Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 55
Текст из файла (страница 55)
5'. Значение формы 1,» при нормированной собственной функции, соответствующей собственному значению р, равно р. В самом деле, пусть у(х) есть нормированная собственная функция, отвечающая собственному значению р, тогда для этой функции имеем: 9 9Ц втогля влгиьция для изопввимвтгичвской задачи 297 6'. Наименьшее собственное значение формы з„ на )сь равно абсолютному минимуму з'„ при условиях (91), (92), (93). Вполне аналогично получаем общий результат: 7'.
л-е по величине собственное значение формы У„ь на Я равно верхней границе абсолютных минимумов з,ь при фиксированных условиях (99") и (и†1) переменных условиях ь У рзУс1х=О (/=1, 2...'., п — 1).' и Здесь, как и во всем дальнейшем, кратное собственное значение считается столько раз, какова его кратность. Из отмеченного выше существования кривой класса С,, дающей абсолютный условный минимум з'„, и из предложений 6' и 7' следует также существование собственных значений и собственных функций формы а', .
Будем. теперь считать верхний предел Ь в интегралах ь ь з', = / (Ру + 1су' Я) ах, / р у ах = О ° а а переменным; тогда л-е собственное значение Р„формы з, на тт будет функцией от Ь: м„=й„(Ь). В силу рассуждений, приведенных в 9 83 и 87, получим: 8'. Все функции р„(Ь) убывают с ростом Ь. При этом 9„(Ь) ь 9„(Ь) '), если п > лт. При Ь, достаточно близком к а, все Р„(Ь) положительны. 9'.
Будем считать наименьшее собственное значение ио (Ь) = ро формы з, положительным. Тогда имеют место для всякой функции у(х) нз Йь одновременно следующие неравенства: 7 ь(У) ~~ Ро / У ттх ь У.ь(У))~ и' ~ У' Ых, а ь ь У ь)~ — "' / уатт+ — — /у'Яп'х. Здесь о' — положительная ко станта равная меньшему из чисел —— ст 2 и — 1нз, где с, = ппп )с(х), = ппп Р(х). а~с~ь а<с сь Сравнение собственных значений. В 9 23 мы сравнивали собственные значения квадратической формы на л-мерном пространстве н на его (л — м)-мерном многообразии.
Мы можем аналогично сравнить собственные значения формы 7„на К (см. 9 82 — 87) с изучаемыми нами теперь собственными значениями формы з,ь на тть. т) Равенство р (Ь) = р„(Ь) возможно лишь, если )л — и( (А, 293 втор»я ВАриАция и линвйныз В»ви»ционные з»д»чн [Гл. Х[!1 10. Обозначая через 1„п-е (в порядке возрастания) собственное значение У,ь на [ч, а через 9„ — и-е собственное значение У, на гс», получаем: Л„(р„(Л„~,. (100) Доказательство настоящего неравенства, основанное на теории Куранта собственных значений, совершенно аналогично второму из доказательств теоремы $23. Будем считать, что функции р„ра, ..., Р», фигурирующие в условиях (92), определяющих пространство Й», суть переменные функции (вместе с тем и пространство Я» является переменным).
Собственные значения р„ обращаются в функционалы от р„ р, ..., р„: [»„= [»„(р„рз,..., Р») (и = 1, 2, 3, ...). Функции р, мы будем считать все время принадлежащими классу С„ далее будем полагать, что эти функции продолжают оставаться линейно независимыми, т. е. что детерминант Грамма 1(Р,рт)! (е,!=1, 2,..., Ь) остается положительным.
При этих условиях имеем: 11'. р„суть непрерывные функционалы от р„ра, ..., Р». Докажем это свойство для наименьшего собственного значения [»ь. В основном это доказательство переносится и на случай любого Наряду с пространством [т», определенным равенствами: у(а)=у(Ь)=0, / р,удх=О (ю'=1, 2,..., Ь), (101) а будем рассматривать пространство Я»', определенное равенствами: м(а) = У(Ь) =О, / ь,у»[х=О (»'=1, 2,..., Ь), (102) а где Рь = Р~+ Ьро Обозначим через е наибольший из максимумов Ьрт(/=1, 2, ..., Ь) на а (х ( Ь. Докажем, что для всякой функции у(х) пространства К», лежащей на сфере 8: ь / уЯх=1, можно построить функцию у(х) пространства Й»', лежащую на 8, такую, что разность у'(х) — у'(х) (а (х (Ь) может быть сделана сколь угодно малой вместе с в.
