Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 64
Текст из файла (страница 64)
% 1ОЦ ДОСТАТОЧНЫР УСЛОВИЯ СИЛЬНОГО ЭКСТРЕМУМА Отсюда, если вдоль экстремали выполняется условие Вейерштрасса Е, (х, у; х', у', и, о) )~ 0 при любом значении О, то вдоль этой экстремали имеем: Е, (х, у, сов 0", Гйп 0"))~0. Условие Лежандра получается отсюда как предельный случай, когда 0 стремится к О.
Я 101. Достаточные условия сильного экстремума Перейдем к выводу достаточных условий сильного минимума, причем рассмотрим отдельно условия минимума функционала э' и функционала Е Функционал l. Докажем следующую основную теорему: ТЕОРЕМА. Для того чтобы экстремаль то, соединяющая точки А. и В, давала сильный минимуме'-длин кривых (класса С), соединяющих точки А и В, достаточно, чтобы: 1) То можно было окРУжить полем экстРемалей, 2) существовала окрестность экстремали то, в каждой точке (х, у) когпорой при любом значении и имели: Е (х, у; и (х, у), и))~0, где и (х, у) есть функция наклона поля. В самом деле, при е достаточно малом всякая кривая т класса допу- стимых линий, принадлежащая е-окрестности нулевого порядка линии т, будет принадлежать области, покрытой полем (т).
Следовательно, в силу формулы Вейерштрасса, для т будем иметь: э (Т) — У (1ь) = / Е (х, У; и (х, У), и) ах. т Но по второму условию теоремы при в достаточно малом вдоль Т Е(х, у и(х, у), и))~0. Следовательно, существует а ) 0 такое, что для любой кривой т класса до- пустимых линий, принадлежащей е-окрестности экстремали тр, будем иметь: У(Т) — У(Т.)) О. Теорема полностью доказана.
Сравнивая необходимые условия с достаточными условиями, мы видим, что необходимые условия — условие Якоби и условие Вейерштрасса — на- кладывают ограничения на Е в точках изучаемой экстремали; среди достаточ- ных условий первое — усиленное условие Якоби — также накладывает огра- ничения на Е в точках самой экстремали, что же касается второго усло- вия, то для его применения нам надо знать поведение р в некоторой к о н е ч и о й окрестности изучаемой экстремали. Отсюда, естественно, возникает вопрос, нельзя ли это второе условие заменить усиленным необходимым условием Вейерштрасса: Е (х, у; и (х, у), и) ) О, (и ф и) вдоль экстремали. 340 тяогия поля и достаточныя головня сильного экстгвмтмл [гл.
Х!Н Приведем пример, который покажет, что отмеченного ослабления в достаточных условиях сделать нельзя. Этот пример покажет также недостаточность ослабленного условия, если дополнительно допустить, что вдоль экстремали Р „ ) 0 '). Пример. Поставим задачу: найти минимум функционала т е = / (ау'з — 4Ьуу'а+ 2Ьху") ах (а)0, Ь) 0), з нринимая за класс доиусти.кых линий линии класса С, соединяющие точки А(0,0) иВ(1, 0). Прямые, параллельные оси Ок, суть зкстремали дая Д Экстремаль тз, соединяющая точки А, В, есть отрезок [О, 1) действительной оси, и зта экстремаль, очевидно, может быть окружена полем зкстремалей.
Кроме того, имеем: Е (х, у; у', и) = (и — у')з та — 8Ьуу'+ БЬху'з — 4Ьи (у — ху') + 2Ьлиз). Вдоль Тз полУчим: Рз и — — 2а) О, Е=из(а+2Ьхит))0 при иапо. Таким образом зкстречаль уз удовлетворяет первому из достаточных условий, а также усиленному необходимому условию Вейерштрасса. Покажем, что тем не менее та не дает сильного минимума. Для этой цели построим ломаную 1: АМВ. Пусть И)0 и й суть координаты точки М; имеем: йз а е' (Т) — У (1з) = йз [ — Ь вЂ”.
+ — + а + Зййз1 + з (й), й- И где с (й) стремится к нулю вместе с й. Отсюда видим, что при любом й можно всегда подобрать й настолько малым, чтобы У(1) — У(та)(0, т. е. Тз не дает сильного минимума У среди линий класса Со а, следовательно, и среди линий класса Сп Сводка необходимых и достаточных условий минимума. Приведем основные полученные выше необходимые н достаточные условия мини- мума функционала л' = / Р (х, у, у') ах.
к1 Для того чтобы линия То: у=у(х) класса ( ы соединяющая точки А н В среди кривых класса„соединяющих точки А и В„давала слабый экстремум, необходимо, чтобы: 1) линия Т была экстр малью, т. е у=у(х) являлась интеграломурав- иення Эйлера: à — — Е =0 з йх з 2) вдоль Те выполнялось условие Лежанлра Езз )~0; 3) То удовлетворяла условию Якоби: не содержать точек, сопряжен« ных своему концу, или, аналитически, интеграл уравнения Якоби [у)=Ву —, (ВУ)=О, т) Это обстоятельство является отлачительчой чертой теории экстремума е' по сравнению с теорией сильного экстремума Е б 101) достаточныв головня сильного экстввмхма 341 выходягций из точки (х„О), на пересекал оси Ох в точках интервала Х, ( Х ( Х,.
