Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 74
Текст из файла (страница 74)
е. ф,(0) =ф,(я)=0. В частности можно положить ф, = я1п 1х. Этот частный вид функций мы и положим в основу 387 пРименение метода Ритце доказательства; доказательство при системе функций фг может быть проверено совершенно так же. Положим М у ~чРа з!пгх (3) Решение поставленной задачи будет состоять в том, что мы заменим в функционале l(у) функцию у через у„ и получим, таким образом, обычную задачу на максимум и минимум функции т переменных. Далее докажем, что переход к пределу законен и предельная функция дает решение вариационной задачи (1). Подставляя у„ в (1) и (2) (условия (2а) выполнены автоматически вследствие соответствующего выбора функций з!пгх], наша задача может быть формулирована следующим образом: Найти минимум функции з =г'(а„ах,..., а„,) = / ~р~'у,'агз!пгх)гз+д(~~ а,з!пгх~з~ах (4) ,=г г=г при условии Е„= / ( чр„а, з!п гх ',я агх = 1. (б) а г=г Уравнение (5) есть уравнение т-мерного эллипсоида, так как его левая часть есть определенно положительная квадратичная форма относительно а„аж...,а .
Ищется таким образом минимум непрерывной функции на поверхности эллипсоида. По теореме Вейерштрасса этот минимум достигается; обозначим его через з . Так как точка, в кото!о! рой этот минимум достигается,— внутренняя, то = / ! у ( чг', аг з!и' гх) з!п' Фх+ ! д — Л„', ) ( ~ж а, з!п гх) з|п лх ~ агх = О с=г г=г (г1=1,2, ..., иг). Умножив каждое равенство на произвольное Ал и просуммировав по л, получим: / (ру ".„+(д — Л )у "„) Их=О, (б) о где 1„, = ~~г', Аа ейп йх, Полагая в частности ь =у„, получаем: Я / ( ру"л + (гг — Л!'!) у' ) гЕх = О, о 388 дополивнив ш или учитывая равенство (5): у = / (ру',„+ду ) ~ох= Л~", (ба) т. е.
собственное значение квадратичной формы (4) есть ее минимум при условии (5). Полагая т=1,2, ..., А...,. получим последовательность минимумов: (о1 Уо] т(о~ (7) Очевидно, что У~~,(у~, так как <а> <о> умм=пнп.у(ам ая,..., а„) и так как у(а„а„..., а, О) =у(ам а„..., а„) к к /(РУ" + 7У ') Фх> / РУ„ах)~ уоно'). о о Следовательно последовательность (7), как монотонная и ограниченная, сходится. Таким образом существует 11 щ Л(Н = Л ". Из сходимости последовательности следует ~ / (ру'з + уу ) отх~ л М, о где М вЂ” константа.
Отсюда / ру'з тУх~(М+ ~ / ду т1х~ (М+(д(„,„=Мт. о о т) Через омм обозначен абсолютный минимум непрерывной функции д(х) нз замкнутом йнтервзле (О, е) и таким образом в У(а„ам..., а,) может меняться еще один аргумент, что только уменьшает минимум. Кроме того последовательность (7) ограниченна,так каквследствне положительности р и условия (2) при любом и имеет место следующее неравенство: 389 пгимвненив мвтодл Ритцл А так как р ) 0 и следовательно м, У „~( — =Ма, раю то отсюда следует, что у„равностепенно непрерывны и равномерно ограниченны'). В силу теоремы Арчела (з 44) из нашей последовательности у„у,..., у„„... можно выделить равномерно сходяшуюся подпоследовательность (8) У!п У21 ' 'э Ут1 Пусть Иш у, =у.
Докажем, что у удовлетворяет уравнению Штурма-Лиувилля и дает минимум интегралу а' = / (ру'я+дуя) ~ух. о Некоторая трудность будет здесь в том, что неизвестно, сходятся ли у' . Поэтому придется итти, следуя Ритцу, обходным путем. Во-первых, предельная функция удовлетворяет условиям у (0) = =у(в)=0 (так как им удовлетворяет каждая из функций у„). Докажем, что эта функция имеет непрерывные первую и вторую произволные. Для этого совершим предельный переход в равенстве (6).
