Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Отношение — — =-.— в нем достигнуто, следова- Чо!К 3 тельно, оно есть предельное. Следовательно, и у всякого иного предельного тела для каждого чо! ь4 выступа достигается соотношение ') — = 1, т. е. все выступы являются Чо! с, максимальными. г)о так как мы построили все наше тело по одному такому выступу, то тем самым доказана и единственность предельного тела. Чо! Ь, !) В пространстве трех измерений, в предельном теле, отношение — — — ве Чо1 с, достигает максимума ии в одном выступе. экстеемальные сВойстВА Выпуклых тел Отношение объема максимального центрально-симметрического тела, вписанного в данное выпуклое тело К, заключено в грани- 2 А!о! 5 цах — ( — — -- ( 1, причем нижняя граница достигается гполько 3 чо1К в треугольншсе для максимального вписанного в него ценгпральносимметрического шестиугольника.
Целый ряд экстремальных задач на теорию выпуклых тел можно найти в книге: В оппезеп цпд г'епс!ге!, Тйеопе бег 'копчехеп Когрег. ,"ДО!!ОЛНЕНИЕ!! О НЕКОТОРЫХ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ В ТЕОРИИ. КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ В начале нурса мы формулировали задачу вариационного исчисления как задачу разыскания экстремумов функционалов наиболее общего вида; во всем дальнейшем, однако, мы ограничились изучением функционалов.
довольно специального вида, функционалов, задаваемых определенными интегралами. Легко видеть, что, оставаясь даже в сфере классических. постановок, разобранные нами задачи далеко не исчерпывают вариационных задач, важных для анализа и его приложений. В настоящем дополнении мы имеем в виду коснуться некоторых функционалов, с которыми часто приходится иметь дело в теории функций комплексного переменного. Как мы ниже увидим, все эти функционзлы не имеют простого аналитического выражения через линию — аргумент;. по этой причине исследование этих функционалов неизмеримо сложнее, чем те исследования, которые мы имели раньше.
Здесь мы имеем большое количество еще не разработанных вопросов. Примеры функционалов. Пусть в плоскости комплексного переменного г=х+ !у дан круг С: ~г~ (1, радиуса единица и с центром в начале координат. Пусть, кроме того, в плоскости комплексного переменного ш = и + ро дана односвязная область Р, ограниченная простой замкнутой линией Г. Как известно из элементов теории функций комплексного переменного, какова бы ни была точка чое, принадлежащая Р.. и какова бы ни была точка то, принадлежащая Г, сущесгвует единственная аналитическая функция та = г(г) реализующая конформное отображение круга С на область Р ') и такая, что точке х = 0 отвечает точка то и точке х = 1 отвечает точка чо.
Производная у'(г), как известно, имеет простой геометрический смысл: ее модуль /г' (г)/ характеризует „растяжение" при отображении в данной точке г, ее аргумент агру'(х) характеризует „поворот". Рассмотрим ! г'(О) !. Каждому замкнутому контуру Г, охватывающему точку еве, будет отвечать вполне определенное значение / !'(О)); таким образом )У' (О)! есть функционал.
Ряд задач теории аналитических функ- г) Иными словами соотношение ге =у(г) устанавливает взаимно-олиозначвое и взаимно-непрерыввое соответствие между точками круга и точками области Ю, такое, что лве произвольные линии в С, пересекающиеся под углом е, переходят (в Р) в две линии, пересекающиеся под тем же углом гн бесконечно малыж кр!т, принадлежащий С, переходвт в бесконечно малый круг, прииадлежащий !! 368 дополнянив и ций, как впервые показал Кобе, приводится к разысканию экстремума этого функционала, когда на класс допустимых линий Г наложены некоторые добавочные ограничения. Об этих ограничениях мы будем говорить подробнее ниже.
Для того чтобы дать второй пример функционала из теории конформных отображений, будем считать, что контур Г состоит из двух простых дуг Г, и Г, причем Г, будем считать фиксированной, а Гав переменной. При конформном отображении тв = Г(я) единичного круга на область В (ограниченной кривой Г) дуге Г, будет отвечать на окружности С вполне определенная дуга ар. Обозначим через Л длину этой дуги. Каждой кривой Гя будет отвечать вполне определенное значение Л: ь есгь функция линии. Считая, что контур Г, +.
Г всегда охватывает точку тле: тво = ГГО), можно ставить задачу найти максимум 1.. Считая, что функция ш = У(з), определенная раньше, разложена в степенной ряд; у (я) = да+ а,я+ а.,за +... — , 'а„г" —;..., где, как известно, и,= о...—— -У ~0) а =---)'"~(0), лу мы можем рассматривать модуль а-го коэфициента ( а„~ ~также как функцию линии Г. Одной из трудных и интересных задач в теории кон- формных отображений является задача разыскания максимума ~ — "К , а,,' В качестве последнего примера формулируем одну задачу из теории .плосьопараллельного потока идеальной жидкости.
Пусть в плоскости комплексного переменного з дана простая дуга АВ. Допустим, что дугу обтекает плоскопараллельный поток идеальной не- сжимаемой жидкости при следующих условиях: 1) скорость жидкости в бесконечности равна 1l 2) точками разветвления и схода потока являются соответственно точки А и В. Обозначим через Р равнодействующую сил давления по- тока на дугу АВ. Как показали Н. Е. Жуковский и С. А. Чаплыгин, вычисление Р сводится к задаче конформного отображения внешности дуги АВ на внешность круга. Для вычисления отобразим конформно внешность дуги АВ на внешность круга ~тв ~(1 при условии, чтобы бесконечно удаленной точке плоскости я отвечала бесконечно удаленная точка плоскости тв.