Чтобы Т давала сильный минимум, необходимо дополнительно: 4) вдоль Те выполнЯетсЯ Условие ВейеРштРасса: вдоль Те пРи любых значениях и имеем;„ Е (х, у; у', и)') О. Для того чтобы линия Те лазала слабый минимум, достаточно чтобы: 1) Те была экстремалью, 2) влоль Те (включаа Лежандра: концы) выполнялось усиленное условие Е„~.) О, 3) Те удовлетворяла усиленному условию Якоби: интеграл уравнения Якоби, выходящий из точки (х„ О), не пересекал оси Ох в точках закрытого справа интервала: х, (х (х,.
Для сильного минимума достаточно, чтобы дополнительно: 4) существовала окрестность Те, в каждой точке которой при любом Е (х, у; и (х, у), и) )~ О, где и (х, у) есть наклон поля, окружающего Т,. Строгий минимум. Мы скажем, что линия Те дает функционалу з строгий сильный мини иулг, если существует е-окрестность нулевого порядка линии Те такая, что для любой кривой Т класса допустимых, пРинадлежащей этой окРестности и отличной от Те, имеем: ,((Т) — У (Т) ) О.
Из приведенного выше доказательства теоремы (стр. 339) непосредственно следует, что если в условиях, достаточных для сильного минимума, мы условие Е)~0 заменим условием Е) 0 (при прежних значениях аргументов), то кривая будет давать строгий сильный минимум. УпРощенное достаточное Условйе. Если даннУю экстРемаль Та можно окружить полем экстремалей, то вопрос, будет ли данная экстремаль давать минимум, сволится, таким образом, к определению знака функции Вейерштрасса Е. Ввиду того, что функция Е имеет довольно громоздкий вид, достаточное условие Вейерштрасса заменяют часто условием более грубым, но более простым.
Изобразим функцию Вейерштрасса в виде: Е(х, у; и, и) = — (и — и~~Г„'„[х, у, и+0(и — и)) (0(3(1) ). Мы замечаем, что для положительности функции Е достаточно, чтобы при любом значении ( имело место неравенство: Г„„(х, у, Г))~0. г) Разлагая разность Е(х, у, и) — Г(х, у, и) в ряд Тейлора по степеням (и — и) со вторым остаточным членом. 342 тногия поля и достлточныв эсловия сильного экстгвмтмл 1гл. Х)Ч Отсюда мы получаем следующий упрощенный критерий существования минимума. Для того, чтобы эстремаль Те, соединяющая точки А и В, давала сильный минимум „длин" кривых, соединяющих А и В, достаточно, чтобы экстРемаль Те можно было окРУжить полем экстРе- малей (Т), в каждой точке которого при любом ~ Е а(», у, ~))~0.
Для того чтобы наглядно сравнить условия (стр. 340), дадим еще одну геометрическую интерпретацию функции Вейерштрасса. Изобразим в плоскости иОг график функции в=Г(х, у, и), г где х, у, считаются фиксированными. В таком случае уравнение в=р(х, у, и)+(и — и)Р (х, у, и) изобразится в виде касательной Т к нашей кривой а. (черт. 60): х=Р (х, у, и), Черт. 60. проведенной в точке (и, Г(х, у, и)). Отсюда функция Е в любой точке будет равна разности ординат (прн одной и той же абсциссе) точки кривой и точки касательной. Условие положительности функции Е выразится тем, что в.
должна располагаться над касательной Т. Это условие будет выполнено, если кривая в. будет вогнутая, т. е. если Рв в (х, у, и) будет неотрицательна при любом и. Пример 1. Задача о брахистохроне. Как мы виделн, для этой задачи при любом расположении точек А(хт ут), В(хм уг) (хг (хт, у1(уз) условия Лежандра и Якоби являются выполненными, следовательно, зкстремаль ть; соелиняющую А и В, можно окружить полем экстремален.
Кроме того, для этой задачи: )с1+уьз ЭТЛ дуы Гс — у з ' (1+у"Р при любом у и у', следовательно, экстремаль ть дает сильный минимум. Пример 2. Задача о рефракции. Для этой задачи функция ,'Р(х, у, у') имеет внд: ~Г~ +~~я Р= — -- —— о(х, у) (о (х, у) ) О]. Здесь условие Вейерштрасса выполняется для любой функции о)0: 9 1 О +уз) вв о(х, у) Таким образом вопрос, будет лн зкстремаль ть давать минимум Х-длин, сводится всецело к вопросу, можно ли те окружить полем экстремалей. В частности, когда скорость распространения обратно пропорциональна у, зкстремалн 343 ~ 1011 достаточныв тсловия сильного экстэвмтмл суть полуокружности, ортогонзльиые оси Ох.
В этом случзе при любом расположении точек А и В можно построить зкстремаль, соединяющую эти точки, и можно также построить поле экстремалей, окружающее экстремаль тэ. Дуга окружности дает сильный минимум. Пример 3. Задача о геодезических. Функция Р имеет вид: Р = )С А + 2Ву' + Су'г, где А, В, С суть непрерывные функции х, у, и форма Аиг+ 2Вио+ Сог положительна в любой точке (х, у), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