Но прямо его совершить нельзя, так как туда входят у'. Для этого проинтегри- 1) Во-первых, семейство уа равномерно ограниченно. Действительно, в силу равенства уа (а) = у (Ь) = О, х (у„(х)Р=,'( /у',„1(х(1, а и, применяя неравенство Шварца, получим: (У,„(х))1=( / у~,„(х)1ух) ~((Ь вЂ” и) / У",а Их~(М1(Ь вЂ” а). а а Во-вторых, последовательность уа есть семейство равностепеино непрерывных функций. В самом деле /у (х,) — у (хз)'"- ) у,„1Ух ( ~ / г(х ° / у,а ах < Ме( хт — х, '„ х, что и доназывает равиостепеииую непрерывность нашего семейства.
390 дополнения ш руем его по частям. Интегрирование по частям первого слагаемого нам дает: к к к У --' ру .' «х= ~ р ' «у„= — ~ у„, (р'г ' + р~ ) «х = о о к к к — р" у„«х — / с ' «(~ р'у„«х) = о о о к Ы к к1 = — / р1"у„«х — [~' / р'у„«х1 + / [~ р'у„«х~ Гк«х= о а о о к к Ж = — / [ ру„— / р'у„«х~ г,„«х — С (я) / р'у„, «х. о к о Интегрируя второе слагаемое, имеем: к Ж / (и — Л~~~)у С «х= / С «[ ~ (д — Л~ ~)уа«х1 = о о О к к ж к ~'1 Д(д (н)у„«1« = /1'„,«[О( — Л'„")у„« '1= о о к к м к к ж к = [Г. ~ ~ (д — Лп~)у «х~1+ /г,„[/ ~ (д — Л'„')у «х~ «х. а к к о о Окончательно, соединяя оба слагаемые и воспользовавшись формулой (6) получаем: к к к "У Ф вЂ” / ~„, [ ру — ~ ру', «х — / / (и — Л~" ) у «ха~ «х+ о о о к к Х к +Г,' (я) [/ / (д — Л0")у «х — / р'у «хч =О.
(9) о о о При интегрировании по частям у нас были две цели: во-первых, l избавиться от у к и, во-вторых, при основном интеграле получить обшим множителем с . Так как функции ~, являются совершенно произвольными, мы можем потребовать, чтобы последовательность их вторых прок взводных С„, равномерно сходилась к какой-нибудь, произвольно выоранной непрерывной функции. Это можно сделать, так как любую непрерывную функцию можно апроксимировать тригонометрическими полиномами (см., напРимеР, И.
И. ПРивалов, Рады ФУРье). Тогда ь,к и ч„, также равномерно сходятся к непрерывным (и соответственное число раз диференцируемым функциям) С' и с. Заставляя теперь л про 391 пРименение методА Ритца бегать индексы последовательности (8) (у„г а следовательно и их интег- ралы сходятся равномерно), получим 1): ч х л е / ч (РУ вЂ” ~ РУгтх — ~~ (д — ) )улх]дх— э а а а — ('(к)Ц / (у — ) и )У эх'+ ( р'у Их] = О.
а э э (9а) Функцию Р можно выбрать так, чтобы ~' (О) = ь' (к) = О. Тогда получаем: и е л / 1э ~ ру — ~ р'у г)х — ~ / (о — ) со) у А1х ] 4х = О. а а э а Применяя лемму Дю-Буа-Реймоиа Я), имеем: ру — ~ / / (д — Л1'1) у Ых + / р' у гУх] = С, + С х. э э о Так как правая часть диференцируема, а выражение в квадратных скобках в левой части тоже диференцируемо (как неопределенный интеграл непрерывной функции), то диференцируемо н первое слагаемое левой части, т. е. у имеет производную. Выполняя диференцирование, имеем: (РУ)' — р'У вЂ” / (д — ) "1) У 1х а или, диференцируя еше раз, получаем: (РУ')' — (г — ЛО1) У = О, ') 11И тоже стремятся к некоторому пределу ьн), так как 11т)=Х1э).
я) Пусть у =у (х) есть функция непрерывяая в интервале а < х (Ь и такая, что ь для всех функций у=у(л) класса С„, обрашаюшихся в нуль на копнах интер- вела вместе со своими производнынй до (л — 1)-го порядка включительно. При этих условиях Р есть полином не выше (л — 1)-и степени. (Еетше1о, Ма1Ь, Аппа1еп, т. 58 11904).) т. е. у удовлетворяет уравнение Штурма-Лиувилля, которое можно было бы получить как уравнение Эйлера данной задачи. Докажем теперь, что функция у дает минимум интеграла(1). Прямо. совершать предельный переход нельзя, так как ничего не известно т относительно сходимости у .
