Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Разберем несколько примеров на приложения развитой теории Пример 1. Лля интеграла ~ )'1+у'гах экстремалями служат прямые. Прямые, выходящие из одной точки, в дальнейшем не пересекаются; следовательно, в этом случае условия Якоби всегда реализуются. Пример 2.
Лля интеграла ) )гА+2ВУ'+ Су г ах, выражающегодлину кривой у = у (х) на поверхности с элементом длины азг = А ахз+ 2В ах ау+ С аут, экстремалями служат геодезические. Если форма Аахэ-)-2Вах ау+ Сдуз положительная, то условие Лежандра удовлетворяется в каждой точке геодезической. Мы можем утверждать, пользуясь теоремой Якоби, что дуга геодезической АВ дает слабый минимум длин кривых, соединяющих точки А и В, если она ие пересекается с бесконечно близкой геодезической дугой, выходящей нз точки А. В противном случае она перестает давать слабый минимум. Например, для случая сферической поверхности дуги больших кругов являются геодезическими. Если дуга АВ большого круга содержит точку С, диаметрально пуотивоположную А, т.
е. дуга АВ больше половины большого круга, то АВ не, дает минимума расстояний между А и В, так как в точке С дуга АВ пересекается с бесконечно близкой дугой большого круга, соединяющего точки А и С. Если дуга АВ меньше половины дуги большого круга, она нзверное дает слабый минимум длин кривых, соединяющих ее концы. Пример 3. Задача о минимальной поверхности вращения (3 32) сводится к разысканию минимума интеграла: ь / = ~ у ~/ 1+у'-' агх. а Так как все экстремали задачи можно считать расположенными над осью Ох (У>0), то условие Ле.каидра Гмм = 275 8 87] ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ (63) уз агх= 1, / уугбх=О (1= 1, 2, ..., й — 1), Ф и (64) у(а) =у(б) = О, и функция, реализующая условный минину.н, есть 7г-я собспгвенная функция.
Прежде всего заметим, что методом 6 82 можно доказать, что минимум l (гс) О) при условиях (64) достигается на некоторой кривой класса Сп Следовательно, на основании результатов 6 60 функция у(х), реализующая условный минимум, должна давать безусловный минимум функционалу ь Ь-1 / ((Руг+)7у") — йу" — ~) 2«,у,у~ ах, (65) А 1=1 где 11 и 1,. суть множители Лагранжа. Уравнение Эйлера-Лагранжа дает (у] = Йу+ ~ «,уг. (66) 8 87. Экстремальная теория собственных значений Прямое определение собственных значений. В предшествующих параграфах мы подробно изучили поведение наименьшего собственного значения формы: 7(у) = /(РУ+ Ву'") б е Полученных результатов оказалось достаточно для решения вопроса о слабом экстремуме. В более общей задаче, когда мы желаем изучить поведение функционала вблизи экстремали, является существенным исследовать все собственные значения и собственные функции формы.
Заметим, что это исследование представляет также большой самостоятельный интерес, так как оно выявляет новые свойства линейных диференциальных уравнений. Мы начнем с того, что дадим прямое определение собственных значений. В теории собственных значений квадратической формы и переменных А = .~Р~агьхгхг. собственные значения и главные оси определялись из экстремальных условий.
Наименьшее собственное значение есть минимум А на сфере Е: ~~„',х,з = 1. Пусть определены первые г' собственных значений и соответственных главных осей; (1 + 1)-е собственное значение есть минимум А на пересечении сферы Е с (и†1)-мерным линейным многообразием, ортогональным первым г главным осям. Аналогично можно определить собственные значения формы 7 в функциональном пространстве.
ТЕОРЕМА. Пусть Ло Л„..., Л„,— первые гго величине (й — 1) собспгвенные значения формы у(у); у,(х), уе(х), ..., у„,(х) — соответственные нормированные собственные функции; тогда я-е по величине собственное значение равно минимуму з' при условиях: 276 втовая вьвиьция и линвйныв вьвилционныв задачи [гл. Х111 умножим обе части уравнения (66) на у, и, проинтегрировав в пределах от а до Ь, получим: ь Ь ь ь / [У]Уа Их=1 / УУ7 Нх+т,./у,~г1х+~~ т,/уу ах. (67) а ~ьт а В силу ортогональности собственных функций у, и у,. имеем: ь / у,у, и'х = О. а Далее ив (43) й 82: ь ь ь / [у] у.
