Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 46
Текст из файла (страница 46)
(гл. ХН 248 одностогонние вьеилпии Мы приходим таким образом к следующей теореме: ТЕОРЕМА. Если кривая Т: у =у (х), з = г (х) дает минимум интегралу з'= / В(х, у, л, у', г') йх среди кривых у =у(х), э=э(х), принадлежащих заикнутой области, й(х, у, -)) 0 и соединяющих две данные точки А и В, и гпаких, что у' и г' неирерывны, кроле, быть может, точек, где Т переходит из облатпи на границу области ц = О. тог 1.
Куски кривой Т, принадлежащие области ь ) О, суть экстремали для интеграла з'. 2. Куски кривой Т, принадлежащие границе области, суть экстре- мали задачи на условный экстрелгум з' при условии э = 0; вдоль каж- дой экстрема,ги имеем: с" — — г, а' сг я й»- г" — — р, ах —. — — -- — -)~ 0 — — =О.
Э те та 3. В точках, где Т переходит из области на границу, илеюгп место соогпношенияг 7 — гт — Р'„, (у' — у') — Р, (з' — г') = О, дз дз ду дг Если исключить особый случай,то условие 3 можно заменить условием: 3'. Кривая Т обладает непрерывно вращающейся касательной. Фактическое определение кривой.
Покажем, что найденных усло- вий достаточно, чтобы при наличии искомой кривой ее можно было фактически определить. Итак, допустим, что искомая кривая Т существует н содержит п кусков Г„принадлежаших поверхности а=О. В таком случае Т будет содержать и+ 1 кусков Т„принадлежаших области а ) О. Пусть теперь у =Дх, а„аг, аз, аь), (19) в= — б(х, аг, а, аз, аь) 1 есть уравнение семейства экстремалей для интеграла У и у, =у;(х, а, д), ) (20) з,=6 (х, а, Ь) ) есть уравнение семейства экстремалей для задачи на условный экстремум интеграла l при условии 9 = 0.
В силу положений 1 и 2 теоремы все Т, принадлежат семейству (19), и все Г, принадлежат семейству (20). Таким образом для определения кривой Т нам нужно найти 4(п+1) констант: 9 !9) ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА для определения кусков "„ и 2п констант — а + рх + 1уу+ а = О, определить кривую, скатываясь по которой (начальная скорость равна нулю) тяжелая точка !!4 придет из А в В в кратчайшее вреил. Если считать, что ось ОХ направлена вертикально и начало координат находится в точке А, то наша задача приводится к разысканию кривой, минимизирующей интеграл, ! "г' ! -1- у'-' —; е'5 ./ среди кривых, принадлежащих обласвн1 — з+ рх — — !уу+ а )~ 0 (21) и соединяющих две данные точки (О, О, 0) и (х„у„з1).
Для упрощения выкладок примем, что ось Ох паралельна плоскости — з+рх+ !уу+а= 0; в таком случае р=О, и условие (21) примет вид: — г+!уу+ а) О. Найдем теперь семейство экстремалей длв Т в области — а+с!у+ +а)~0. В силу результатов, полученных в примере 9 28, экстремалями будут служить циклоиды, расположенные в вертикальных плоскостях.
Уравнение семейства будет: х = !'соз и (11 — 5!и 8) + С! у = !'51п и (б — 51п 8) + С., з =!'(1 — С05 б), (23) где г, С„СЯ, и — произвольные постоянные. Найдем семейство экстремален для Т при условии — з+ду+а=О; это будут, очевидно, также пиклоиды, расположенные в плоскости Р, определенной уравнением — е + ду-'- а = О, получаемые качением а„д! (1 = 1, 2, ..., и) для определения кусков 1'1. Четыре соотношения между константами мы получим из условия, что кривая !! проходит через данную точку А, а кривая Г,— через точку В. Кроме того, в каждой точке А,(1=1, 2, ..., 2п) мы имеем в силу теоремы два соотношения, таким образом получим еще 4п уравнений. Остальные 2п уравнений мы получим из условия, что конец (! совпадает с началом Г„.
Обобщение задачи. Развитая теория иам позволит решить следующую задачу, которая является естественным обобщением предыдущего примера: среди всех кривых пространства (х, у, х), соединяющих две данные точки А и В и расположенных выше плоскости [гл.
Х11 одностогоннив влгнлцнн окружности по примой, параллельной осн Ох. Уравнение семейства этих экстремалей, выходящих из точки хе, уе, зз плоскости Р„, будет: х = й (Π— 5! и О) )- С, 1 у= ( т (1 — сов О) — ануе — а) совр, 1 (>г (1 со5 О) >7уе в) 5!п р (24) Х вЂ” Г со5 М1 (Π— 51П О), у = г> 51П 51 (Π— 5!П О). г = г, (1 — со50. (25) Второй дугой) будет кусок кривой семейства) (25), и третьей дугой будет кусок кривой семейства (24). Таким образом для определения искомой кривой нам нужно найти восемь произвольных постоянных: г„ а> для определения первой дуги; Р„ С для определения второй второй дуги и г, а, С„ Св для определения третьей дуги.