392 дополннннв ш Докажем сначала, что л / (ру' + ду5 ах = Л~ ~. Сделаем следующее очевидное замечание: если интегрировать (9) по частям в обратном порядке, то получим, очевидно, исходное соотноше-- ние (6). Следовательно, если интегрировать по частям таким же обра- зом соотношение (9а), формально ничем кроме индексов от (9) не отли- чающееся, то получим следующее соотношение: / [ ру'~: + (гу — Лп~ ) у".] ах = О, о илн, полагая с=у, имеем: к [ (ру' +ау ) йх=Л~~~.
о Докажем теперь, что ЛО~ есть нижняя ераница значений 1[о (х)], аде р (х) — любая дояуслтимая функция. Допустим обратное. Тогда Л'Н больше нижней границы У[о(х)] (меньше нижней границы она быть не может), так как У(у) = Л, то существует функция ~р (х), удовлетворяющав условиям (2) н (2а), н такая, что л У [~р (х)] = / [р [ср' (х)]'+ д [ у (х)] ) Их ( ЛО~ — е. а Апроксимируем теперь у'(х) некоторым полиномои Р,(х) = аз+а, сов х+... +а„сових так, что ] се' (х) — Ре (х) ] ( е,.
Записав зто соотношение в виде: — е, ( о' (х) — Ре (х) ( е, и проинтегрировав от О до х, получим: ! ср (х) — / Р„(х) ах ! ( пе,. о Вводя обозначение: а, шп х+ — е з!и 2х+ ... + —" з1п кх = ф, (х), 2 й имеем: )су(х) — ьг„(х) — аех] (яе,. Положив х=я и учитывая условия (2а), получим.' ], ( ) — ~ (и) — ~~я ] < '» 393 пгимвнвние мвтодл гитцл т. е. )а ~ (е, и следовательно: 1р (х) — ()„(х) ! ( 2ке,. Из этого следует, что функцию ч((х) можно апроксимировать таким, состоящим из синусов, полиномом, что производная е'(х) апроксимируется производной этого полинома.
Следовательно, можно выбрать номер )1 столь большим, что ~УЮ„И)] — у(;(х)) ~<' и следовательно: у яа (х)) ( )(~) — — ~( )~(~~ —— у(')у(')(Кх = О, У'' = о где у — первая собственная функция, положим (1) у( ) =,«~ 0ь з1п йх. ь=! (10) Подставляя это выражение в (1), снова получим квадратичную форму коэфициентов. Выражение (2) снова дает уравнение поверхности того же эллипсоида, Полагая Юа гп) = ~ а, з( (х, (=1 (так как последовательность (7) — монотонная иевозрастающая). А это. пРотивоРечит томУ, что 1„есть минимУм У(ап ам...,аа). (О Примечание. Мы не доказали сходимости последовательности у„у„...
к решению у, а только лишь сходимость некоторой подпоследовательности у„, уя„ ..., закон образования которой ие указан. Для практических же приложений важно знать равномерную сходимость всей последовательности у„ у,... Теперь это нетрудно доказать. Действительно, мы доказали, что каждая сходящаяся подпоследовательность сходится к решению поставленной задачи. Если предположить, что вся последовательность у„уя,... расходится, и, следовательно, существует другая п6дпоследовательность, сходящаяся в некоторой другой функции у() и она согласно вышесказанному тоже была бы решением (() нашей постоянной задачи и соответствовала тому же собственному значению.
Это же невозможно, вследствие единственности решения. В силу компактности у„у,, у„,... из сходимости этой последовательности следует и равномерная сходимость. Доказательство существования второй собстве иной функции. Для того чтобы доказать существование функции у('), дающей минимум интеграла (1) при условиях (2) и (2а) и дополнительном условии: 394 дополнвнив ш где ап как и прежде, коэфипиенты частных тригонометрических сумм, равенство (10) дает: ФВ З2 ;Ь' ,()2 / з(п йх ( ч , 'а2 з(п гх) 2)х = О, к= (=1 т. е. уравнение плоскости в т-мерном пространстве„проходящей через начало координат. Эта плоскость пересекает указанный эллипсоид и в сечении получается также эллипсоид, только меньшего числа измерений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
