Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Бесконечно малые вариации. Отмеченные выше принципы дают знак приращения функционалов при весьма общих гипотезах относительно вариации границ. Добавим к этим принципам две количественные оценки вариации тех же функционалов для случая, когда,0, есть круг, а Р есть область, бесконечно близкая к кругу. Из этих подсчетов мы в дальнейшем навлечем наиболее важные приложения метода вариаций.
экстРемАльные злдАчи е теОРии ЕОИФОРмных ОтОБРАжений 371 ТЕОРЕМА. Пусть в плоскости комплексного переменного З = ге Р дана односвязная облаюпь Ю, ограниченная простой замкнутой кривой г= г(Ф), г(Ф+2и) = г(Ф), со следующими свойствами: 1) ~ 1 — г(Ф) ! ( е, еде е — любое положшпельное число, меньшее —. 1 2' 2) функция г(Ф) обладает непрерывной производной, удовлетво- ряющей условию лапшина ~ 2» (Ф+ йу) — г»,(Ф) ! < кбй; где к — кон- станта. При этих условиях.
если мы через то =1(з), Г"(О) = О, обозначим функцию, реализующую конформное отображение области Р на круз, ~чо ~ ( 1, то будем иметь: !,2'~ (О) ! = 1+ — (ез — е )+е ° о (е), 1 зде е есть площадь области, получаемой пересечением круга ~то ~ (1 с внешностью Р '), е, есть площадь области, получаемой пересечением областей ~ то ~ ) 1 й Х>, о (е) есть величина, стремящаяся к нулю вместе с е. Для доказательства воспользуемся опять формулой Римана, в силу которой имеем: !У'(0)~= е 1~), где Р(г, Ф) есть гармоническая функция, принимающая на границе значения — !пг(Ф). Для подсчета Р(0) построим вспомогательную гармоническую функцию Р, (г, Ф), правильную в круге г < 1+ е и принимающую на окружности г= 1+е значения — 1пг(Ф) =р(Ф).
В силу сделанных гипотез относительно функции г(Ф) функция р(у) удовлетворяет следующим условиям: )р(~р) ) ( )1п (1 — е) ~ =а (е+2з2 (е, ). 1р'(у+ йе) — р'(О) ! < К,а й р, где Кз — константа, зависящая только от константы К. При Этих условиях, пользуясь интегралом Пуассона: 2» Р г,е 1 7" (1+ 2)2 — г2 2е,/ (1+ 2)2+ ге — 2(1+ 2) г сов(Т вЂ” О) — ббб, 1 о нетрудно показать, что ~ — ~ (2)(е), где 2)(е) стремится к нулю вместе др с е.
Следовательно, на границе Р имеем: '1Р,(г, Ф) — р(2~) ~ ( 22 ° к(е). Кроме того, на той же границе имеем: Р(, Ф)= р(21). 2) Виешностр 11» есть область, получаемая выбрасыванием из плоскости области Р вместе с ее границей. 372 дополнения и Таким образом гармонические функции Р(г,е) и Р,(г, о) на границе 22 отличаются меньше чем на 22 ° л(2); следовательно, модуль гармониче- ской функции Р(г, 22) — Р, (г,е) всюду внутри области .0 меньше 22 А »1(2), в частности: ( Р (О) — Р, (О) ( ( 2е ° 21 (е).
(2) Отсюда заключаем, что, пренебрегая бесконечно малыми высших порядков по сравнению с е, мы можем Р(0) заменить Р,(0). Подсчитаем значение Р, (О). В силу (1), полагая г= О, получим: 2» 2» Р,(0)= 2 / Р6)10= — 2 / 1пг(е) Ы9= о 2 2» 2» 2,/ ( (')) к+ 2 / о о 1 где в силу условия (1 — г(е)( ( — и где, следовательно, М(р) ограничена константой, не зависящей от вида г(е). Кроме того, к но 2 2к Г 22(т) — 1 е — е = / /гйЫэ=/ 2 ~1э = 2 2» 2» 1 Г ,/ ( (') ( '+2,/ ( (г) / ( 1 — г (ср)Д 2(и = (22 — а,) + — / ( г (ср) — 1 ) 2 26р. 2 Отсюда (0)= — (' — ')+ 2 ( ~мй)(-21(гй) — 1)2Ф. 1 1 Г Г 11 к Сопоставляя (2) и (3), получим: Р (О) = — (22 — ег) + о (е), 1 (3) откуда окончательно: ! 1» (О) ( = е ~ = 1+Р (О) + о (2) = 1 + — (22 — 22) + о (е). Специальная вариация границы.