Эти произвольные постоянные определятся из следующих соотношений. Условие, что третья дуга проходит через точку В, дает два соотношения; ) словие, что три дуги образуют непрерывную кривую, даст нам еше два соотношения; остальные четыре соотношения мы получим из выведенного нами в общей теореме условия, которому должна удовлетворять кривая при переходе из области на границу обла-гн. В нашей задаче это условие соответствует тому, что при переходе от первой дуги ко второй и от второй к третьей касательная изменяется непрерывно. Построению искомой кривой можно придать геометрический характер. Лля этой цели двупараметрического семейства (25) выделим однопараметрическое семейство кривых, касательных к плоскости г = >7у+ а, н обозначим через ь) геометрическое место точек касания, 9 есть, очевидно, некоторая кривая на нашей плоскости.
Аналогично выделим мз семейства (23) однопараметрнческое семейство кривых, проходящих где 1д~=п, а >т и С произвольные постоянные. Возможны два случая: 1. Через данную точку В возможно провести цнклоиду семейства (23), принадлежащую области (22), не имеющую между рассматриваемыми точками точки возврата. 2. Пиклоида семейства, проходящая через точку В, пересекает плоскость Р. В первом случае искомая кривая будет циклоида семейства (24), выходящая из начала координат и проходящая через точку В.
Так как искомая кривая выходит из начала координат, то С, =- Ся = О. Две другие произвольные постоянные г, в определятся из условия прохождения кривой через точку В. Во втором случае искомая кривая будет состоять из трех дуг, каждая из которых будет определяться своим уравнением. Первой дугой будет кусок кривой семейства: 251 $79] ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА через точку В и касательных той же плоскости — з+ду+а =О. Пусть кривая Я, есть геометрическое место точек касания.
Построим в каждой точке Я и Я, единичные векторы д и д„совпадающие с касательным вектором к соответствующей кривой семейства (25) или (23). 'После этих предварительных построений проведем кривую семейства (24), соединяющую некоторую точку М кривой (~ с некоторой точкой М, кривой 9 так, чтобы вектора д и уы соответствующие точкам Ми М„ были касательными к проведенной кривой. При этих построениях кривая, составленная из кусков кривых семейств (25), (24) и (23), будет искомая кривая. Пользуясь приведенной геометрической интерпретацией, сравнительно нетрудно показать, что 8 отмеченных выше произвольных постоянных определяются единственным образом. СЕМЕЙСТВО ЭКСТРЕМАЛЕЙ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГДАВЛ Х1й ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ И ДИНЕйНЪ|Е ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ До сих пор мы в основном имели дело с индивидуальной экстремалью.
Сейчас мы перейдем к изучению с е и е й ст в экстремалей. Изучение семейств экстремалей исторически началось в связи с задачами геометрической оптики (см. й 57, 76) и затем было перенесено Гамильтоном на вариационные задачи более общего вида (преимущественно в связи с исследованием уравнений механики). Якоби, с одной стороны, связал нахождение общего интеграла уравнений Эйлера (общего семейства экстремалей) с решением определенных уравнений в частных производных первого порядка, с другой стороны, показат, что вопрос о д о с т а т о ч н ы х условиях с л а б о г о экстремума связан с поведением экстремалей, соседних с заданной.
Наконец, Вейерштрасс, изучая теорию поля экстремалей, нашел д о с т а т о ч н ы е условия для с и л ьн о г'о экстремума. Таким образом полное решение вопроса о том, дает ли данная экстремаль минимум или максимум, было дано только на основе изучения семейств экстремалей, включающих данную. Теория семейств экстремалей распадается на две части. Предметом первой части является изучение бесконечно тонких пучков экстремален или семейств экстремалей, близких к данной. Эта теория возникла в связи с теорией слабого экстремума.
Теория слабого экстремума более просто получается из рассмотрений, возникших в теории сильного. экстремума. Однако это не уменьшает математического значения этой теории; она связана с изучением квадратических функционалов (второй вариации), играющих фундаментальную роль в разных главах математики. Вторая частьзанимается исследованием семейств экстремалей „1п1 цгоззеп", т. е. не только в е-близости данной экстремали. Эти исследования привели к созданию своеобразной геометрии, где роль прямых играют экстремали.
Помимо своего основного значения для вариационного исчисления эта теория имеет и самостоятельный геометрический интерес. В гл. Х!П изучаются бесконечно тонкие пучки экстремален и связанные с ними квадратические функционалы. Эта глава излагаешься теоретико-функциональным методом. Гл. Х1Ч в связи с ее геометризированным содержанием излагается геометрическими методами.
5 80. Предварительные замечания. Исследование поведения функции в окрестности стационарной точки приводит к рассмотрению квадратических форм, именно второго диференциала. Исследование поведения функционала в окрестности экстре- мали приводит к исследованию второй вариации.
Мы остановимся на этом исследовании довольно подробно, так как вторая вариация есть 253 $80] пгздвлгитвльные злмвчлния простейший вид квадратического фунционала, теория же квадратических функционалов играет существеннейшую роль в самых различных главах анализа. Методы, выработанные при исследовании квадратических форм, переносятся в значительной степеяи на вариациоииое исчисление, а связанные с ними экстремальные задачи переходят в вариационные задачи. Система линейных (вековых) уравнений й 25 превращается при этом в линейное диференциальное уравнение, так называемое уравнение Штурма-Лиувилля, играющее фундаментальную роль в математической физике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
