Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 60
Текст из файла (страница 60)
54); 4) огибающая з вырождается в точку (черт. 56). Случаи 2, 3 и 4 можно считать „особыми" случаями. Мы остано вимся лишь на случаях 1, 2 и 4, ибо в случае 3 геометрическое доказательство довольно громоздко. а) В окрестности точки С кривые з есть кривые класса Си $96) УСЛОВИЯ ЯКОБИ Первый случай. Из нашего допущения следует, что экстремалы касается огибающей в в точке С. Пусть АС' есть экстремаль пучка, касающаяся в в точке С'.
Из того, что точка С есть правильная точка в, следует существование эистремали АС пучка, касающейся в в точке С', предшествующей точке С. В силу теоремы Кнезера л-длина АС' плюс .У-длина дуги СС' огибающей в равна ./-длине АС. Покажем, что дуга СС' огибающей в не есть экстремаль.
В самом деле, предполагая противное, мы получили бы, что через точку С проходят две экстремали в и у, имеющие в точке С общую касательную. Последнее невозможно, нбо в,точке С для направления у' экстремали ц имеем В „ ) О, и, следовательно, через точку С в направлении у' можно провести единственную интегральную кривую уравнения Эйлера, т е. единственную экстремаль. Отсюда следует, что точки С и С' Черт. 56. Черт. 55. можно соединить дугой СС' (отличной от дуги СС', огибающей в), имеющей меньшую а-длину, чем дуга Сс.. Следовательно, кривая у, состоящая из дуг АС' и СС, имеет меньшую г'-длину, чем дуга АС экстремали т, т. е.
у не дает минимума 1-длин дуг, соединяющих А н С. Следовательно,.тем более дуга АВ экстремали ( не дает минимума длин дуг, соединяющих А и В (речь, очевидно, идет о слабом минимуме, ибо кривые у и ( находятся в близости первого порядка). Приведенное рассуждение дает нам также следующий результат, дополняющий формулированное выше условие Якоби„если дуга АВ экстремали ц дает слабый минимум функционалу 1, если на АВ, включая точку В, Р„у ) О и если точка С касания огибаюигей в (пучка экстремалей, выходящих из А) с экстремалью ", есть иравильная точка кривой в, то С лежит сглрого вне АВ.
Четвертый случай. Рассмотрим теперь случай, когда огибающая в сводится к одной точке С, расположенной между А и В. Через точку С в разбираемом случае проходит наряду с дугой АС экстремали ц пелое семейство близких экстремальных дуг. Пусть АС есть одна из таких дуг; 1-длина АС совпадает с 1-длиной АС; „длина" ломаной АСВ, состоящей из дуги АС' и части СВ экстремали ц, равна длине экстре- мали АВ. 322 твогия поля и достаточные головня сильного экстгзмэмл [гл.
Х?Ч Покажем, что в точке С излома линии АСВ не удовлетворяется необходимое условие Вейерштрасса-Эрдмана для ломаных экстремалей. В самом деле, в силу условия Р„ „ ) О, при у', достаточно близких к у'(у' — направление т в точке С), в точке С имеем: Р„ (х, у, у') ф Р„ (х, у, у'). Отсюда заключаем, что АСВ не может давать относительно минимума 1-длин кривых, соединяющих точки А и В. Сушествует близкая к АСВ (а следовательно к АВ) кривая, соединяюшая те же точки 4 и В, длина которой меньше 1-длины АСВ, следовательно и длины АВ. Перейдем к рассмотрению особого случая 2. Второй случай. В этом случае всякая экстремаль пучка, близкая к экстремали т, будет касаться в в точке С', предшествуюшей точке С.
Отсюда, как и в первом случае, заключаем, что з'длина линии, составленной из дуг АС' и С'С, будет равна ?-длине дуги АС. Так как дуга С'С не есть экстремаль (см. первый случай), то, следовательно, суще ствует дуга АС, соединяюшая А и С, нзходяшаяся в близости первого порядка от дуги АС и имеющая 1-длину меньшую, чем дуга АС. Таким образом дуга АС, а следовательно и дуг а АВ, не дает слабого минимума. Условие Якоби для задачи со свободным концом.
Приведенные выше геометрические рзссмотрения позволяют распространить необходимое условие Якоби слабого минимума на случай задачи со свободным концом Пусть мы имеем семейство [1[ экстремалей, трансверсальных к кривой Г. Пусть А — дуга одной из этих экстремалей, где А лежит на Г„ Если огибаюшая в семейства [-?[, которая может состоять из одной точки, пересекает АВ в точке С, лежзщей между А и В, то дуга АВ не дает минимума э'-расстояний между точкой В и кривой э. Доказательство совершенно аналогично предыдущему, отличается от него лишь тем, что теорема Кнезера применяется к семейству экстремалей, трансверсальных к кривой Г, не вырождаюшейся в'точку, как в предыдушем случае. Отсюда получаем необходимое условие Якоби: для того чтобы экстремаль АВ, трансверсальная в точке А к кривой Г, давала минимум у-расстояний между точкой В и А кривой Г, необходимо, чтобы АВ не пересекалась с бесконечно близкой трансверсальной к Г экстремалью.