91] ВтОРАя ВАРиАция для иаопеРиметРической ВАдАчи 299 В самом деле, положим у(х) =у(х) +~~) с р; имеем: / рау(Х)ЫХ= ) Су / (р,+йр)р,с(Х+ / уйр,ваХ= а а а ь с,](р,р ) +(йр,р)]+ / у3р,пх. (103) Так как функции р, линейно независимы, то определитель Грамма )(рар)!) 0 (1,у=1, 2,..., й). При достаточно малом е и, следовательно, малых (йр,! имеем: ] (р,рт) + (йр,р ) ( ) 0 (ю', г' = 1, 2, ..., Ую).
Поэтому система уравнений ь с 1(р,р)+(Зр,рт)] = — / у8р<Их (1=1, 2,..., Й) (104) разрешима относительно с,. Так как в силу неравенства Шварца ь т ь ь ас ь ( ]уйр,Ых( ( ~ а ]'узах ° ]'йр Нх=~ас )" йр,вйх(в]г'Π— а, а а а а то с — решения системы уравнений (104) — бесконечно малы вместе с е. Функция у(х) принадлежит Кь' 1ср. (103) и (104)], причем ь ~ у'2(х) 1х=1+1, где 21 бесконечно мало вместе с е. Положим: у(х) = ' у(х)' )с1+ч (105) где 1!ш хи=0, 1цп 212=0. Отсюда заключаем, что при е достаточно .+О а.+О малом нижние границы у„на гс„и з„на Й„' отличаются одна от другой как угодно мало. Но в силу экстремального определения собственных значений отмеченные нижние границы У, суть наименьшие собственные получим функцию пространства гс ', лежащую на 8, причем разности у (х) у (х) у(х) — у(х) (а~(х~(Ь) бесконечно малы вместе с е.
Поэтому: аь (У) + аа ~4 аь (У) ~~ аь (У) + 21ы 300 втогля влвиьция и линвйныв вьгнлционныв задачи [гл. Х111 значения ие, ие' формы 1,ь соответственно на 1ть и [ть'. Следовательно, обозначив чеРез вз наибольшУю из абсолютных величин чисел т1„т~а, получаем: ! ро $"о1 (т~а где 1пп тз —— О. Теорема доказана. в.+О Сопряженные значения. Значения Ь„удовлетворяющие одному из уравнений р, (Ь,) = О, будем называть значениями, сопряженными с а.
При г ~~1, очевидно, имеем Ь,)~ЬВ Так как для некоторых значений Ь значения функций в(Ь) могут совпадать: то здесь может также случиться, что 1=1 — с+1 таких функций одновременно обратятся в нуль (при этом 1 всегда меньше или равно А+1), т. е. может иметь место равенство: Ь,= Ьв+,— —... — — Ь (1=1+1 — 1).
Такое сопряженное значение Ь, мы назовем сопряженным значением кратности 1 По анзлогии с рассуждениями й 87 легко доказать следующую теорему: ТЕОРЕМА 1. Для того чтобы форма у„на [ть имела р отрицательных собственных значений, необходимо и достаточно, чтобы на интервале а ( х ( Ь заключалось р значений, сопряженных с и (точнее: чтобы сумма кратностей этих значений равнялась р). Отсюда как следствие: ТЕОРЕМА 2. Для неотрицательности формы з', на [чь необходимо и достаточно, чтобы на интервале а(х( Ь не заключалось ни одной сопряженной с а точни.
ТЕОРЕМА 3. Для положительной определенности формы 1,ь и [ть необходимо и достаточно, чтобы на закрытом справа интервале а (х (Ь не заключалось сопряженных с а точек. Условия Якоби существования слабого минимума. Применим теперь развитую выше теорию к разысканию достаточных условий слабого экстремума изопериметрической задачи. Пусть ищется слабый минимум интеграла ь 1 = / р (х, у, у') йх, Р когда за класс допустимых линий принимаются кривые класса С„ соединяющие две данные точки А(а, а,), В(Ь, Ь,) и удовлетворяющие й условиям: К,= / Ой'(х,у,у')йх=1, (с'=1,2, ..., й), (106) а где 1, — констзнты.