Лля дальнейших исследований нам существенно понадобится одно специальное отображение, которым мы сейчас займемся. Обозначим через О (2, 0) область, получаемую выбрасыванием из круга (~(с. 1 прямолинейного отрезка длины е, выходящего из точки ь=ег и принадлежащего ралиусу нашего круга. Отобразим круг (л( с.1 конформно на область 22(2, б) при условиях, чтобы начало координат ь = 0 переходило в начало координат з = 0 и чтобы при я = 0 произ- экстнзмальныз задачи в тзогии коноовмных отовввжвний 373 водная — была действительным положительным числом.
Такое отобраег жение, как известно, можно получить при помощи элементарных функций: ('+")(-"+-' ')+'"=~"'+с " аа где положено: Ь= — —. При В=О получаем: 4 1 — а (1 + Ь) (г + — ) + 2Ь = ". + — „. Легко видеть, что в этом случае точке г=1 будет отвечать свободный конец выброшенного отрезка. Считая Ь бесконечно малым и пренебрегая бесконечно малыми высших порядков, найдем для этого случая значения первых трех производных при а = О и значение аргумента точки окружности )ч)=1, соответствующей точке г=е .
Начнем с последнего вопроса. Пусть а=ее есть точка, соответствующая точке г=е~; тогда, ар »4 . подставляя в (4'), найдем: 2 (1 + Ь) соз ф + 2Ь = 2 соз р. (б) (4') или Ь; = Ь с1~ -т- »). 2 Для того чтобы найти главные части производных, упростим предварительно соотношение (4'). Положим ч=г+а и подставим в (4'): (1+ Ь) (гэ+ 1) Г + 2ЬгГ ((а+ 1) г. тогда, заметив, что в — бесконечно малая порядка Ь, отбрасывая малые высших порядков, соотношению (4') можно придать вид: а(ге+1)+ Ьг(гз+1)+2Ьга= 2ага.
Отсюда окончательно: в=-Ь)г+2 — — ), г=гта=г+Ь)г+2 — — ~. (7) 1 — е)' [ Из соотношения (7) нетрудно получить главную часть функции, реализующей конформное отображение круга на произвольную область»е(а, В); для этой цели, очевидно, достаточно вместо г и ь подставить соответ»е»в. ственно ге и че; проделывая это, получим: ь=г+Ьг+2Ье»а — „— = у(г, В, Ь). (8) е ы — г т) Это соотношение дает, очевидно, главную часть ач при конечном Ч н бесконечно малом Л, при т=о соотношение теряет смысл. Положим ф=в+Ьр. Из соотношения (5) легко.
видеть, что Ьа и Ь— бесконечно малые одного и того же порядка; отсюда, подставляя в (5) ф=»у+А»7 и отбрасывая малые высших порядков, получим: Ь соз»р — з1п в ° ба+ Ь = О 374 дополнении и Диференцируя соотношение (8) и полагая г = О, мы найдем нужные нам значения производных в начале координат: )('(О, в, и) =1 — и, у (О, В, Н) = — 2 ° 2Нен (8') уйй (О, В, Н) = — 2 ° п1Не т > . Максимальное растяжение. Применим теперь добытые выше выражения для вариаций функционалов к решению некоторых задач на разыскание экстремумов этих функционалов.
Начнем с задачи на разыскание „максимального растяжения" при конформном отображении. Дан класс функций ге=Де), У(0)=0, обладающих свойствами: 1) каждая функция правильна и одлолистна в круге ~г) <1, 2) каждая сйулкция лри 1 г~ < 1, не принимает значение ге= 1. Среди функций этого класса требуется найти функцию, для которой производная ~у' (0) ! была бы наибольшей. О ь Или, переходя на язык геометрии: среди всех односвязных областей плоскости гв, содержащих начало координат и не содержащих точки ге = 1, требуется определить область такую, чтобы при конформном отображении круга ~г~ <1 на эту область (начало координат переходит в начало координат) растяжение в начале координат было максимальным.