Пусть ы =- 5(я) есть функция, реализующая это ото- бражение. Обозначим через 26, 0 ( 2ч (и. дугу окружности ~ ш(=1, концы которой отвечают в силу отображения концам луги АВ. При этих обозначениях имеем; чаК р сова Р= ~У (оэ) где, — плотность жидкости. Таким образом „подъемная сила" Р дуги АВ выражается через функционалы, отмеченные нами выше. Р есть функция линии АВ, определяемая конформным отображением. Выбирая некоторые специальные классы допустимых линий, можно ставить задачу, определить среди разбираемого класса допустимых линий дугус наибольшей подъемной силой. экстРемАльные ЕАНАчи в теОРии ЕОИФОРмных ОтОБРАжений 369 Отметим сейчас же трудности, которые мы встречаем при решении поставленных задач. Приведенные выше примеры функционалов суть функционалы, определяемые конформным отображением, а так как функции, дающие конформное отображение круга на область произвольного вида, мы умеем определять лишь как суммы бесконечных рядов, то для приведенных функционалов мы не имеем непосредственного аналитического представления; результаты, добытые нами в задачах на разыскание экстремумов интегралов, здесь оказываются неприложимыми.
Качественные принципы. Начнем с выяснения влияния вариации границы Г на два основных функционала ~У'(О)! и Т.. ПРИНЦИП ЛИНДЕЛОФА. Допустим, что единичный круг ~о~(1 конформно отображается на односвязные области Р и Р„так что прн каждом отображении центр круга переходит в точку то„, принадлежащую одновременно обеим областям. Обозначая соответственно через я=у(г) н то=)', (о) функции, реализующие эти отображения, имеем в случае, если область Р содержится в области,0,: Знак равенства достигается только тогда, когда области Р и Р, совпадают. ПРИНЦИП МОНТЕЛЯ. Сохраняя принятые выше обозначения, допустим, что области Р и Р, имеют общий кусок границы 1',. Обозначим через Т.
и Т., длины дуг окружности ~о~ = 1, которые при отображениях то= г(о) и то =г, (о) переходят соответственно в дугу ГР При этих обозначениях, если Р содержится в Р„то: 1. (1ч; знак равенства достигается, когда области .0 и Р, совпадают. для доказательства разберем сначала частный случай, когдачР, есть кРУг (то) ( 1 и п~з= О. В этом слУчае область Р полУчаетса выбРасыванием из круга ~то! =1 некоторой замкнутой области. Общая граница Г, будет некоторой лугой т окружности ~то(=1. Обозначим через Р(г, Ф! гт (то=гор) гармоническую функцию, принимающую на границе Р значения — 1п г, и через О (г, 9) — гаРмоническую функцию, сопряженную функции Р(г, 9): 1 дф дР г др дг' ,Р + РО) ( Р 1Р1 ~ ~и=О Так как граница Р принадлежит кругу (то~(1, то отсюда следует, что — 1пгвсюду на границе Р положительно или нуль, а значит, Р(г, 9) дО дР дг дг Тогда в силу формулы Римана функция о = тое будет реализовать Р+РО конформное отображение области,0 на круг ~ г ~ ( 1, т.
е. является функцией, обратной функции то=у(л). Так как в разбираемом случае г,(г)— = г, У,"(0)=1, то для доказательства принципа Линделофа достаточно доказать, что: ~~'(0)~(1 или что: допвлнвнив и на границе области положительна или нуль; отсюда, в силу свойства гармонических функций принимать свои экстремальные значении только на границе, заключаем, что Р(г, в) всюду больше или равна нулю. Следовательно, 'Р (0) )~ О, е )~ 1.
низ Из приведенных рассмотрений видно, что знак равенства может достигаться лишь в случае, когда на границе Р— !и г =— О, т. е. когда область Р есть круг. Для доказательства принципа Монтеля достаточно показать, что в точках т имеем: 1.= = дф(! в) — агК л~ = 1+ '" < 1, дг > или что в точках т — — < О. д0 дч Для доказательства этого заметим, что ' вдоль т: — !п г — = Р (г, е), а внутри области Р: Р(г, о))~0, следовательно, вдоль т д9 дР— = — < О. дч дг Перейдем к доказательству принципов для случая произвольной области .О,. Пусть: =.у1 (л) есть функция, реализующая конформное отображение круга ~г'~ < 1 на область Рп ~,(0)=ше.
Пусть,0з есть область круга !л!<1, переходящая при этом отображении в область Р. Обозначим через г= в(с), ср (0) = О, функцию, реализующую конформное отображение круга ! Г. ! < 1 на область Ря. При этих обозначениях очевидно, что функция =.г1 Ь~( )) =У(я) будет давать конформное отображение круга !г! < 1 на область,0, у(0)=тес. Кроме того, в силу доказанного частного случая принципа Линделофа имеем (~'(0)! <1; следовательно: )у'(о)(=(у„'(о)) ! (0)) <у,'(о); этим самым принцип Линделофа доказан полностью. Докажем теперь полностью принцип Монтеля. Пусть Е, н Е суть длины дуг окружности ~л ~ = 1, переходящих соответственно при отображениях те = г1(л), те= г"(з) в дугу Гн Воспользовавшись введенной выше областью .0 и функцией е(ь), очевидно, что У есть также длина дуги окружности ~с ~=1, которая при отображении в=у(ь) переходит в дуги ьп и, следовательно, в силу установленного частногО случая принципа Е <Е,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