Например, для того чтобы отрезок нормгли к некоторой кривой Т давал минимум расстояния от точки Р до кривой ?, необходимо, чтобы он не касался эзолюты кривой. Теорема Дзрбу. Рассмотрим функционзл /. Пусть АВ есть дуга экстремзли, реализующая абсолютный минимум ?-длин кривых, соединяющих точки А и В.
Продолжим эту экстремальную дугу за точку В. Пусть точка С есть сопряженная с А точка этой экстремали, т. е. С есть точка, в которой наша экстремаль касается огибаюшей з семейства З2З 9 96) УСЛОВИЯ ЯКОБИ экстремалей, выходящих из точки А. Мы предполагаем, что огибающая з есть кривая класса С, и не сводится к изолированной точке и что вдоль АС имеем Р; ) О. Мы видели, что существует в этом случае кривая АС, /-длина которой меньше 1-длины экстремальной дуги АС, — продолжения дуги АВ. Пусть разность 1-длин АС и АС равна Ь) О.
На дуге АС отметим точку С', разбивающую АС на две дуги: АС' и С'С, причем л пусть дуга С'С по 1-длине меньше —. Так как дуга АС' удовлетво- 2 ряет достаточному условию Якоби и вдоль этой дуги г",) О, то эта дуга Реализует относительный слабый минимум расстояний между точками А и С'.
Покажем, что эта дуга не дает абсолютного минимума 1-расстояний между этими точками. В самом деле, ломаная АСС', состоящая из дуг АС и СС', имеет меньшую з-длину, чем АС' (так как разность У-длин дуг АС и АС' больше, чем удвоенная з'-длина дуги С'С). Заметим, что дуга АСС' ие лежит в окрестности первого порядка дуги АС', таким образом мы не вступаем в противоречие с утверждением, что АС' реализует относительный слабый минимум у-длин. Таким образом мы имеем на дуге АС точки двух классов: с одной стороны, точки В первого класса — концы дуг АВ, дающих абсолютный минимум 1-расстояний между А и В, и точки С' второго класса, для которых дуги АС' ие дают абсолютного минимума расстояний между концами. При этом, если точка С' принадлежит ко второму классу, то к этому же классу принадлежит и всякая точка дуги АС, расположенная ближе н А.
Сама точка С принадлежит, конечно, второму классу. Если точка С' принадлежит второму классу, то существует точка С' второго класса иа дуге АС' (что доказывается совершенно аналогично тому, как мы доказали существование точки С' второго класса на дуге АС). Во втором классе иет ближайшей к А точки. Поэтому мы имеем в первом классе последнюю точку 12, реализуюшую дедекиндово сечение. Луга АО дает абсолютный минимум у-длин кривых, соединяющих ее концы, но любая заключающая ее дуга АИ нашей экстремали уже этим свойством Обладать не будет.
Если мы будем двигаться по экстремали АС от А к С, то пройденная нами дуга будет реализовать абсолютный минимум, пока мы ие достигнем точки,0. Пройдя же точку В, мы будем иметь дугу, реализующую уже не абсолютный, а лишь относительный минимум, пока ие достигнем точки С.
Существование такой точки .О, отличной от сопряженной точки С, было доказано Ларбу. Если огибающая з сводима к одной точке, наши рассуждения неприменимы. Возьмем, например, случай геодезических на шаре. Луга большого круга дает абсолютный минимум длин, пока она меньше полукруга. Если же оиа больше полукруга, она перестает давать также и относительный минимум l-длин. 324 твогия поля и достьточныв головня сильного экстевмгмь 1гл. Х!Ч 9 97.
Геодезические эллипс н гипербола з-эллипс. Под У-эллипсом мы подразумеваем геометрическое место точек, сумма з'-расстояний которых от двух данных кривых Г, и Г есть величина постоянная (эти кривые могут выродиться в точки). Кривые Г, и Га мы будем называть фокальными кривыми эллипса. Пусть даны две кривые Г, и Гз класса С,. Пусть А — точка, не принадлежащая ни Г„ни Г. Проведем через точку А зкстремали 1, и („трансверсальные к Г, и к Гя; пусть В, и Ва — точки пересечения (ближайшие к А) экстРемалей 1, и ( соответственно с Г, и Гя Обозначим через з',(А) У-расстояние от А до Г„т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