Заметим прежде всего, что мзксимальное растяжение нужно искать среди областей, получземых выбрасыванием из плоскости линии г., соединяющей точку ге=1 с бесконечностью (черт. 84). В самом деле, пусть Р, есть произвольная односвязная область, содержащая начало, не содержащая точки ею=1 и ограниченная простой замкнутой линией. Построим линию А, лежащую целиком вие области Р, н соединяюшую точку гв = 1 с бесконечностью.
Обозначим через Р область, получаемую выбрасыванием из плоскости те линии л.. Пусть тв=Л(г) и ге=Де), У(0) =У, (0) = О, суть функции, реализующие соответственно конформные отображения круга 1г~ < 1 иа области Р, и,Р. Так как, очевидно, область Рг содержится в области Р, то в силу принципа Линделофа ~У' (О) ~ > ~ У (О) ~, что доказывает высказанное утверждение. Чтобы не усложнять дела теоретико-функциональными рассмотрениями '), мы допустим, что линия Е, дающая максимум ~у'(0) ~, есть простая аналитическая дуга. Пусть, как раньше, Р— область с границей А и ге=у(г), у(0) =О, функция, отображающая конформно круг ~ г ! < 1 на эту область.
Найдем вариацию (7" (0) ! при вариации линии л.. Лля большей ясности напомним читателю некоторые свойства конформ- Ч Этими вопросами мы будем заииматься специально во втором томе. экстгвмлльныв задачи в твоими конэовмных отоввлжзний 375 ного отображения круга (з~ (1 на область Р, получаемую выбрасыванием из плоскости га аналитической линии. Пусть твз естьпроизвольная точка линии Е и пусть 7, и Ц вЂ” две простые дуги, выходящие из точки гю и принадлежащие области Р (черт. 85) (линии 7, и 7 имеют с 7. общими только по одной концевой точке).
Соединим свободные концы линий 1, и Г, простой дугой Юз так, чтобы совокупность линий 7„7з, 7з образовала простой замкнутый контур 7, имеющий с Е общей только точку твз. Мы скажем, что дуги 7, и 7а лриводимы, если область ограниченная 7, принадлежит Р, дуги 7, и 7з не приводимы, если область, ограниченная 7, содержит точки 7.. При таком определении все простые дуги, принадлежащие Р и имеющие один конец в точке тле, можно раз. бить на двз класса К, и К: две любые линии класса К, приводимы, две любые линии класса Кз приводимы и две линии, одна из которых принадлежит К„ а другая Кз, неприводимы. При конформном отображении круга (з) ( 1 на область Р, если точка тэ области Р С стремится к точке тв по некоторой ли- 72 4.
нии класса К„то соответствующая ШО точка г будет стремится к определенной точке г' окружности ~в~=1, причем предельная точка го' для точки газ ~ 1з будет одна и та же независимо от того, по какому пути к л а с с а К, Черт. 85. точка тв будет приближаться к точке тв<,. Аналогично, если гв будет стремиться к твз по какой-нибудь липин к л а с с а Кз, то соответствующая точка х будет стремиться (к определенной точке зе" окружности ~я~ =1, причем если тэ ф 1 тле не есть конец линии Е), то гз" ф гз'. В соответствии с этим в задачах на конформное отображение каждую точку твз линии Е рассматривают как двойную точку — точка тв ' и точка тв "; к точке тэ ' из области можно подходить по линиям класса К„к точке тв" можно подходить по линиям класса Кз. В соответствии с этим всю линию Е, состоящую из двойных точек, рассматривают как двойную линию Е = 7++1: линию Е+ образуют точки твз', достижимые путями класса К„линию Е образуют точки твз', достижимые путями класса Кз Заметим, что, выбирая какую-нибудь точку гв линии 7., мы разбиваем выходящие из нее линии на классы К, и Кз произвольно, разбиение на клзссы путей для всех остальных точек мы ведем с таким расчетом, чтобы у двух произвольных линий одного и того же класса, выходящих из двух бесконечно близких точек, нашлись точки, соединимые простой дугой бесконечно малого диаметра, лежащей целиком в Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
