Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Ке превосходит 2", то, следовательно, объем Я (В) не превосходит 2". Теорема Минковского доказана. Если ~, + Ря †,' ... †,' Рь совпадает с кубом В (В), то объем ьг(В) как раз равен 2". Следовательно, 2" есть максимум объема тел Д (В). Возможны два случая: 1. Тела 9(В) не заполняют всего и-мерного пространства. Части р, этих сил, попавшие внутрь куба )с (В), не заполняют всего этого куба. В этом случае объем ьг(В) меньше 2". 2.
Тела Я(В) заполняют все и-мерное пространство. Части р, этих тел, попавшие внутрь )с (В), ааполняют этот куб. В этом случае объем Д(В) достигает своей максимальной величины 2". Таким образом задача о нахождении тела Я(В) максимального объема эквивалентна задаче разбиения и-мерного пространства на выпуклые тела с центрами симметрии в узлах чВ. Примечание.
Линеяныы преобрззовзнисм можно перевести сеть Ж в любую парзллелепнпезную сеть. Разбиение пространства нз тела с центрами симметрии в узлах паразлелепнпедной сети называется иараллелеиииедимм разбиением. Мы видели, например, что для плоского случая максимум объема ь)(В) достигается нз пзралзелограмах н снмметрнческн шестиугольниках. Соответственно этому возможно парзллелепипедное разбиение плоскости лишь на парзляезогрзмы п симметрические шсстнзтояьнпкп. 357 экствямальныв свойства выпьклых тел 3. Экстремальные свойства треугольника ц предыдущей задаче экстремум достигался на параллелограмах и шестиугольниках. Ряд задач дагот в качестве экстремальной фигуры треугольник. Задача 1.
Из всех выпуклых фигур данной площади, опираюиргхся на опгрезок АВ оси Ох, найти тот, у которого центр тяжести имеет нпибольшую ординату. Решение дается треугольником с основанием АВ Е С (черт. 71). В самом деле, пусть дана произвольная, отличная от треугольника выпуклая фигура площади з, 0 опирающаяся на отрезок АВ. Пусть С вЂ” наиболее удаленная от. оси Ох точка периферии этой фигуры. Из двух дуг АС и АВ границы этой фигуры одна по крайней мере отлична от прямой, например АС.
В Пусть В есть точка дуги АС. Проведем хорду АВ черт. 7!. и продолжим ее до пересечения в точке Е с линией абсцисс точки С. Ззменим дугу АС ломаной АЕС. От нашей фигуры в результате такой деформации будет отнят сегмент, заключенный между дугой АВ и хордой АВ, и добавлен криволинейный треугольник, заключенный между ВЕ, ЕС и дугой ВС (частью АС). Варьируя точку Е, можно добиться, чтобы присоединенная площадь равнялась отнятой, т. е. чтобы в результате этой деформации плошадь фигуры не изменилась. Но тогда при указзнной деформации центр тяжести фигуры удалится от оси Ох, так как присоединенный треугольник ВЕС расположен дальше от оси Ох, чем сегмент АВ.
Такая деформация, увеличивающая ордииату центра тяжести, перестает быть допустимой вариацией, коль скоро фигура обращаешься в треугольник. Задача 2. Выпуклая фигура 5 делипгся прямой Е, проходящей через центр тяжести, на две часпги, 3, и Зэ Найти минильум выражения: плошадь Яг г плошадь 8 Пусть прямая Е пересекает границу . 'фигуры Я в точках А и В (черт. 72). Проведем касательные в точках А и В к ": и обозначим через С их точку пересечения. Пусть 8, принадлежит треугольнику АВС и отлична от треугольника, з этом случае можно заменить $, Черт.'72. выпуклой фигурой 77 той же площади, но с центром тяжести, более удаленным от Е.
Фигура 5' = Зв †', И выпукла, имеет ту же площадь, что и 5 = Я, + Яг, и центр ее тяжести находится в Яг Проведем через новый центр тяжести пря- 338 дополнение ~ мую Х.„ параллельную х.. Она разобьет 8' на две части $,' и $.', причем площадь 5,' ( площади гч = площади Яп площадь Зз' ) площади Яа Следовательно, Л СВ,', Вэ', х,') ( Л („ „х.>.
Такая вариация границы 3, уменьшающая отношение Л, перестает быть возможной, коль скоро 8, есть треугольник. Отсюда очевидно, что в случае минимума Л ЛЮ„Ю,„х,) часть В, должна быть треугольником. Итак, пусть Я, есть треугольник АВС. Часть Вэ заключена в части плоскости, ограниченной АВ и продолжениями АЬ и ВВ сторон треугольника Ян Если можно заменить Вэ выпуклой фигурой гс, заключенной в этой же части плоскости, ио с центром тяжести, более близким к х., то фигура Ю, +Я перейдет в фигуру И+8, с центром тяжести, смещенным в сторону Ю„ следовательно, как мы убедились выше, этим мы можем уменьшить отношение Л (Я„Зе, 4.). Минимум Л будет достигаться, когда центр тяжести оэ будет ближе всего к х.. Но это произойдет в том случае, когда Зя есть трапеция с основанием АВ и ему параллельным и боко- и — ными сторонами АВ и ВВ. В самом деле, проведя из внутренней точки Черт.
