Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Пусть имеем произвольную кривую Г класса Сп В каькдой точке этой кривой можно отметить направление, трансверсальное к Г. По этому направлению можно провести экстремаль семейства (29), трансверсальную к Г, а значит, определить понятие з-расстояния от произвольной точки А (х, у) до Г. Это з-расстояние удовлетворяет уравнению Якоби: Так как в уравнение Якоби входит не сама функция з', а лишь ве производные, то при произвольном постоянном К функция з'(х, у) + К будет также решением уравнения Якоби. Рассмотрим теперь однопараметрическое семейство Г„ плоских кривых, не образующих поля трансверсалей ни в какой части плоскости.
Обозначим через з (х, у, а) з'-расстояние точки А (х, у) от кривой Г . Умея ' решать уравнение Эйлера, мы сможем, как мы только что видели, определить функцию з'(х, у, а). Добавив постоянную р, потучим решение 1(х, у, а)+ р уравнения Якоби, зависящее от двух параметров (так называемый общий интеграл уравнения Якоби). Из условия, что Г„не образуют поля трансверсалей, следует, что две произвольные постоянные а и Р нельзя свести к одной. 330 твогия поля и достаточныв головня сильного экстгвмгма [гл. Х1Ч Уравнение Якоби-Гамильтона будет иметь внд: (32) ./-расстояние от точки А (х, у) до произвольной кривой Г будет выражать оптическое расстояние от А до Г.
Рассмотрим частный случай, когда о=у; в этом случае зкстремали задачи <уть окружности, ортогонааьные оси Ох. Примем за кривые Г„снова прямые хсоз«+уз!а« =0; тогда оптическое расстояние «(х, у, «) от точки А(х,у) до кривой Г примет вид: е (х, у, «) = « ~ — + « — р), ~2 где а и ч суть полярные координаты точки А. Отсюда получаем следующий общий интеграл уравнения (32) при о=у: у $~ ха+уз~«ь — агс(й — )+р, у1 где «, и '„— произвольные постоянные. Случай разделения неременнык. Мы докажем сейчас следующую георему. ТЕОРЕМА. Если уравнение Якоби можно привести к виду: Ф(-У)- ~ ( У)= то уравнения Якоби и Эйлера можно решить в квадро~курах. В самом деле, полагаем: Фг» а,~~ где а — произвольное постоянное.
Решая каждое из этих уравнений д«' д«' соответственно относительно — и —, получаем: дх ду' дд, де' — — Ф„(х, ),, — — Ф, (у, ). дх " ' '' ду Отсюда получаем сразу общий интеграл уравнения Якоби: «' = / Ф, (х, а) ььх + / Ф, (у, и) ь)у. Применяя теорему 3, получим общий интеграл соответствующего уравнения Эйлера: ду у' дф,(х,«) )' дЖ,(у,«) — — '- — ' — ь)х+ у — '- — ау. СлучнйинтегрнровнняяЛиувилля уравнения геодезической.
Пусть элемент длины линии на поверхности имеет вид: сьва = [р, (х) — оз [у)1(ьгхз+ ауз). Уравнение Якоби примет вид: ~ — ) +( — ) — -,( )+;,(у), У есть длина геодезической. 9 98] 331 МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЯКОБИ Положим: (д ) '!( ) ' (д ) '2(У)' отсюда получаем обший интеграл уравнения Якоби; а'= / )«го (х) — а «)х]- / '[Га — Оя(у) «(у. (33) Уравнение геодезических примет вид: «пы — ' г ч' — ««! Эти формулы найдены Лиувиллем.
