Александров (ред.) - Проблемы Гильберта (сборник статей) - 2000 (947342), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Морса применялась также в работах [7), [8) для оценки чисел Бетти алгебраических многообраэий. В работе Дж. М и л н о р а [7) рассматриваются алгебраические поверхности в евклидовом, а также в проективном пространствах н даются оценки суммы их чисел Бетти. Под д-и числом Бетти понимается ранг группы когомологий Нп с коэффициентами иэ некоторого поля. Пусть У вЂ” множество в евклидовом пространстве В"', определенное уравнениями ~п (хы..., х,„) = О,..., ~,.
(хы..., х„) = О. Тогда, если каждый полипом 7; имеет степень, не превосходящую и, то сумма всех чисел Бетти множества У не превосходит и(2и — 1)"'-'. Вопрос о том, насколько эту оценку можно улучшить, остается открытым. Если Ю вЂ” компактная гиперповерхность в В, не содержащая особых точек и определяемая уравнением 7 = О, где 7' — поливом степени и и и — четное число, то сумма чисел Бетти )4' не превосходит и (и — 1)" 1. Эта оценка аналогична оценкам (12) и (14), полученным в работе [22). В работе М и л н о р а [7) доказана также следующая теорема.
Пусть множество У в евклидовом пространстве В~ определяется неравенствами где ~~ — полипом степени Ы,, и пусть д =,~~ ~сЦ. Тогда сум- 1 г ма чисел Бетти Г не превосходит —. (о + 2) ф + 1) Как следствие укаэанных выше теорем для евклидова пространства Л"' Дж. Милнор получает соответствующие оценки в проективном пространстве. В работе Р. Т о м а [8) доказано, основываясь на теории Морса, что если А — множество нулей полинома степени и в Н~, то сумма чисел Бетти А мажорируется и"'. 192 Если же А — компактное множество в В, определяемое уравнекнем )г = О, где Р— неотрицательный полипом (т.
е. поливом, ке принимающий отрицательныхзначений) степени и, то сумма чисел Бетти А не превосходит (и — 1)~. Если А — алгебраическая поверхность беэ особых точек в проективном пространстве Р, определяемая уравнением )г О, где )г — полипом степени и в Р,„, то сумма чисел и (п~ — ! Бетти для А не превосходит и — й Для алгебраических поверхностей четвертого порядка получены более точные результаты.
Алгебраические поверхности четвертого порядка в трехмерном пространстве были предметом рассмотрения многих работ (см., например, [3), [14), Нб), [24)). К. Р о о н [24) доказал, что поверхность четвертого порядка может состоять не более чем нэ 12.компонент. В работе Н4) построены поверхности четвертого порядка в трехмерном пространстве, состоящие нз 10 овалов. Иэ оценки (2), полученной в работе О. А. О л е й н и к и И. Г.
П е т р о во к от о [6), следует, что если алгебраическая поверхность четвертого порядка состоит только из овалов, то нх число ке превышает 10. Ряд интересных результатов о поверхностях четвертого порядка сформулирован в работе [25). В частности, там утверждается, что поверхность четвертого порядка может состоять не болев чем из И компонент.
Остается открытым вопрос, существуют ли поверхности четвертого порядка с И компонентами. Таким образом, ответна вопрос о максимальном числе компонент алгебраической поверхности четвертого порядка, содержащийся в формулировке шестнадцатой проблемы Гильберта, все еще не найден. Нам кажется, что несмотря на то, что в ХХ в. получен ряд важных реэультатов по топологии алгебраических мво-. гообраэий (из вих наиболее вначительными являются результаты работ И. Г. П е т р о в с к о г о [4), [5)); шестнадцатая проблема Гильберта при всей ее широте постановки вопроса является в настоящее время столь же актуальной, как к ка рубеже ХХ в.
Несомненно, что она е це долго будет привлекать внимание исследователей. ( щвой кэ наиболее интересных в трудных задач, сэяэаввых с этой проблемой, которые еще ждут своего решения, является обобщение теоремы Харнака на случай алгебраических поверхностей. 193 ЛИТЕРАТ УРА [1] Н а г и а с Ь А. „ОЬег й!е ч!ебте!!Ье!! йег еЬепеп а16еЬга(- всЬеп Кнгчеп, Ма!Ь. Апп. 10 (1876), 189 — 198. [2] Н ! ! Ь е г ! (Х„ОЪег Йе гееПеп 2ийе а16еЬга!зсЬеа Кигчеп, МаИь Апп.
38 (1891), 115 — 138. [3] Н ! 1 Ъ е г Ф !Х., ОЬег Йе 6ев!а!1 е!пег Р1асЬе ч!еггвг Огйпнпб, МасЬг. 6ев. Жив. 6бышбеп, 1909, 308 — 313. [4] Р е Ф г оизЬ у !., Бнг !а (оро!об!е йез сошЬев р!алев, гбе1ез ех а[беЬг!9иез, С. г. Асай. Яс!. 197 (1933), 1270 — 1272. [5) П етр о вский И. Г., Оа !Ье !оро!обу о1 геа1 р1апе а[- йеЬгаМ снгчев, Апп. МасЬ. 39 (1938), 189 — 396. [6] П в т р о в с к и й И. Г., О л е й н и к О. А., О топологии действительных алгебраических поверхностей, ИАН СССР, сер. метем.