73. В. прямую, параллельную АВ, получим трапецию АЛЬ, получаемую из Я. (черт. 73) удалением сегмента, отсекаемого хордой Мф~„и добавлением двух криволинейных треугольников АММ, и ВММ,. Передвигая эту прямую, можно добиться положения, когда эта трапеция будет иметь площадь, равную площади 5. Но ее центр тяжести сравнительно с центром тяжести Я расположен ближе к х., так как отнятая часть отав расположена ближе к'х., чем прибавленная.
Итак, минимум Л(оп Вэ, х,) достигается, когда Я есть треугольник, а прямая х„проходящая через его центр тяжести, такова, что часть Я,— треугольная, а Я вЂ” трапецевидная часть. В этом случае Переставив Ва и Зн получим максимум для Л ЛЯн Ю,„х.), рав- 5 ный — — . Итак всегда: \ 4 5 — Л (Вн Зю У) ( 4Лальше мы приведем интересную экстремальную задачу, приводящую к треугольникам, решенную С. С. Ковнером.
эестввмлльиые свойства выпуклых тел 359 4. Об экстремуме отношения объемов выпуклого тела и заключен- ного в нем центрально-симметрического тела Черт. 74 1. Пусть имеется выпуклое тело К; если внутри него взять точку Р н 'построить тело К„ центрально-симметрическое телу К, с цен~ром симметрии в точке Р, то общий объем тел К и К„ который мы обозначим через (К, К, ), будет обладать следующими свойствами: 1) это будет тело, вписанное в К, 2) выпуклое, 3) центрально-симметрическое с центром в Р, 4) максимальное по объему(и длине границы) из всех центрально-симметрических выпуклых тел, вписанных вКи имеющих центр в Р (черт. 74). Последнее свойство вытекает из того, что всякое другое центрально-симметрическое относительно Р тело, вписанное в К, не может иметь точек, принадлежащих К и лежащих вне (К, К, (, так как тогда оно обязательно имело бы точки и вне К.
Н,' 2. Таким образом для всех точек Р тела К единственным образом определена функция— объем максимального центрально-симметрического тела, имеющего центр в точке Р и впи- // санного в К. Эта функция, следовательно, достигает внутри тела мак- р симума, и притом в одной или нескольких точках. Мы докажем, что именно В одной. Построим тела К, и К,' около центров Р и Р', в каждом из которых, по предположению, объем (К, К, ) соот- Черт. 75. ветственно ( К, К,' ) достигает максимума. Тела К, и К,' расположены параллельно друг другу. Проведем опорные прямые'), общие обоим телам К, и К,' (черт. 75). Взглянем теперь на это построение с несколько иной точки зрения: представим себе цилиндр, имеющий основанием тело К и образую|цую, перпендикулярную плоскости черт.
75. Точно так же представим себе цилиндр с направляющею К, и наклонной образующею, проектируюшеюся параллельно опорным прямым черт. 75. Тогда центрально- симметрические тела (К, К, ) и (К, К,') представляют собою не что иное, как сечения общего объема обоих цилиндров двумя плоскостями, параллельными плоскости чертежа. Но общий объем двух выпуклых цилиндров есть выпуклое тело.
Следовательно, тела ( К, К, ) и (К, К|~ ) суть два максимальных сечения этого выпуклого тела. |) Опорными прямыми называются прямые, имевшие общие точки с границей выпуклого тела, пе пересекаюшие его внутреиииа части. збО ДОПОЛНЕНИЕ Из теоремы Минковского-Брунна!) о соотношении объемов !Нли площадей) трех последовательных параллельных сечений выпуклого тела следует: если два сечения равны по площади, то всякое промежуточное может быть только больше или равно им по площади, в нашем же случае, максимальных сечений, может быть, очевидно, только равно. Из того же результата Минковского следует, что выпуклое тело, три последовательных сечения которого равны .вежду собою, может быть только цилиндром Следовательно, тела !! К, К, ) и,' К, К,' ',, как сечения цилиндра параллельнычи плоскостями, не только равны по площади, но и конгруэнтны и параллельно ориентированы.
В то же время они вписаны в выпуклое тело К. Достаточно провести к ним две параллельные опорные плоскости (черт. 76), чтобы получить вписанное в К центрально- Черт. 76. симметрическое тело, большее, чем ( К, К, ) н ,'К, К,' '„ что противоречит предположению. 3. Таким образом существует единственное максимальное выйуклое центрально-симметрическое тело, вписанное в данное выпуклое. Обозначая это максимальное центрально-симметрическое вписанное тело через / и обозначая его объем через 1!о!,У, ставим вопрос, в каких пределах меняется отношение объема тела У к объему тела К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