Ых = / [у,] у Ых = Л, / у у Ых. Принимая во внимание условие (64) и нормированность функций ут из (67), получим: т =О. (68) Следовательно, наша функция у(х), реализующая условный минимум, удовлетворяет уравнению Штурма-Лиувилля: [У] = РУ т. е. у(х) есть нормированная собственная функция формы Х Так как у(у) = 1ь (свойство 6'), то, значит, значение условного мннимума есть собственное значение. Покажем, что 1ь есть непосредственное следующее по величине за Л„ Л„..
„Л собственное значение. В самом деле, допустим противное, что и есть собственное значение формы У, меньшее р и отличное от Л,, Л,, Л„; пусть у(х) есть соответственная собственная нормированная функция. Имеем: ь ь ,/' = узах=1, /УУ,=О (ю'=1, 2, ..., й — 1). а Я Следовательно, функция У(х) есть одна из допустимых функций нашей изопериметрической задачи, при атом у(у)=1ь(1ь=у(у), что противоречит определению у(х) как функции, реализующей наш условный минимум.
Единственность. Итак, существует кривая у =у(х) (собственная функция), отвечающая собственному значению Лм дающая условный минимум форме У(у) и удовлетворяющая условиям (64). Кривая — у(х) будет также удовлетворять всем условиям задачи, кроме того, очевидно, 1[у(х)] =У[ — у(х)]. Следовательно, кривая у= — у(х) будет также давать условный минимум для Г. Докажем, что эта многозначность в решении — единственно возможная. 277 ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 9 87] ТЕОРЕМА.
с(ля любой кривой у =у(х), удовлетворяющей условиям: уздх= 1, у (а) = у (д) = О, (69) ь У у,у ах= 0 (1= 1, 2, ..., 7г — 1) и принадлежащей классу С или классу ()м имеет место неравенство: (7 0) з' [у (х)] )~ l [уь (х)]; знак Равенства достигаетсЯ только пРи У(х) =ьУь(х). Неравенство (70) вытекает из определения уь(х); нам остается доказать, что для функций у(х)==.= у„(х) имеем: 7(у) ) 7(уь).
Если у=у(х) принадлежит классу С„то неравенство (70) вытекает из единственности решения уравнения Штурма-Лиувилля при данном собственном значении Ль. Допустим теперь, что в некоторой точке с (а ( с ( д) у'(х) имеет разрыв первого рода; если, кроме того, у(у)а у(уь), то в угловой точке [с, у(с)] должно выполняться условие Эрдмана (6 73), которое в нашем случае примет вид: /Гу' (с — О) = гсу' (с+ О). Так как по условию гг ф О, то у' (с — 0) = у' (с+ 0), т. е. у (х) в точке с должна быть непрерывна.
Теорема единственности доказана. Теория Куранта собственных значений формы 7. Р. Курант в ряде исследований использовал другое экстремальное определение собственных значений формы 1(у). пусть р,(х), ря(х), ..., рь(х) — к функций класса Сг на (а, д). Обозначим через Л (р„оа,,, о ) минимум формы з (у) на [ч при условиях ь / уга'х=1, а ь У р,(х)у(х)а'х 0 (ь'=1, 2, ..., й).
ТЕОРЕМА '). Верхняя граница Л(о„оя,, о ) при произвольных функциях р, равна А„. 27я втоРАя вАРилция и линвйныв ВАРнАционныв зАдАчи [Гл. ХП1 (71) другая формулировка: обозначим через [, линейное пространство в РГ, определенное (й — 1) линейными условиями ь ,/' р,у 7х=о. а л Верхняя граница минимумов а' (у) но пересечение сферы / узс1х = 1 с [ лри варьировании пространства [, равна Л . Для доказательства фиксируем сначала функции ро р„..., р„,. Пусть у,(х), у (х), ..., у„,(х) — собственные функции, соответствую- щие первым (й — 1) собственным значениям Л„Л,„..., Л„,.
Рассмотрим 7г-параметрическое семейство функций 1' = ~~У с,у,.(х); имеем: 1=1 У(У) — ~~Л су 4=1 Подберем с„с.„..,, сь так, чтобы удовлетворялись условия: / (~~ свУ, ) 1г'х= ~~ с,в=1, а 1=1 1=1 Ь Ь вЂ” 1 Ь вЂ” 1 Ь / р, (~ с,у ) 1гх= )~~с, /о,у, а1х=О (1=1, 2, ..., 7г — 1).(72) а а =1 а В силу (71) и (72) функция ~' сву1 принадлежит к классу функций, на ног=1 торых минимум а равен Л(р„р„..., р,). Следовательно, А — 1 Л(р, р,, ь„)(У( ~ су)= ~~ Л.с.г~Ль ~~) са=Л, 1=1 так как )в(ЛА при 7'(7г, а,5', свь=1.