13 (1949), 389 — 402. [7] М ! 1 п о г Х., Оп Иге ВеСИ пшаЬегв о( геа1 чвг!еИев, Ргос. Ашег. Ма(Ь. Яос. 15~ Хй 2 (1964), 275 — 280. [8] Т Ь о ш В., Янг ГЬошо1ой(е йез чвг!егбз а[беЬгк(иез гееПез, В!ПепшИа1 аай сошЬ!па!от(а1 (оро1оку, А Зушроа!иш !пЬопоиг о1 Мага!оп Могзе, Рппсе1оп Оп]чегвйу Ргезз, 1965, 255 — 265. [9] М от за М., СгЬИса1 рош(в, Тгэпз. Ашег. МасЬ. Зос. 27 (1925), 345 — 396. [10[ В игу ш к и н А. Г., Оценки сложности задачи табулирования, Фнвматгив, 1959.
[11] чч г 1 6 Ь 1 Х. Е., ТЬе оча М о1 Иге р]апв зех Ис снгчев, Ашег. Х. Ма!Ь. 29 (1907), 305 — 308. [12] К аЬ и 6.~ Еше АПбеше!пе Мегйойе гиг ОпсегзисЬнпб йег 6вз!л!(еп а]йеЬга!зсЬег Кигчеп, 1паийига! П!втег!ат(оп, 65И!ийеп, 1909; [13] Еб Ь е и з Ф е ! и К., ОЬег йеп Вайа, йазз еЬепе а16еЬга1- зсЬе Кнгче 6 Огйпнпй ш!Ф 11 шсЬ е!папйеганззсЫ!взеайеп Оча!еп и!сЬФ ех!вИегь, 1паийига! П!ааег!ах!оп 6оынщеп, 1910. [14] В оЬп К., П1е Мах1ша]ха)г] чоа Оча1еп Ье! ешег Р(асЬе 4 Огйпипб, Вег[сЬГе ЙЬег Йе УегЬвп Пшавел, 1,е]рхщ 63 (1911), 423 440. (15] В о Ь п К., В!е еЬеие Кисте 6 Огйпшщ шМ е]Х Оча1еп, ВеИсЬсе 6Ьег Йе Уегйайй!шщвп, Ее!рйа 63 (1911), 540 — 555. [16] В о Ь и К., П!е Мах!ша!хаЬ[ ипй Апогйпнпд йег Оча1еп Ье! йег еЬепеп Кш че 6 Оп]пппб нпй Ье! йег Р]йсЬе 4.0гйанп9, МагЬ. Апп. 73 (1913), 177 — 229.
Н7] М сП оп а 1й, ТЬе оча)а и( Иш р!вае зехИс сигче, Ашег. Х. Майг. 49 (1927), 523 — 526. [18] Н 1 1 1 о и Н., Оп Игв с!гсш!в о1 а р]апе зехИс сигче, Вепй. С!гс. Ма(Ь. Й Ра!егшо 60 (1936), 280 — 285. [19] Г у д к о в Д. А., Полная тапоаогнческая классификация неособмх действительных алгебраических кривых шестого порядка в дейстзатехьной проектпвиой плоскости, ДАН СССР 98, Хй 4 (1954), 521 — 524. [20] С о о 1! й бе !., А 1геаИзе оп а!6еЬга1с р1апе спгчез, Ох!огй, 1931.
[21] О л е й н н к О. А., 0 топологии действительных алгебраических кривмх нв алгебраической поверхности, Матам. сб. 29 (71), М 1 (1951), 133 — 156. 194 [22] О л ей пик О. А., Оценка чисел Багги действительных алгебраических гппернозерхпостей, Матем. сб. 28 (70), Х4 3 (1951), 635 — 640.
[23] Х. К г о н е с [г е г'з Ч'его, ОЬег е!Й9е !и!егро(аИопз!огше]п Мг 9апге РипЬИопеп шеЬгег Чвг!аЫеп, 1, 1895, 133 — 14!. [24] В о Ь и К., О!е р!асЬе 4 Огйпипб Ь!пз!сЬг!!сЬ (Ьгег КпоГвпрнпй!е ипй )Ьгег Сев!айшщ, Рте!ззгйг!(геп йег РбгвИ. 1аЫопочвЫвсЬеп Сезе[зсЬа(1, 1.е!рх!6, 1886, 1 — 58.
[25] У т к и к Г. А., О топологической классификации пеособых действительных поверхностей четвертого порядка, ДАН СССР 175, Хй 1 (1967). 40 — 43. К СЕМНАДЦАТОИ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА И. П. Манин Формулировка задачи по Гильберту следующая: пусть дана рациональная функция от и переменных с вещественными коэффициентами, которая во всех вещественных точках, где она определена, принимает неотрицательные значения. Можно ли представить ее в виде суммы квадратов рациональных функций с вещественными коэффициентами (или в виде отношения сумм квадратов много- членов — это одно и то же)7 Э. Артин дал положительное решение этого вопроса в работе [2), которое мы сейчас опишем '). Доказательство Артина основано на тщательном анализе упорядоченных полей и связи упорядоченности с множеством сумм квадратов.
Естественно, что аксиоматнческое изучение задачи позволяет установить результат в большей общности, чем он сформулирован Гильбертом. Пусть й — произвольное поле. Оио называется ббармальна вещественным, если из равенства,~~ а~с = О, ас б= й, с следует, что а, = О для всех с. Формально вещественное поле й называется вещественна вал«кнутым, если никакое его собственное алгебраическое расширение уже не является формально вещественным. Упорядочением поля й называется задание подмножества элементов Р С й (положительных в данном с) В та«твом случае проблема была решена Гилъбертом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