Таким образом и уравнение геодезической (34), и выражение (33) для ее длины находятся путем квадратуры. К случаю Лиувилля приводится также интегрирование уравнения геодезических, если элемент длины имеет вид: п«зя = [е1 (х) + р, (у)] [о«1(х) «(хя+ фв (у) «(уя]. В самом деле, полагая ф1 (х) «тхя= «тля, бия(у) «уа = «Ья (34) эллиптическую систему координат (лт, ла) (см. 9 1!). В этих координатах элемент дуги дг кривой на эллипсонде выразится: а'22 — — ~ ГЛ22+ «ткат 1 [ (Л« — Л1) (Л2 — йа) (ка — к!) (ка — Фа) ] (йт а1) (аа ат) (Ла — аа) (ка а!) (ка — ат)(яа а«) Полагая Р1 — — й«, та = — ««1, 1 Лз ( ! «21) (ла л2) (лз «тз) 1 '«2 Д1 4 (Фт — ат) (Л вЂ” а«) (Ла — а. ) получим: тэт = (у! + уа) («1 «Гк«2 + Фа аЪ«2), и выражая х через и, у через х, получим: « '= [Р! [х(п)]+,2[У( )]] Ыпз-]- Ю.
Мы пришли к случаю Лиувилля. Длина геодезической выразится интегралом: а = / ]«' «уг [х (и)] — а «!и+ / у' а — оя [у (О)] п«О = = / Р' «ы(х) — а, )««)!(х)«тх+ / Р а! — Оя(У)]/62(У)«тр. ду Уравнение геодезической — = р примет вид: да 2 «2' ат(х) — а + 2 „«' 2' а — та (У) Пример. Геодезические на эллилсоиде.
Рассмотрим на эллипсоиде хт у хт — + + — — = 1 (Л! ) ат ) ат > аа) 0) кт — а! лт — аа к1 — аа 332 твовия поля и достлточныв головня сильного экстввмхмл (гл. Х1У В силу предыдущего результата длина геодезической на зллипсоиде выразится интегралом: у= / г тг — «ьсьга«з+ / )са чз у 92ЖЪ или 1 ('. ° («т — а)(«,— «г) 2 l )г («г — аг) («г — а )(«г — аз) Л«з+ 1 1" + «в) («г — «г) г («з — аг) («ь аз) («г — аг) Уравнение геодезической имеет вид: 1 «г — «г Л«г + («з ад А аз) («г аг) («з ") 1 /' «г — «г + — 7 н а«г — — з =- соп51.
4,/ е («з — аД («г — аг) («з — аз) («з+ а) 9 99. Функция Вейерштрисси Окружение экстремили полем. Развитая выше теория поля позволяет установить новые необходимые условия, а также условия, достаточные для того, чтобы данная экстремаль давала сильный экстремум. Введем два новых понятия, существенных при дальнейшем изложении. Мы скажем, что экстРемаль 7е ложет быть окРУжена полем экстРегсалей„если существует поле экстремалей (7), обладающее следующими свойствами: 1'. Экстремаль 7з является одной из дуг поля (1~1.
2'. ЭкстРемаль 7е лежит стРого внУтРи области, покРытой полем. Эти определения годятся как для случая экстремален функционала э" (обыкновенная форма), так и для случая экстремалей функционала 7 (параметрическая форма). В приложениях этого понятия мы будем предполагать, что поле (71, окРУжающее 7а, есть собственное поле, т. е. поле экстРемалей,Удовлетворяющее условиям, перечисленным в 9 94. Остановимся подробно на функционале г'.
Существование поля. Пусть дана экстремаль 7щ соединяющая данные точки А(х„у,) и В(хз, уз) (черт. 57). Решим вопрос, при каких условиЯх экстРемаль 7з можно окРУ- жить полем экстремалей. Рас- 1 е смотрим отдельно случаи функциог палов г' и В Начнем с функцио- нала г. Положим, что ни точка В, ни г, 'г какзя другая внутренняя точка эксЧерт. 57.
