Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 63
Текст из файла (страница 63)
е. равен значению з вдоль тзг ~ Нах+рау= ~Е(х, у, у') ах. Мы получили, таким образом, следующий результат: ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА. Для любой линии т класса Сн принадлежащей полю [Т) и имеющей концы в точках М(ха, уз) и Аг(х, у), имеем: Ув(,) = ~Нйх+ рйу= У(х, у) — У(х„уе), где У(х, у) есть з'-расстояние от точки (х, у) до трансверсали поля Если концы т принадлежат трансверсалям 1', и Г, проходящим через концы экстРемали то, то ув(Т) Равен 1(Тз). Распространим теорему Гильберта на случай функционала Е Итак, пусть Тв есть экстремаль функционала А Сохраним геометрические построения, проделанные при выводе теорем Гильберта для случая функционала У. ПУсть т есть экстРемаль полЯ [Т) (окРУжающего экстРемаль те), проходящая через точку М(х, у).
Обозначим через и(х, у) и о(х, у) направляющие косинусы касательной к т, проведенной через точку М. Обозначая, как раньше, через У(х, у) 1-расстояние точки М(х, у) до трансверсали поля Г, (проходящей через конец те), будем иметь: аз'(х,у) =Е [х,у, и(х,у), о(х,у)] йх+Е„[х,у,и(х,у), о(х,у)] йу= = Н сгх+ р с(у. Таким образом в разбираемом случае выражение Нйх+ рау будет также полным диференциалом. Отсюда заключаем, что если в приведенной выше формулировке теоремы Гильберта вместо Н и р подставить соответственно Е и Р,ч то теорема годится также для функционалов Е 9 99] ФУНКЦИЯ ВЕЙЕРШТРАССА Функция Вейерщтрасса.
Введем следующие обозначения: Е(х, у; и, и)=Г(х, у, и) — Г(х, у, и) — (и — и) Г'ь(х, у, и) для случая функционала 1 и Е,(х, 99 и, е; и, о) = и [Г, (х, у, и, е) — Г, (х, у, и, е)] + + е [Г„(х, у, и, э) — Г„(х, у, и, е)] для случая функционала Е Функции Е и Е, носят название функций' Вейерштрасси, Используя теорему Гильберта, оказывается возможным весьма просто найти выражение приращений функционалов у и у при помощи введенных функций Вейерштрасса. Начнем с функционалов А Итак, пусть (е есть экстремаль, соединяющая точки А и В. Пусть, кроме того, экстремаль (е возможно окружить полем экстремалей [т], покрывающим область ь). В таком случае в силу теоремы Гильберта, какова бы ни была линия ( класса С„ соединяющая точки А и В и принадлежащая области ьс, имеем: / Г(х, у, у') йх= /Нйх+рйу= ~(Н+р ф) Ых.
и Следовательно: 1("() —.Г((е) / Г(х, у, у ) гЬ / Г (х, у, у ) ~х= и = /Г(х, У. у') с(х — /(Н+р — ~ 4х= / [à — (Н+р=У)1,ух т г 2 Заменяя Н и р их выражениями через Г и вводя функцию Е, окончательно получим: йУ= / Е (х, у; и (х, у), †] их. (35) Рассмотрим теперь функционал Е Сохраняя обозначения, принятые. выше, и применяя теорему Гильберта, получим: / Г (х, у, х', у') и'с = = / Г„[х, у, и (х, у), о(х, у)] ггх — ', Г„[х, у, и(х, у), о (х, у)] г~у. Обозначая через йз злемент дуги линии т и через и (х, у) и о (х, у) их направляющие косинусы касательной к -( в точке (х, у): — =и (х, у), — =в (х, у), будем иметь". йу ,/ Г ис= / [Г, [х, у, и (х, у), о (х, у)] и+ -~;Г, [х, у, и (х, у), о:(х, у)] о] Ж.
