Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 73
Текст из файла (страница 73)
При конформном отображении тэ=у(з, з) дуге [Р(г), Р(з — Ьз)) линии Е будет отвечать в круге (г)(1 бесконечно малая дуга (, выходящая из некоторой точки () (г) окружности (я~=1, ортогонально к этой окружности. Пусть 8 есть область, получаемая удалением из круга ~г~ (1 дуги (, и пусть я=ф(ь), ф(0) =агйф'(О) =0 — функция, отображающая конформно круг (ь) ( 1 на область 8. экстввмлльные задачи в твовии конеовмных отовважяний 381 При этих обозначениях, очевидно, имеем: у(е, г — ог) =у [ф (г), г) ° у'(О, г — ог) =~" (О, г) ф'(0), Т'(О, г — Лг) =Т"'(О, г) ф'з(0)+Т'(О, г) ф" (0), 1гг (О г Лг)=у"'(О,г)ф'а(0)+ЗТ"'(О,г)ф"(О)+у" (О,г)ф"'(О). Пренебрегая бесконечно малыми высших порядков, мы можеи считать отрезок т прямолинейным; тогда, обозначая через — 0 аргумент точки <„!, мы можем положить: где т есть функция, определенная в п.
4, и М есть новая бесконечно малая, связанная с Ьг и имеющая тот же порядок, что и г,Ь Ш= = — и(г) еЬ, и(г) ) О. Используя формулы (8') и снова отбрасывая бесконечно малые высших порядков, формулам (14) можно придать сле- дующий вид: ~" (О, г — Ьг) =У'(О, г) (1 — М), )" (О, г — Ьг) =)"'(О, г) (1 — 2дг) — 4е Мг" (О, г), г'" (О, г — Ьг) =у"'(О, г) (1 — ЗМ) — 12е бг~г'(О, г) — 12ег огу(0, г). Отсюда, полагая для сокращения письма: у" (о, г! У' (О ) ' у'"(о, е) Рв(г) р(о г) э й1=Н получим: е(оз = — (ря+ 4е ) и'г, Ирз —— — (2рз+ 12р е + 12еси) еУ.
Полагая рз=аз+Йв, рз — — аз+!0з и деля на ггг, получим: — „= — (ав+ 4 соз О), йее «Г еа — = — (Ьа+ 4 з!л О), лг — ' = — (2аз+ 12аз сод 0 — 120а з!и О+ 12 соз 20), — а = — (2дз+12азз!п'0+120 соз0+12зш20). Сделаем несколько замечаний относительно полученной системы уравнений. Действительные переменные а, Ьз, аз, Ь и 0 суть функции г(0 ~(г ( оо), а г можно рассматривать как монотонную функцию причем так как отрицательному приращению Ьг соответствует положительное приращение йг, мы можем считать, что при г, меняющемся от оо до О, 1 возрастает от некоторого Те )» — оо до конечного числа Т.
382 ДОПОЛНЕНИЕ П Считая г независимым переменным и интегрируя полученную систему диференциальных уравнений, мы получим выражения: ае, Ья, аз и 0з в зависимости. от функции 0: а =- — 4е ( ~ е гсозвЖ+ Сф т, (!е = — 4е ( / е ' з!и 0 Н+ Сг~, т', аг= — 12е" ~ /е ы[соз20 — 4е' соя 0 /е 'созблт — 4е'С,+ У; +4е з!и 0 /е 'з1П0!тт — 4е'С)И+Се~.
Займемся определением произвольных постоянных С„ С, С . Так как при г, стремящемся в бесконечность, линия Т. асимптотически приближается к действительной оси, то легко видеть, что фунция у(г, г) будет стремиться к функции, реализующей конформное отображение круга )з~ (1 на лучевую область (получаемую удалением из плоскости 1 луча, выходящего из точки те = — и расположенного на действительной оси). Следовательно у(г, г) г ~' (О, г) (1 + г)1' Отсюда при а= оо или при 1= Те должны иметь: ая+ 10я = ~ —; [,]~ = — 4, аз+10г=[ —,[, ',]~ =18. Отсюда заключаем, что при С= Т;! ая —— — 4, (! =о, ае = 18, Разберем отдельно два случая: 1) Те ) — оо и 2) То = — Оо.
В первом случае после подстановки получим: — т,. С,=г С =О, 3 Ся —— —— 2 экстзвмзльныв задачи в твозин коиеозмных отоввзжвний 383 Полагая 0(Г)=0 при Г( Тз и подставляя зна авляи значения констант, найдем= с аз — — — 4е с е созО~(Г, --с Т с с (сз = — 4е / е а(пбс(г, — СО (1бу с с аз= — 12е /е (сов 20 — 4е с созО / е'созОсст+ с +4е сяп0 /е япбсст~ссг. ОЭ Если Тз= — оо, то при с, стремящемся к — оо, переменная 0 стре мится к нулю; отсюда легко убедиться, что с-з — оо, переменные аз, Ьв и а, определенные формулами (15), стремятся соответственно к — 4, О и 18. Итак, представления аз, Ьз, аз по формулам(15) имеют место в каждом из двух возможных случаев.
