Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Таким образом, мы снова можем применить теорему Вейерштрасса. Соотношение (6) в этом случае имеет вид: / (ру„~,„+(д — Л )у (м — )гу'~ )2(х=О. (11) к или, так как у у,,'у(~1)х=О, 2 (13) С другой стороны, полагая в (6) Аг= 31, получим: к У -"-" ( ру(„" у( ' + ду('„)у~ ) 11 л(х — Л(') / у( )у( ' г)х = О 2 или ру у +Чу у 14 — О. (14) Но левая часть равенства (14) есть в то же время правая часть равенства (13), а это и доказывает, что (2=0.
(2) и) Таким же образом доказывается существование у, у и т. д. Если мы докажем, что (2= 0, то мы будем находиться в условиях, которые мы имели при доказательстве существования у ). Следовательно, (1) 1О (2) все, что доказано относительно у' ), автоматически будет перенесено нау( ) . Полагая в (11) А, = ап получаем: п / (ру(„) у(,) + 1уу( )у(„) ~ г(х — Л( ) / у( )у(1) 2(х, (12) 2 УКАЗАТЕЛЬ Абельсон 29 Абсолютный минимум 54 — экстремум 54 Александров П.
С. 65, 67, 89, 92 Апроксимативные методы 37 Арчела теорема 87 Аэронввтическая задача Цермело 19 Балка со свободными концами 121 Балки изогнутой формы (задача) 141 Балах (Вапзс)г) 80 Барбье теорема 28 Бибербаха-Кобе теорема 379 †3 Билинейная симметрическая функция 74 — функция 73 — 74 Билинейный функционал 104 Блашке (В!аес)г)се) 360 Близость кривых 56, 193 — — я-го порядка 57 — нчлевого порядка 57 — пространственных кривых 110 Больцмана функция 159 Боннезев (Воввезеп) 360, 367 Брауера теорема 164 Брахистохрона 1, 15 Брахистохроны задача 236, 315, 342 Вариации бесконечно малые 371 — двусторонние 234 — односторонние 23! — нормальные 205 Вариационного исчисления простейшая задача 17 Вариация 35, 37, 197 — в концах 125 — внутренняя 221, 224, 227 — вторая 104 †1, 106, 116 †!18, 199 — — для изопериметрической задачи 290 — в точке 98 †1, 207 — в точке в данном направлении 112 114 — в точке отражения 224 — в точке перелома 221 — границы специальная 373 — допустимая 171 Вариация интегралов от эксэремалей 129 Вариация конца 227 — начала 227 — нормальная в точке в данном направлении 209 — — для пространственной задачи й)7 — Функционала 92„124, 226 — — в середине 125 Вектор 71 — смещения 205 Вектор сопровожда!Оший 293 Ветчинкин 184 Вейершграсс 252 Вейерштрасса необходимые условия 337 — теоремы 68 — Усиленное условие 343 — формула для представления приращения ФУнкционалов 336 — Функции геометрический смысл 336 — функция 332 — 337 Вейерштрасса.Эрдмана условия 2!8, 322 Вейершврассова форма уравнений Эйлера-ЛагРанжа 198, 199 Вейерштрассовой Формы уравнений инвариантность 199 Взаимности принцип !52 Волновая динамика 19 Вторая вариация для изопермметрической задачи 290 Выпуклое симметрическое тело 353 Выпуклые линии 351 Выступы 360 Гамильтон 19 Гамильтона принцип 114, 202 — Форма уРавнений Эйлера.Лагранжа 310 Гамильтона-Якоби уравнение 327— 328 Гаусса теорема 179, 319 Гауссова кривизна 246 Геодезическая гипербола 325 — кривизна 211 — линия как инвариант изгибания 177 — окружность 176 Геодезические дуги 175 396 уклзлтель 7-гипербола 325 7-длина 309 l-прямая 309 7.расстояние 309 Лэллипс 325 Геодезические (задача) 343 — (замкнутые) на выпуклых поверхностях 213 — линии 201 — на поверхности 211 — на сфере 205 — на эллипсоиде 331 Геодезический радиус 177 — эллипс 324 Геодезической окружности центр 177 Геометрическая теоРия собственных значений 272 Геометрический смысл функции Вейерштрасса 336 Геометрия на поверхности 179 Герца принцип 203 Гильберта теорема 83, 91, 259, 333 Гильбертово пространство 72 Гипербола геодезическая 325 Грамма-определитель 153, 292 Граница области 66 Граничная точка 66 Группа коммутативная 70 Даламбера принцип 114 Дарбу теорема 322 Действие (интеграл) 19 Дейсввия акстремум 19 Дирихле интеграл 146 — принцип 159 Диференциал второй 74, 105 — в точке 128 — первый 74 — функции 74 Длина кривой 89 — линии в геометрии Римана 180, 191 Допустимая вариация 171, 351 Допустимые .чинии 28, 53, 215, 240 Допустимых линий класс 194, 231 Достаточное условие упрощенное 341 Достаточные условия минимума 77 Дю-Буа-Реймонда .чемма 96 Задача изопериметрическая 26 — о брахнстохроне 11, 15, 342 — о геодезических 343 — о наименьшей поверхности вращения 39, 274 — — рефракции 342 — — траектации луча света 12, 13 — — тяжелой цепи 25 — со свободными концами 132 — с производными высших поРядков 136 — Чаплыгина 184 Замкнутая область 66, 232 Замкнутое ччножество 66 Жордана простая дуга 215 )Куковскяй Н.
