Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 72
Текст из файла (страница 72)
а-окрестность линии Е можно разбить на две части: положительную и отрицательную; положительную часть образуют точки, которые можно соединить с А+ бесконечно малыми путями, а отрицательную — точки, соединимые бесконечно малыми путями с х, . Вернемся к конформному отображе- нию ш =У(з). 376 дополнкник и ~ ~+ (тюо) ( = ~ ~ Фо) ! (9) или геометрически каждой дуге линии ь отвечают на окружности ! з ~ = 1 две дуги одинаковой длины. Для доказательства (9) допустим про~ивное, что в некоторой точке (тю ) имеем: Г ~Р+'(юо) 1 = ~ Р '(юо) 1, тогда в силу непрерывности гч+' (тю) и 1 Р ' (тю) существует дуга .(, содержащая тюе, такая, что в каждой точке этой дуги (тю)!)~й!~ (тюо)~> где ( — некоторая константа, большая единицы.
Построим дугу находящуюся в отрицательной части е-окрестности второго порядка дуги т н совпадающую с Т только в концах. Обозначим через о область ограниченную Т и т' (черт. 86); кривую т' мы выбираем всегда так, чтобы площадь 8 была порядка е. Пусть теперь Р, есть область, получаемая выбрасыванием из Р области о с ее границей.
Функция я=гт(тю) даст, очевидно, конформное отображение области Р, на круг, из которого удалена часть о„соответствующая области 8; пусть о, есть плошадь удаленной части. Так как дуга т аналитична, то при достаточно малом е функцию к= то(тю) можно аналитически продолжить за дугу т во всю область 3. Обозначая через Рз область, получаемую из Р заменой куска границы т дугой т', функция я=с" (тю) будет давать коиформное отображение проварьированной области Ря на область Ь, которая получится из круга )я)(1 удалением о, и добавлением области 3, в которую построенное аналитическое продолжение функции ю (тю) переводит область о. Пусть о есть площадь 8 . В силу условия (9) одна из плот) Иными словами Г '(гюз) есть предельное значение г'(гю), когда гю стремится к гее по одной из линий класса Кп Пусть я = Р(тю) есть функция, обратная функции У'(я). Функция ю = Г(тю дает конформное отображение области Р на круг )я~ ( 1.
Назовем значением функции Г (тю) в точке тю предельное значение гт(тю), когда тю стремится к тюо. Пусть теперь при отображении к= г"(тю) точкам тю = 1, тю = со соответствуют точки ю, и к окружности ~г~ = 1. Эти точки разбивают окружность ~г! = 1 на две дуги а и р; когда точка тю описывает линию Х.+, соответствующая точка г=ю+(тю) опи шет дугу п, н когдз тю опишет дугу А, точка ю= то (тю) опишет дугу р. При условии, что кривая Š— аналитическая, каждая из функций Р' (тю) и ю" (тю) также аналитична всюду вдоль т., кроме конца линии те=1. Обозначая через то+' (тю) и гч ' (тю) значение производной гт' (тю) в точке тю, принадлежащей А, соответственно считая эту точку принадлежащей Е+ или Е '), докажем, что если кривая Е дает максимальное значение функционалу (~" (0)(, то в каждой точке тюо линии Е мы имеем: экстгвмлльнын задачи в теоРии конеовмных отовглжвний 377 щадей а, и оа будет по крайней мере в лз раз больше другой ')1 пУсть ез) сваг.
ПУсть тепеРь: л = о (ь) есть функция, отображающая !конформно круг ~ ь (( 1 на область Ь, р(0)=0. В силу теоремы имеем: 1 дт — 1 ~о ( )~ + ч (ея ег)+о(е) ),1т" 9 от+0(е). (10) С другой стороны, функция пг =.г [р(л)) =Л (л) (11) дает конформное отображение круга ! г ) ( 1 на проварьированную область Ра, ~г(0) =О. Диференцируя (11) и принимая во внимание (10), получим: ~ Уг' (0) ~ = ~ у' (0)! ° (о'(0) ) ) ( У" (0) ~ (1 + — е + о (а) ~ . Так как по условию () 1 и так как, легко видеть, о, есть бесконечно малая порядка а, то прн достаточно малом е фигурные скобки больше единицы; следовательно, при отображении круга )л~ (1 на область Р ~ Уг' (0)! ) ( г' (0): растяжение в начале г = 0 больше соответствующего растяжения прн отображении круга (л~< 1 на первоначальную область Р.
