Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 43
Текст из файла (страница 43)
(1') (гл. Х11 232 ОДНОСТОРОННИЕ ВАРИАЦИИ Можно взять в качестве примера задачу, когда за класс допустимых линий принимаются линии, вдоль которых интеграл К удовлетворяет неравенству: ь К= / ы(х, У,у') йх~О. (2) Наконец, во многих задачах за класс допустимых линий принимаются выпуклые кривые у=у(х). Условие выпуклости можно тоже написать в виде неравенства: «( 1..- О: (3) вдоль всей кривой вторая производная неположительна. Общее, если линия может иметь точки перелома, то условием выпуклости будет: вторые разности вдоль всей кривой всюду неположительны: йгу (О.
(4) Существенным отличием этих задач от ранее разобранных является то, что если условия в форме (1), или в форме (2), или в форме (3) для кривой у=у(х) выполнены в смысле равенства и если при допустимой вариации Зу(х) эти условия переходят в неравенства, то вариации — ду(х) в общем случае уже не являются допустимыми. Это обстоятельство является полным аналогом того, что мы имели в задачах на экстремум функций многих переменных, когда экстремум достигался на границе области задания функции. Геометрическая интерпретация.
При постановке простейшей задачи вариационного исчисления мы выявили глубокую аналогию между функциями, определенными в пространстве и измерений, ифункционалами, определенными в функционзльном пространстве. Вводя понятие области в функциональном пространстве, мы сможем распространить эту аналогию также на разбираемый круг вопросов. Напомним, что некоторое множество точек функционального пространства П образует область, если, какова бы ни была точка этого пространства, некоторая окрестность этой точки также принадлежит пространству. Например, если рассмотреть пространство С всех непрерывных функций 1(х), опрелеленных на отрезке а (х (Ь, то множество непрерывных функций, удовлетворяющих условию у (х) ) О, будет областью рассматриваемого пространства.
Закрытой областью функционального пространства назовем область, к которой добавлены все предельные точки точек данной области. Например, закрытой областью на К будет множество непрерывных функций 1'(х), удовлетворяющих неравенству у'(х))~0. При этих определениях перечисленные нами задачи могут быть формулированы следующим образом: среди всех точек данной области функционального просгпранства определигпь ту, в которой данный.
функционал принимает экстремальное значение. ПрОстейшия задача. Начнем с рассмотрения простейшей задачи: среди всех непрерывных кривых у =у (х), производные когпорых непрерывны кроме, быть может, точек, лежаюих на кривой 1~(х, у)=0, удовлегпворнюигих условию Р (х, у) )~ О $77) одностогоннив влгилции для пгостайшяй злдлчи 233 и соединяющих заданные осочка А и В, найти ту, вдоль которой интеерал Х ж1 е'= ~ Р(х, у, у')ах лринимает экстремальное значение. Ограничимся в этой главе выводом необходимых условий, пользуясь которыми можно было бы искомую кривую фактически определять, если она существует. Неравенство о(х, у) ) О опре- — В делит, как известно, в общем слур=о чае закрытую область с границей о(х, у)=0 (черт.
42). Мы будем У(о предполагать, что функция о (х, у) однозначна и допускает непрерывные производные первого порядка и что система уравнений: — =0 — =0 дч дт ох ' ду о=О л Черт. 42 имеет лишь конечное число решений; им отвечают точки, которые в диференциальной геометрии назы- ваются особыми точками. Прочие точки кривой и(х, у)=0 будем называть обыкновенными. Вывод условий экстремума. Таким образом условию (4) можно придать геометрический смысл: все кривые класса допустимых 'линий должны принадлежать закрытой области, ограниченной кривой о=О. Допустим, что кривая 7, дающая минимум в рассматриваемом классе допустимых линий, существует и имеет уравнение: у=у(х).
В общем случае искомая кривая Т может быть разбита на последовательные куски 7„ и 7,..., Тм 1 „1'я,..., Гл „ где все куски т, принадлежат области ь (х, у) ) О, все куски Г, принадлежат границе (черт. 43). Обозначим через А„ В;, А, В,; ...; Ал ,, В , соответственно левые и правые концы кривых Г,, Г.. . Г„ ,. Мы допускаем, что куски Г, состоят из правильных точек кривой с = О. Нашей задачей будет выявить те условия, которым должны удовле- творятьи 1) кривые т, при о ) 0; 2) кривые Г, и 3) кривые ",, в точках соединения: А,, Вг )гл. ХП 234 ОДНОСТОРОННИЕ ВАРИАЦИИ условия для кривых Т, получаются сразу.