Е. 44, 48, 130, 369 Изометричные пространства 80 Изопериметрическая задача 29, 200 — — ~в узком смысле 307 — — на поверхности 211 Изопериметрической задачи константа 168 Изотермическая система координат 175 Импульс обобщенный 115 Инвариантность уравнений Эйлера 101, 147 Индуктивное сопротивление крыла 48 Инерции силы 114 Каноническая форма уравнений Эйлера-Лагранжа 311 Касательное линейное многообразие 162 Качественные принципы 370 Квадратическая функция 74 Квадратический функционал 104, 253 Классифинация Морса экстремалей 281 Кнезера теорема 319 — теория 318 †3 Кобе 369 Кобе-Бибербаха теорема 379 †3 Ковяер С.
С. 358 Колмогоров А. Н. 89, 92 Коммутативная группа 70 Компактное в себе множество 67 — пространство 67 Компактность,в малом 67 — — пространстве 86 — — функциональных пространствах 82 Консервативности закон 203 Координат криволинейная система 174 Координаты элемента 71 Коши последовательность 66 Коэфициентов проблема 380 Кривая минимальной длины 200 — охватывающая наибольшую площадь 45 Кривизна геодезическая 211 — полная 2!3 Криволинейная система координат 174 уклзлталь 397 Кривые Фокальные 324, 325 Кривых близость 193 Крыло наименьшего индуктивного сопротивления 47 Куранта теорема 277 †2 — теория собственных значений 277 Лагранжа задача (связь ее с изо. перимегрической задачей) 185 — лемма %, 145 — метод 31, 37, 52, 170 — общая задача 183 — преобразование 94, 144, 180 — уравнения 115 Лагранжа-Эйлера правило множителей (обобщение) 164 — уравнение 146 Ламберта теорема о планетных орбитах 130 Лапласа оператор 147 Лежандра необходимое условие 338 — теорема 107 — усиленное условие 341, 343 — условие 106 †1, 117, 140, 166— 168 — — квк следствие условия Вейерштрасса 338 Лежандра-Якоби теория квадратических функционалов 285 †2 Леммы вариационного исчисления % Лемма Лю-Буа-Реймонда 96 — Лагранжа 95 Линейная метрика 72 — Функция 72 Линейно независимые точки 705 Линейное касательное многообразие 162 Линейное многообразие 70, 160 Линейные пространства 69 — функционалы 91 Линейных многообразий свойства 161 †1 Линии допустимые 28, 53, 240 Линии отражения 225 — преломления 225 Линий допустимых класс 215 Линия волны 228 Лиувилля формулы интегрирования геодезической 330 Лобовое сопротивление 48 Лозиера теорема 380, 386 Лучевая область 379 Люстерккк Л.
А. 290, ЗЖ, 360 Максвелла закон распределения 159 Максимальное растяжение 375 Малюса принцип 136, 227, 228 Ыетризация пространств 65 Метрика в абстрактных пространствах 71 — 72 — линеййая 72 Минимаксная экстремаль 281 Минимаксной экстремали окрестность 283 Минимизирующая последовательность 350 Минимум абсолютный 54 — относительный 56 — строгий 341, 344 Минковский (М)п)гома)гу) 360 Минковского задача 353 неравенство 63 — теорема 355 Многообразие в линейнои пространстве 160 — линейное 70, 160 — — касательное 162 Многообразий линейных свойства 161 †1 Множество замкнутое 66 — компактное в себе 67 Монтеля принцип 370 Мопертюи-Эйлера принцип 17, 43, 203 Морса классификация эксгремалей 281 — теорема 289, 308 Мунка теорема -50 Наклона поля функция 333 Наклон поля 333 Неголономные связи 180 Необходимые условия экстремума 76 — 77, 110 Неподвижная точка 164 Нормальная вариация 206, 208 — — в точке в данном направлении 209 — функциональная производная 207 — собственная функция 262 Ньютона задача 238 — кривая 245 Области типов а, Ь, с 360 Область 66 — в функциональных пространствах 232, 283 — закрытая 232 — лучевая 379 — меньших значений 284 — связная 283 Обыкновенная точка 162, 233 Овал постоянной ширины 28 Однородная функция 190 Однородности Условия 189 ОкРестностей системы эквивалентные 64 398 УКАЗАТЕЛЬ Окрестность кривой 56, 58 — минимаксной экстремали 283 — экстремальной кривой 284 Окружение экстремали полем 332 Окружности геодезической центр 177 Окружность геодезическая 176 — скоростей 21 Опорные прямые 359 Оптические применения 227 Ортогональности условие 127, 135, 174 Ортогоиальность собственных функций 295 «Освещеннав» часть 240 Осгуда теорема 345 — 349 Особые точки 233 Особый случай изопериметрической задачи 149 Отражение экстремалей 223 Отражения линии 225 Парабола безопасности 19 Параллелепнпедиаи сеть 356 Параллелепипедное разбиение 356 Параметрическав бюрма задания кривой 188 Параметрические представления специальные 192 Перелома кривой точки 215 Периодические движения динамических семейств 205 Петровский И.