тРемали 7ь не есть точка, сопРЯжен- ная с А. Пусть, кроме того, вдоль экстремали 7ь и в ее концах А и В имеем Г„„) О. В этом случае сУществУет точка Ае(ха, Уе), лежащаЯ на пРодолжении экстРемали 7о за точку А, такая, что экстремальная дуга АеВ (включая ее концы Ар и В) не содержит точек, сопряженных с А, (см. 9 86). Экстремальную 9 99) ФУНКЦИЯ ВЕЙЕРШТРАССА дУгУ АоВ обозначим чеРез Тг РассмотРим семейство экстРемалей, пРо- ходящих через точку Ао. Т а„(а (ая у = Ф (х, а) хо (х (хг ° Так как огибающая этого семейства (если она существует) не пересекает экстРемали Тп то достаточно УзкаЯ полоска с,1, огРаниченнаЯ абсциссами х=хя, х=хо' (хо(хо (х,) и кРивыми У=о(х, а,'), у= о(х, аз'), а, ( а,'(аг'(аа, окружающая то, тоже не имеет общих точек с этой огибающей.
Дуги т экстремалей нашего семейства, покрывающие область ьс, образуют на ней поле экстремалей, заключающее экстремаль то. Примем за параметр а, определяющий кривые пучка экстремалей, выходящих из точки Ао, угловой коэфициент касательной к экстремали пучка в точке Ао. Из принятых нами условий относительно функции г.(х, у, у') будет следовать, что построенное нами поле (Т), окружающее экстремаль то, будет собственное поле.
Мы получаем таким образом следующий результат. ТЕОРЕМА. Для злого чтобы экстремаль то можно было окружить полем экстремалей, достаточно„чтобы: 1) вдоль экстремали т (включая ее концы) имели Р„„~ О, 2) дуга то вместе с одним из ее концов не содержала точки, сопряженной другому концу. Ничего не меняя в проведенных рассуждениях, мы для случая функционала 7 получим следующее условие для существования поля, окружающего экстремаль то. ТЕОРЕМА. Для того чтобы экстремаль то функционала 7 можно было окружить полем экстремалей, достаточно, чтобы: 1) вдоль то (включая ее концы> имели р, > О, 2) дуга то вместе с одним из ее концов не содержала точки.
сопряженной другому концу. Теорема Гильберта. Пусть нам дана экстремаль т и пусть т возможно окружить полем экстремалей (Т), покрывающим область ф Теорема Гильберта дает возможность вычислять значение функционала для то при помощи криволинейного интеграла, взятого вдоль любой кривой, соединяющей концы то и расположенной в любой достаточно малой окрестности то. Начнем с рассмотрения функционала з'. Пусть через точку А(х, у) области ьг проходит экстремаль т поля (Т); обозначим через и(х, у) угловой коэфициент касательной к 7, проведенной в точке А.
Согласно условиям, которым удовлетворяет поле (Т), определенная нами функция и(х, у) есть функция определенная и непрерывная вместе со своими частными проязводными в области Я. Функция и(х, у) играет существенную роль в теории поля; она называется функцией ншслона.поля (71. Значение и(х, у) в точке А(х, у) будем называть наклоном поля в точке А. Проведем теперь через концы экстремали то трансверсали Г, и Гэ поля (Т) (черт.
57). з'-расстояние з'(А) произвольной точки А (х, у) 334 твовия поля и достаточные хсловия сильного экстгвмтма [гл. Х!ч области ьв до трзнсверсали Г, есть однозначная функция х, у в области Яг з'(А) =1(х, у). В силу рассмотрений 9 93 имеем: аз'= Нйх+р ау, где Н = Н(х, у) = Е [х, у, и (х, у)] — и (х, у) Ее [х, у, и (х, у)], р = р(х, у) = Ее [х, у, и (х, у)]. Таким образом выражение Нйх+ рау есть полный диференциал.
Следовательно, криволинейный интеграл /Нйх+рйу, взятый вдоль любой линии т класса С„принадлежащей (е, есть однозначная функция координат концов т. В силу теорем о трансверсалях этот интеграл равен У-расстоянию между трансверсалями поля, проведенными через концы т. Если линия т соединяет точки А и В (является допустимой линией вариационной зздачи), то интеграл ~ Нйх+р ау вырач жает 1-расстояние между трансверсалями Г, и Г, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