.336 твогия паяя и досглточныв головин сильного зкстгямэма (гл. Х% Отсюда, принимая за параметр длину дуги, получим: йг =У(Т) У(То) = = /(Е(х, у, и, о) — ир„(х, у, и, о) — пЕ„(х, у, и, и)) йэ. т Пользуясь условиями однородности, функцию Е можно представить так: Е(х, у, и, и)= ир, (х, у, и, и)+прв (х, у, и, и). Подставляя найденное выражение для Е под знак интеграла и вводя функцию Вейерштрасса, окончательно получим: йУ= ~Е(ху; и,п, и, о)аь. (36) т формулы (35) и (36) носят название формул Вейерштрасса для представления приращения функционала. Из формул Вейерштрасса непосредственно вытекает следующий РезУльтат: если экстРемаль Тв можно окРУжить полем экстРемалей, то для того чтобы То давала сильный экстремум, необходимо и достаточно, чтобы для любой линии Т класса Сг, соединЯющей концы Те, имели: ~Ейх) О (обыкновенная форма), Г, ~Ег ах)~ О (параметрическая форма).
Черт. 58. Приведенный интегральный критерий сильного экстремума сам по себе, в",силу своей громоздкости, практически мало удобен, но из этого критерия, как мы увидим ниже, просто выводятся новые необходимые условия сильного мянимума, а также получаются практически ценные достаточные условия.
Прежде чем перейти к этим критериям, остановимся на геометрической интерпретации функций Е. Мы ограничимся при этом случаем функционала У. Геометрический смысл функции Вейерштрасса. Пусть в области Ц дана точка М(х, у) и близкая точка М' (к+Ах, у+йу) (черт. 58); — Фу угловой коэфнциент направления ММ' будет равен и = †. 1-длина от- ак' резка ММ' равна Е(х, у, и) йх. С другой стороны, в области Я определена фУнкциЯ У точки, означающаЯ РасстоЯние точки до линии Рп ПРи переходе от М к М', У получает приращение: Ы =Лйх+ рйу = Е(х, у, и) — (и — и) Ев (х, у, и), где и — угловой коэфициент проходящей через М экстремали, йУ выражает расстояние между трансверсалями, проходящими через точки М и М'.
Разность Е(х, у, и) йх — Ы дает, следовательно, избыток У-длины эле., ента ММ над 1-расстоянием между трансверсалями, проходящими через 337 % 100) наовходимоз головня ввйввштглссь точки М, М'. Но Е(х, у, и)агх — Ы Е(х, у; и, и) ах. Отсюда интеграл / Е(х, у; и, и) дх, взятый вдоль кривой 1, равен избытку длины этой кривой над расстоянием между трансверсалями, проходящими через концы т. Если оба конца т: А и В лежат на одной и той >ке экстремали т поля, то У-расстояние между проходящими через А и В трансверсалял>и равно з'-длине т.
Следовательно, здесь / Е (х, у; и, и) ах означает избыток з'-длины т над У-длиной Т (Цермело). В 100. Необходимое условие Вейерштрасса Необходимые условия сильного экстремума. Пусть экстремаль те соединяет точки А, В. Опираясь на рассмотрения предыдущего параграфа, установим следующее новое необходимое условие для того, чтобы те реализовала сильный минимум. ТЕОРЕМА. Для того чтобы экстремаль Т реализовала сильный минимум функционала 1, соответственно А необходилсо, чтобы вдоль те ари любых значениях 9 удовлетворялось неравенство: Е(х, у; у', 136))~0 (обыкновенная форма) '), Е, (х, у; х', у', сов з, ьйп3))~ О (параметрическая форма). Доказательство этого предложения проводится совершенно одинаково как для случая функционала У, так и для случая функционала У; по этой причине мы ограничимся рассмотрением функционала з.