Таким образом верхний пре- дел Л(р,, р, ..., р„,) не больше Л,: именно Л(ум у....,, у,) = Л В самом деле, в силу предыдущей теоремы Л„есть минимум е(у) при условиях: уза1х = 1, ь ,/' уу, сЫ = О (1 = 1, 2, ..., 4 — 1), а Следовательно, верхний предел для Л (ро ь„..., р,,) в точности равен Л„ и достигается, когда р, = уо 279 э 873 экстгемлльная теовия соественных значений Аналогично Из теоремы Куранта сразу следует оценка собственных значений ).„ при достаточно большом п. Оказывается, числа Л„неограниченно растут в.насте с и, причем порядок Л„равен порядку пе.
В самом деле, обозначим через Л„' и Л„' и-е по величине собствен- ные значения форм: ь ь ~ (сут+ с,у'я) дх, / (Суэ+ С~у'я) дх, где с, с, означают минимумы, а С и С,— максимумы функций Р(х) и й(х) на отрезке (а, Ь). Очевидно: С,)~с, ) О. Покажем, что Л„' <Л„(Л„". Это неравенство непосредственно следует из теоремы Куранта. Мы можем только уменьшить значение функционала У,ы если заменить Р(х) и гс(х) их минимумами с и с,.
Поэтому при такой замене минимум У,ь (при каких-либо условиях) может только уменьшиться; число Л„ как верхняя граница минимумов У„ (при некоторых условиях) поэтому не меньше Л„'. Аналогично получим Л„ ~ Л„". Из равенства (40) Ь 81 следует, что и-е по величине собственное значение Л„' формы (суе+ с,усе) дх равно: пегас, (Ь вЂ” а)а (Ь вЂ” а)а+ откуда извес~ игигС, ( — + ~Л" ~(Ь— Зависимость собственных значений от верхнего предела. Будем считать верхний предел в выражении У„, = / (Руэ+ )гу'г) Ых пере- менным; 1-е собственное значение )ч(Ь) (Ь ) а) от У„, есть функция от Ь, причем для любого Ь, Л, (Ь) > Л (Ь), если г >/, в частности ~при г) 1 Л, (Ь)) Л,(Ь).
Отсюда следует: 1'. При Ь, достаточно близком к а, все Л,(Ь) > О. Это есть след- ствие свойства 11' (9 83). Далее имеем: 2'. Все функции Л,(Ь) суть функции, монотонно убывающие при воз- растании Ь. В самом деле, пусть Ь') Ь; согласно теореме Куранта Л,(Ь') есть верхняя грань минимумов 7мс(у) при фиксированных условиях: у(а) = ь .= у (Ь') = О, /уэ ах= 1 и при переменных (†1 условиях: ь 'в /'., о,удх=О () = 1, 2, ..., ю' — 1). Л,(Ь) можно определить как верх- 280 втотля влвиьция и линвйныв вьвиьционныв задачи [гл.
Х!П нюю грань минимумов У„ (у) при тех же условиях и дополнительном условии на отрезке (Ь, Ь ) у (х) = О. Так как при дополнительных ограничениях на класс допустимых линий вариационной задачи минимум может только повыситься, а следовательно, и верхняя граница подобных минимумов может только повыситься, то Л,(Ь') ( Л,(Ь). Нам остается доказать, что знак равенства невозможен. Допустим противное, что Л,(Ь') = Л,(Ь).
Обозначим через у,(х, Ь) Ь-ю собственную функцию формы У. Построим функцию у,(х, Ь) прн а (х (Ь, у(х) = 0 при Ь < х < Ь'. Функция у(х) принадлежит классу С,. В силу сделанной гипотезы Л, (Ь) = Л,(Ь') получим: У.ь [у,(» Ь')[=~„[у(х)), что противоречит теореме единственности. Итак, функции Л,(Ь) для значений Ь, близких к а, положительны, с возрастанием Ь эти функции убывают и могут стать отрицательными„ и этом случае график функции Л,(Ь) должен пересечь ось Ь в точке Ь,, определяемой уравнением Л,(Ь,) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