Таким образом, какова бы ни была область Р, получаемая выбрасыванием из плоскости линии с., удовлетворяющей перечисленным выше Ф" с0) Ф'" (О) условиям, функционалы Кее1, 0 и Кее!, 0 могут быть представлены первой и третьей из формул (15). Рассматривая совокупность всех непрерывных функций 0 = 0 (г)„ в силу предыдущего максимальные значения интегралов, стоящих справа в (15), будут не меньше, чем максимальные значения изучаемых нами функционалов ').
Найдем максимум аз. Так как множители е и е положительны при всех значениях г и перед интегралом стоит знак минус, то максимум аз получится, если сов 0 при всех значениях с будет принимать минимальное значение, т. е. равен — 1, следовательно: ! Фз(0)( щах, ~(спахаз=4. Но для функции ос=в Ц =4. Следовательно: ~Фз(0) ~ / Ф' (О) ~ з) Можно показать, что ие только каждому отображению ю =Ух(а) отвечает 0(с), ио и каждой непрерывной функции 6=0(с) отвечает одиолнстиая фуивиия.
Принимая зто. можно заключить, что максимумы интегралов равны максимумам соответствующих функционалов. дополнения и Перейдем к разысканию экстремума аз. Для этой цели произведем предварительно некоторые преобразования правого интеграла а = — 12е / е ' соз 20 Ж+ Ф т + 48е ' / / е~'+о сов 8 (т) соз 0 (о) <Баев — О3 — Р) т — 48е ~' ~ / еб+О з!и 8 (с) зш 8 (а) Ж ~Ь. В силу того, что выражения, стоящие под знаками двойных интегралов, суть симметрические функции т и а, мы можем треугольные области интеграции заменить прямоугольными; получим: аз= — 12е и ~с~'соз20Ж+ — СО +24е ' / ~ ем~и соз8(т)соз0(о) ~йда— Ш СО т е — 24е / / ее+" з!и 0 (т) з!и 0 (а) Ит ое. 'Обозначая через У сумму первых двух членов в выражении аа и пре- образуя третий член, получим: аз — — У вЂ” 24е ~ / е"з!лба(т~ . О Отсюда заключаем, что: щах аз ( щах Л Будем искать экстремум функционала У.
Для этой цели найдем вариацию .l прн варьировании 0 в некоторой точке 1е. Найдем: 0 У = 24е / е ~ з!п 2880 М— т с — 24е ~~ / /ен+Нсозб(е)з!п8(а)88(а)гйюй— — 24е / /ен+О сйп 0(е) сов0(е)80(т) Ит~й. экстРемАльные ЭАЕАчи в теОРНН конФОРмных ОтОБРАжений 385 Полагая: 4 У 304Й= е и приравнивая 34 У нулю, получим: 4я е '(з)п 20(ге)! а — 2е' (з(п 0 (1з)! е / е'сов 0(т) от = О, После сокрашения (15') можно разбить на два уравнения: (15') з(п 0 = О, (15) е'соз0(1е)= ~е'созб(т)~й. — СО (16') Подставляя найденное выражение для соз 0 под знак интеграла, получим: 4 С= / е'Се 4(т, СО что возможно только при С=О.
Отсюда соз 0 = О. (17) Подставляя выражение з(п0 =0 в формулу для аз, найдем: а =18, а при подстановке соз0=1: аз = — 18. Отсюда, предполагая, что интеграл 1 достигает своего максимума при некоторой непрерывной функции 0(О, мы получаем, что гаах1= 18. Отсюда ! Ф"'(О) ! ! Ф'(О) ! Г4Е- 1 Но так как для функции те= —: ~,-~ =18, то, следо( ) АЭ4 вательно: ! Ф'"(О) ! (Ф'(0) ! Добытые нами результаты можно формулировать следующей теоремой: Покажем, что второе уравнение может быть удовлетворено только при сов 0=0. В самом деле, правая часть от 1е ие зависит; обозначим ее через С; получим: соз 0 (т) = Се 386 дополнвиия щ ТЕОРЕМА, Если функция я=я+с за+с гв+ правильна а однолистна в единичном круге ~г~(1, то ( ся ! ( 2 (теорема Бибербаха); ! са! (3 (теорема Лозиера). 1 Гд'юЧ Для доказательства достаточно заметить, что с„ = †, ~ †„ ~ , и воспользоваться решением разобранной нами вариационной задачи.
Обзор современного состояния геометрических методов теории аналитических функций дан в докладе М. А. Лаврентьева (см. «Труды 11 Всесоюзного математического съезда», т. 1). ДОПОЛНЕНИЕ 1Л ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РИТВА К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ СУЩЕСТВО- ВАНИЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ.
Гельфанд И. М. и Сухомлинов Г. А. Доказательство существования первой собственной функции. Согласно результатам, изложенным в главе ХШ, 6 80 вопрос о разрешимости проблемы Штурма-Лиувилля приводится к доказательству существования функции, дающей минимум интеграла л(у)= / (ру'г+оуа)дх о при условии Е(у)= /узах=1 о (2) у (0) =у( ) = О. (2а) р, р' н д непрерывны, кроме того р ) О. Там же было приведено доказательство существования такой функции путем замены функционала л' конечной суммой и последующим переходом к пределу. Здесь мы имеем ввиду дать доказательство той же теоремы методом Ритца. Пусть функции ф,(1= 1,2,...) линейно независимы, образуют полную систему иа интервале (О, я], диференцируемы и удовлетворяют граничным условиям задачи, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