Мы приходим к противоречию с основным допущением. Итак, вдоль линии Е имеем: !~ч+( )1~ ( )(, или геометрически: положительной и отрицательной сторонам дуги (О, з) отвечают на окружности две дуги, равные по длине. Таким свойством будет обладать отображение, если мы за линию л. примем луч, расположенный на действительной оси. Покажем, что это решение единственно. допустим, противное, что существуют две различные линии д., и д.„ удовлетворяющие найденному условию.
Пусть Р' и Рл — области, получаемые выбрасыванием из плоскости соответственно линии А, и Ез. Отобразим конформно: %'= ф (тв) В Пусть з есть длина дуги, принадлежащей Е и заключенной между точками в=1 н нй пусть, кроме того, Ч= Ч(г] есть длина куска нормали к Е в точке г, заключенной между дугамн т ит', тогда, пренебрегая бесконечно малыми высших порядков: "=У~"'(.)~ « ~"'(.
"' Эр е ~я = / ! г ',(ге) ! ' Ч (з) ' ( г (и) ~ лд Эо условие (9) показывает, что подивтегральное выражение для зт в дя раз больше, чем подннтегральное выражение для ан 378 пополнение и область Р' на область,0" при условиях, чтобы начало координат переходило в начало координат и чтобы начало А,(то = 1) переходило в начало линии е.г(1к'= 1): ф (0) = О, ф (1) = 1. При таком отображении в силу свойств областей Р' и Р" функция ф (тв) будет в каждой точке тв линии А, при подходе к этой точке с положительной и отрицательной стороны А принимать одно и то же значение ф+(и) = ф (ш).
Следовательно, функции ф(гв), будучи правильна всюду вне линии С, будет непрерывна во всей плоскости, но в таком случае: ф(ш) = аш+Ь, тде а и Ь вЂ” константы. Пользуясь условиями ф(0) = О, ф(1) = 1, найдем, что а=1 и Ь=О. Таким образом ф(тв)=те, линия Е,, совпадает с линией да Отсюда, отображая круг ~г~ ( 1 на „лучевую' область, мы получим единственную функцию, для которой ~ У'(0)! достигает своего наибольвпего значения: 4г (1-Ьг)г (12) Лиференцируя и полагая я=О, мы найлем искомое максимальное значение функционала: ге'=~ ( .,1 =4. Используя приведенное выше решение, нетрудно решить задачу более общую: среди всех функций У(г) правильных и однолистных л единичном круге, таких, что: 1) 7(0) = 0 и 2) 7(г) фа при ~г~ (1, .требуется найти функцию, для которой ~7" (0) ~ принимает наиболь- агее значение.
Для решения этой задачи рассмотрим класс функций: р(г) = — „' у(г). Этот класс функций удовлетворяет всем условиям решенной нами задачи, следовательно: ~ р' (О) ( = 1 ~у' (О) ( .с 4, 4г причем знак равенства достигается, когда е(г)= . Отсюда для = (1+г)г' .разбираемой задачи: (~'(0)( (4)а); (13) знак равенства достигается, если положить 4аг Х(г) (1 + )г ' Приведенные рассмотрения дают как следствие известную теорему Нббе-Бибербаха. экстгамальныв задачи в твогии конэовмных отовгажвний 379 ТЕОРЕМА.
Если функция и=с(г)(Г"(0)=0, ~У" (0)~=1) правильна и однолистна в единичном круге )г~ ( 1, то множество ее значений в плоскости тв покрывает круг ~ го~ ( —. 1 4 Для доказательства допустим противное, что сугцествует функция то=Да), удовлетворяющая условиям теоремы и не принимающая при 1 ~ г~ < 1 значения а, ~а) < 4 , .тогда в силу (13) получим: )у' (0) ~ ( 4 ° ) а ! ( 1, что невозможно, ибо по условию г"'(0) ! = 1.
