вопросы, происходят главным образом от существования не- разбивающих циклов.
В работе [16) общая проблема Римана — Гильберта для произвольных (компактных или некомпакткых) римановых поверхностей решается в утвердительном смысле. При атом используются как методы теории функций многих комплексных переменных, так и теория комплексно аналитических расслоений 'на римановых поверхностях. Выясняется зависимость решений от точек ветвления. Если точки ветвления изменяются в односв язных и попарно непересекающихся областях, то существует решение проблемы Римана— Гильберта, зависящее от них мероморфно. ЛИТЕРАТУРА [8! К е 11 о 8 О., Ппзсег!Зйе!сеп Ъес йеп 1шеягеп 1птейга! 81е(сйппйеп шм Айъепйип8 аиЕ е1п РгоЫеш топ К1ешапв, МасЬ. А|ш. 60 (1903), 424 — 433. [9) Лаппо-Даиилезский И.
А., Мйшо!гез зпг 1а Ейеоне йея яуза)шея йез йс!пай!опя ЙНегеппеПез 1!пеа!гея, СЬе1явз [10! Му ох ел ишв ил и Н. И., Сшпулярвме иитегральвые явиеиия, сНауяаз, 1967. [11! Р 1 е ш е 1 ! Х., В1ешашмсЬе рогшепзсЬагвп ш!1 ЗейеЬепег Мопойгош!в8гарре, МопатясЪ. Иг МаСЪ. и. РЬуз, 1908, 211 — 246.
[12! Р1е ше1! 7., РЪег ЗсЫешпЗегя гВезге!зз йег Ех(згепя К!ешзшисЬег РппЬС!опепзсЬягеп шы Зе8еЪввег Мопойгопиейгирре, ВсясЬ. МяФЬ.-Уег. 18 (!909), 15 — 20, 340 — 343. [13) Р о ! и с а г е Н., Мешо!ге знг 1ез Еопснопя веса псйшепвез, Асгя. МаСЬ. 5 (1884). 209 — 278. [14! К ! е ш а в и Б., Бе!сгаЗе яог ТЬеог!е йег йпгсЬ Йе Сап6- ясЬе Ке!пе Г (о, 3, 7, з) йагзсеПЪагеп РопЬ1!опеп, Месй. ЖеЖе, 62 — 78 (русский перевод: Р и м а и Б., Сочийевия, Гостехиадзт, 1948, 159 — 17 ). [15! К ! в ш а п п В., 2се1 аПЗешв!пе !е)пта!яе 6Ъег Ппеагв Р111егепС!е!81е!сЬппйеп ш!1 а18еЬга1зЬеп Кое%с!епзеп, Ма(Ъ.
Игегйв, 357 — 369 ' (русский перевод: Р и м я и Б., Сочииевил, Гоствхиздат, 1948, 176 — 186). [16! К о Ь г 1 Н., Ряя В!ешяпп-Н!1ЪегсясЪе РгоЫеш йвг ТЪеоИе йег Ппеагеп Р!Негепс!а181е!сЬопЗеп, МяСЬ. Апп. 133 (1957), [17! 3 с Ь 1 е я ! п 8 е г 1., Хит ТЬеосйв йег Пвеагеп ВНЕегевИа!с 1еЫишйеп ис АпясЫп6 яп йаз В1ешяппясЬе РгоЫеш (ШН, 7. Е. Маг!с. 130 (1905), 26 — 46. [18! 3 сЬ1е зс и 8 е г Ъ., Вешегйппйеп гп йеш КопсшшЯтзьесге!з Ест Йе 1лзЪагйе!С йез КсешяшзясЬвп РгоЫешз, МасЬ. Апв.
63 (1906), 273 — 276. [1! В 1гЬЬ о ЕЕ С. Р., ТЬе Зепега1(хей К1ешзпп ргоЫеш Еог 1шеаг ЙНегепс!а! ес!сас!опя, Ргос. Асай. Зс1. ()ЗА 49 (1913), 52!в 568; ВпП. Ашег. МаСЬ. Зос. (2) !9 (1913), 508 — 509. [2! Н а и р з О., 2пг ТЬеоне йег РгупсясЪеп Ровйс!опек егз!ег шн1 !т-Свг Огйпппй, МаСЬ. Ашс.
77 (1915), 24 — 64. [3) Н а и р С О., ()Ъег вше йеш яоЗ. К!епшплзсЬеп РгоЫвш впьявгесЬепйе КяпйсгеггооЕЗаЪе, 3!сяЗЯЪег. Не[йе1Ъ. А!сай. 16 (1920), 5 — 41. [4! Н а н р Ф О., Епг Рягяше1г!хшеСЬойе, МасЪ. Апсс 88 (1922), 136 †1. [5! Н ! 1 Ъ е г С Р., Ма(йешлг!зсЬе РгоЫеше, )тасЪг. Сея. %!вв. С6Фс!пйеп, 1900, 253 — 297. [6! Н11ЬегС Р., Слшйз68е ешег аПЗешешеп ТЬеог!е йег Ппеагеп 1пге8га!61еЫишйеп (Рг(згв М!сс.), ЫясЬг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