Г. 290 Планетное движение 43 Плоскость скоростей 2! Поверхность волны 136 — вращения наименьшая 39, 343 — — наименьшего сопротивления 238 — наименьшей площади 146 Подъемная сила 48 Поле собственное 312, 332 — трансверсалей 314 — цйнтральное 312, 313 — эксгремалей 311 †3 Полнота абстрактных пространств 66, 67 — пространства С 78 Положительно-определенная форма 291 Поля центр 312 Последовательность, Коши 66 Прандтль 48 Предел последовательности 66 Предельные тела 360 Предельный элемент 64 Преломление экстремалей интеграла 222 Преломления закон 223 Преломления линии 225 Преломления тргекторий закон 23 Приращение функции 74 Проблема коэфициеитов 380 Производная функциональная 99, 206, 2)7 — — в точке в данном направлении 209 — — нормальнав 20? Пространства изометричные 80 — линейные 69 ПРостРанственная задача 110 Пространство Гильберта 72 Пространство касательное !27 — компактное 67 — 1, 63 — ~р 82 — С~' 81 — ш 63 — Й 82, 254 — йь 291 — Рн 83 — С 63, 78 — С (сепарабельность) ?9 — С1' 80 — С„64, 80 — спрпмлвемых кривых 89 — функциональное 78 Прямая касательная 163 «Прямые» геометрии на поверхности 179 ПУанкаре теорема 213, 270 Пуассона интеграл 372 Пуассона-Эйлера уравнения 137— 140 Равномерно непрерывная совокупность 85 — 86 Радиус геодезический 177 Разбиение параллелепипедное 356 Расстояние между кривыми 56, 12З вЂ” (кратчайшее) от точки до кривой 127 Растяжение максимальное 3?5 Регулярные точки экстремали 98 РеФракция (задача) 342 Римана геометрия (длина линии) 180 Рица метод 50 Света распространение (задача) 12, 13 Свободные концы 118 Сельвестр 287 Серне-Френе 176, 210 Сеть параллелепипедная 356 — счетная всюду плотная 79 Сила подъемная 48 Силы инерции 114 Сильного экстрнмума достаточные ) словия 339 — — необходимые условия 337 Симметрическая билинейная функции 74 УКАЗАТЕЛЬ 399- Симметрический билинейный функционал 114 Системы окРестностей эквивалентные 64 Скоростей окружность 21 Скоростей плоскость 21 Смещение вектора 205 Собственная Функция нормирования Собственное поле 312, 332 262 Собственные значения 261, 293 — функции 262, 293 Собственных значений геометрическая теория 272 — значений зависимость от верхнего предела 279 — — и собственных Функций основные свойства 262 †2 — — сравнение 297 — — экстремальная теория 275— 281 — функций основные свойства 294 — — теорема единственности 276— 277 Совокупность равномерно непрерывная 85 — 86 Сопровождающий вектор 293 Сопряженная точка кратная 307 Сопряженные значения 268, 300 — — кратные 300 — — слева 282 — — справа 282 — точки 272 — — для изопериметрической задачи 306 Стационарные точки 77 Ступенчатые Функции 260 Сфера и функциональном пространстве 254 Сходимость в абстрактном пространстве 66 Счетная всюду плотная сеть 79 Точка неподвижная 164 — перелома кривой 215 Точки линейно независимые 70 — обыкновенные 233 — особые 213 Трансверсалей поле 314 Траисверсали 311, 316 Трансверсаль поля 314 Трансверсальности условие 123, 126, 195 — условий обобщение 133 Трановерсальность 172 †1 Треугольное преобразование 289 Тривиальное решение уравнения Штурма-Лиувилля 261 Тяжелая цепь (задача) 25, 156, 307 Узлы четные 355 Уравнение в вариациях 270 †2 — — — для изопериметричеокой задачи 305 — — — для уравнения Эйлера 272 — Эйлера-Лагранжа 272 Урысон !7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