Функции Р и О~й предполагаются непрерывными вместе с их частными производными до третьего порядка включительно. 9 91] втовая вавиация для изопввимвтгичвской зАдачи 801 Пусть Т: у=у(х), у(а)=а„у(Ь)=Ь, есть изопериметрическая зкстремаль нашей задачи. Положим Р,=Π— — О, (и а (и в ах м В соответствии с 9 60 мы в дальнейшем будем предполагать, что для рассматриваемой экстремали функции р,(1=1, 2,..., Й) линейно независимы, т. е. что: (РР) (Ргра)~ ° ° ° (Р~Р ) (Рвр~) (Ра )> ° ° (Рвр ) ,'~ 0.
(107) ..(Р.Р) (Р.Р) " (Р.') При этих условиях изопериметрическая экстремаль будет обыкновенной экстремалью для функционала: У= / Н (х, у, у') ах, а где Н= Р+~ Л О~ и Л суть множители Лагранжа-Эйлера. Таким обра- Щ зом экстремаль т будет удовлетворять уравнению: 82= 0. (108) Отсюда, обозначая у(х)=у(х)+Ьу(х), у(а)=а„у(Ь)= Ь,' кривую, удовлетворяющую условиям (106) и находящуюся в о-близости первого порядка от экстремали Т, получим: .У(у) — у(у) = — /(Н Зуз+ 2Н „,буй'+ Н,,йу'а) ах+ а ь + ( (Цу +Мйу' )ах, где Е и М равномерно стремятся к нулю вместе с е. Полагая, как выше, 1 / 1 ',Р= — ]Н вЂ” — Н,), )с= — Н... 2 (, вя ах яя')' 2 я'и'' соотношению (108) можно придать более простой вид: ь ь У(у) — У(у)= ~(РЬуа+~8у'а) 1х+~(1.8у +МЬу' >а .
(109) а а Обозначим через Я, функциональное пространство, элементами кото. рого являются всевозможные функции у(х) класса Сп удовлетворяющие следующим условиям: у(а)=у(Ь)=0, / р,у и=о. 302 втогая влгиация и линвйныв вагиационныв задачи 1гл. Х111 При этих обозначениях и условиях мы теперь можем формулировать искомые признаки сушествования слабого экстремума, ТЕОРЕМА. Для того чтобы экстремаль т: у=у(х), вдоль которой гс ) О.
давала слабый минимум интегралу з' среди кривых класса Сы соединяющих точки А и В и удовлетворяющих условиям К,=1,(г=1, 2,..., й), необходимо, чтобы открытый интеграл (а, д) не содержал значений, сопряженных с а для формы ь У, = / (Руз+гту'г)ах, (110) а на ]ть; достаточно, чтобы закрытый справа интеграл (а, Ь] не содержал значений, сопряженных с а, для той же формы У„на 1ть. Начнем с доказательства достаточности условий. Пусть у(х) есть допустимая кривая нашей вариационной задачи, близкая к экстре- мали у(х) (е — близость первого порядка): ]у(х) — у(х)] (а, ]у'(х) — у,(х)] (е, а (х(д. Имеем: ь ь О=К(у) — К,(у)= /р,'0йх+ ~(Рф~ К,т~'г)йх (г=1,2, ...,й), (111) а а где и=у — у и где Ро К', суть значения Р„У~', при средних значениях аргументов: Р, = Р, (х,у+0,(у — у), у'+0 (у — у)] 1 1(0<0, <,, О<0,<Ц.
УР,=Я,(х,у+0,(у — у), у'+0,(у — у)] ] Формуле (111) можно придать вид: ь ~ (р, + е,) т1 йх = О, (112) где е,(с=1, 2,..., й) стремятся к нулю вместе с е. В самом деле, если с= шах Р(х), г= ш!и гс(х)) О, то а~е~ь аКе~ь ь ь ь ) /(Риа+Р., Р]йх] (шах! Р, ( / пайк+шах! )с, / 0'гйх ( ь ь ( (шах Р, + — шах Д,.) / тзйх ( ае / 0 йх, а а с где а= шах Р, + — шах )с, при а -+ 0 ограничено.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