Предположим противное: в некоторой точке М, (х, у) экстремали те и для некоторого значения и имеет место обратное неравенство: Е (х, у; у', и) ч. О. (37) Мы можем считать, что точка М, отлична от концов А и В экстре- мали тр, в противном случае вследствие непрерывности функции Е можно было бы заменить точку М, близкой точкой экстремали, уже отличной от концов те, для которой неравенство (37) попрежнему ° '~ь, й удовлетворялось бы. Аналогично мы можем считать, что направление с угловым коэфициен- У„ том и не есть направление, ни >ьг Г'Г касательное, ни трансверсальное нашей экстремали в точке М,.
Черт. 59. Выберем на экстремали те точку М, лежащую между М, и А, такую, что дуга М,М не содержит пары сопряженных точек (черт. 59). В таком случае мы ма>кем построить поле >) Это неравенство должны выполняться согласно условиям теоремы „вдоль" ть, т. е. в любой точке М (х, у) кривой т при значении у', равном угловому коь- фициеитУ касательной к ть, пРозеденпой чеРез точкУ >И, Аналогичное поЯснение можно сделать ко второму неравенству: за х', у' можно принять здесь направляющие косинусы касательной к ть в точке М. 333 теоРия полЯ и дОстАтОчные УслОВВЯ сильного экстРемУИА (гл. Х11!' эястремалей (Т] с центром в точке М,охватываюшее лугу ММ, экстре- мали Те. Проведем трансверсали Г' и Г поля (т], пересекаюшие те в точках Мя и М„где Мз расположена межлу М и М,. Далее из точки М1 выпустим луч М,М' с угловым коэфициентом 'и до пересечения с трансверсалью Г' в точке М'.
Если точки М, и МЯ или, то же самое, линии Г и Г' достаточно близки, то построение возможно и 1-длина отрезка М'М меньше 1-расстояния между трансверсалями Г' и Г„ т. е. 1-длина М'М, меньше Г-длины дуги МЯМ, экстремали то. Это следует из геометрического определения функции Е и условия Е с. 0 (см. 9 99). Соединим теперь точку М' с точкой М экстремалью ММ' поля (Т]. 1-длины дуги ММ' и ММ, равны между собой (так как ММ' и ММя— дзе экстремали центрального поля, концы М' и Мя которых лежат на на одной трансверсали Г'). Отсюда следует: ломаная ММ'М„состоящая из дуг ММ' и отрезка М'М,, обладает меньшей у-длиной сравнительно с дугой ММ, экстремали Т. Заменив в те дугу ММ, ломаной ММ'М„ мы получим кривую, соединяющую те же точки А и В, з-длина которой меньше з-длины т .
Мы приходим к противоречию с условием теоремы, следовательно, неравенство (37) не может иметь место. Теорема доказана Условие Лежандра как следствие условия Вейерштрасса. Разлагая функцию Е (х, у, и) в ряд по степеням (и — и), мы получим: Е (х, у; и, и) = (и — и)з Е„„ (х, у, и + О (и — и)], 0 ч., О с. 1. Если Е(х, у; и, и))~0 при любом и, то, следовательно, и Е„„[х, у, и+ 0 (и — и)])~0, При и, стремяшейся к и, это неравенство переходит в неравенство Е„„(х, у, и) )~ О, представляющее собой необходимое условие Лежандра. Вполне аналогично может быть установлена связь между условием Вейерштрасса и условием Лежандра при разыскании экстремума функционала Е В самом деле, применяя к выражениям в квадратных скобках: Е, = и ]Е„(х, у, и, О) — Е„(х, у, и, О)]+- +о ]Е, (х, у, и, О) — Е, (х, у, и, О)] (и=соз О, О=а!пО, и =созО, О=эйпО), формулу Лагранжа и используя соотношения Е„„= ОЯЕО Р'„, = — и ОЕИ Р;, = изГИ получим: Е (х, у; и, О; и, О) = (1 — соз(0 — О)] Е, (х, у, соз0", з!и Оь), где 0* заключено между 0 и 0 и где положено и =созО, О=а!НО, и = соз О, О = — з!и О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