Проблема коэфициентов. Одной из важных проблем в теории конформных отображений является следующая задача: среди всех функций то=у(г)(г(0) = О, )У'(0) (=1) правильных и однолистных в единичном круге (г)(1 найти функцию, для которой ~У(Ю(0)) принимает наибольшее значение. Мы приведем решение этой задачи для случаев п=2 (теорема Бибербаха) и и = 3 (теорема Лозиера). Прежде чем приступить к решению, изменим несколько самую постановку задачи. Пусть Е (г) (Е (0) = 0) есть произвольная функция, правильная и однолистная в единичном круге; тогда функция =-„—,', Е(~) =У(~) будет, очевидно, принадлежать к классу функций, определенному вусловиях задачи, и , у(->(0) ~ ~ р(«' (О) 1 1 Е'(О)/ Кроме того, если агдФ"~(0) =а и агя Е'(О) =р, то для функции: в — ««а — в Ф (г) = е" — ' Е (е" — ' г) аргумент будет обладать следующими свойствами: агн Ф' (0) =агя Ф("1 (0) = О. Следовательно ( ) 0 Фйй(0) Фой (О) ! У" (О) ~ = Ф, (О) — — П 1 — Ф, ( Отсюда заключаем, что нашу задачу в общем случае можно формулировать также следующим образом: среди всех функций ш = Ф (г), Ф(0) = 0 агдФ'(0)=0, правильных и однолисткых в едикичном круге, найти Ф(ю(0) функцию, для которой Кее! — принимает наибольшее значение.
Ф' (О) Именно в этой постановке мы и будем решать задачу. Сделаем еще одно небольшое упрощение задачи. Пусть Е есть простая дуга, расположенная в плоскости то и обладающая следующими свойствами: 1) Е не проходит через начало координат то=О; 2) г". соединяет точку а с бесконечно удаленной точкой; 380 дополнвнив и 3) Е обладает непрерывно вращающейся касательной и 4) при удалении в бесконечность Е аснмптотически приближается к действительной оси. Обозначим через Рх область, получаемую удалением из плоскости тэ линии Е.
Пусть тэ = Г (г), у (0) = 0 есть функция, отображающая конформно круг на область Р . Из теории конформных отображений известно, что, какова бы ни была функция Ф (я), Ф (0) = О, правильная и однолистная в единичном круге, всегда можно построить последовательность линий: г> я а» - »».. обладающих перечисленными выше свойствами, и таких, что: ф(г) = 1пп у" (я), ».+со причем сходимость, равномерная во всяком круге, (г ~ (г(1, внутреннем к кругу (я~ .
1. Отсюда: Ф'(0)= 1пп У '(0);Ф" (0)= йш Г" "(0);...; Ф(")(О)= !пп у" (")(О). ».+ со В.+,о ~» ».+со» 4>(") (О) Следовательно для разыскания абсолютного максимума функционалов— > >1>' (О) среди всех однолистных функций Ф(г), Ф(0) = О, нам достаточно найти абсолютный максимум этих функционалов для функций )' (я). Перейдем теперь к основной редукции задачи. Итак, пусть Е есть линия, определенная выше.
Отметим на линии Е точку Р(з), где з есть расстояние от а до Р(г), измеренное по линии Е. Обозначим через О(0) область, получаемую выбрасыванием из плоскости тэ всейлинииЕ, и обозначим через Х>(г) область, которая получится, если к области Р (О) добавить кусок линии Е, заключенный между точками а и Р(з). Пусть: тэ=г(г, г); У'(О, з)=0, агй~'(О, з)=О (О зч. со) есть функция, реализующая конформное отображение круга )з(ч 1 на Г' (О, з — ЗЮ Г" (О> а) область Э(з).
Найдем главные части приращений у (о,. дг) у (о,з) У"'(О, г — дз) у'"(О, а) и , „ ' — , ' ) . Для этой цели, считая Ьз бесконечно малым и пренебрегая бесконечно малым высших порядков, вычислим: ус (О, г — с>з), 1"' (О, з — >»з) и у"" (0> з — с>э).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