В самом деле, так как кривые Т, принадлежат области су ) О, то для этих кривых допустимы двусторонние ') вариации и, следовательно, каждая кривая Т, должна быть экстремалью для интеграла л', т.. е. удовлетворять уравнению Эйлера: гт — — г =О. Ы О'.Х Займемся выводом условий для кривых Г,.
Для этих кривых возможны лишь односторонние вариации, причем очевидно, что если для дч точек рассматриваемой кривой — )) О, то допустимы лишь вариации ду' 3у~ 0 (вдоль кривой ~р = О, следовательно, если — ) О, то при отде рицательном прирашении ау сч становится отрицательной и кривая у=у(х)+3у(х) не будет принадлежать классу допустимых линий). Аналогично, если — < О, то возможны лишь вариации 3у (О. Зайдт ду мемся первым случаем. Так как наша кривая дает минимум, то при всех бесконечно малых положительных вариациях 3у вариация интеграла л должна быть неотрицательна. Применяя метод варьирования в точке, получим; 3,./= (Ря — — Р~,) / Зудх )~О.
для которой — ) О, имеем: да ду Отсюда вдоль каждой дуги Г„ Р— — Р,)~0. я лх л' Аналогично для тех дуг Г,, для которых — < О, имеем: дэ Объединяя оба случая для минимума, имеем: Р— — )ч л лх в' дэ >О з) ду ') То-есть, если Зу — допустимая вариацвя, то — ау является также допустимой. а) Очевидно, что в силу однозначности у =утх) вдоль дуги Г, функция дв — переменить знака не может. ду для всех точек дуг Г,. Рассмотрим последний вопрос в вопрос об условиях в точках А,. Определим вариацию л' при вариациях точки А, вдоль кривой Г,. Эта $77) одностогоннив вляилции для пвоствй<пей злдлчи 235 вариация будет состоять из двух частей: если мы через х, обозначим абсциссу точки Ао то Ж< ь 31=3 / Р(х, у, у')«<х+3 / Г(х, у, у')<(х. Вариация первого интеграла была нами вычислена при решении задач на „свободные копны": 3 / Р(х,у, у')ах=( (й — у'(х,)) Р .
(х„у (х ), у'(х<))+г:(х„у(х<), у'(хД3»„ где л — угловой коэфицнент касательной к кривой <э=О в точке А<. Вариация второго интеграла сводится к уменьшению длины интервала интеграции на 3х,; отсюда ь / Р(х, у, у')Их= — Р(х„у(х<),л)3х. Так как разбираемая вариация есть двусторонняя (с точностью до мэлых высших порядков), то прн экстремуме необходимо, чтобы сумма двух вычисленных вариаций равнялась нулю. Получим: <е(х„у(х<), 7<) — Р(х<, у(х,), у'(х,)]— — (л — у'(х,))Г„(х„у(х<), у'(х<)) =0 дт У(х) — д — ~( У(~) У( ))+ дх ду д<< + д.
у (х) ~(х у у')< . =О. ду .Полученное условие будет удовлетворяться, если я=у'(х), т. е. если в точке А, касательная к Т совпадает с касатальной к Г<. Если кривая <<=О, а функция Р„,„, $0 при любых у', то решение (5') есть единственное, таким образом в этом случае во всех точках, где минимизирующая кривая у=у(х) переходит из области у ) 0 на границу области, касательная к кривой должна совпадать с касательной к границе. Иными словами, функция у=у(х), представляющая уравнение минимизирующей кривой, обладает непрерывной производной.
Проведенный анализ задачи может быть оформлен в следующую теорему. 230 )гл. ХП ОДНОСТОРОННИК ВАРИАЦИИ ТЕОРЕМА. Если кривая у=у(х) среди всех кривых, соединяющих две данных точки А и В и лежащих в области ю(х, у) )~0 [у' непрерывна кроме, быть может, точек границы о(х, у) =0), дает минилгум интегралу г', то: 1, Во всех точках, лежащих внутри облаппи, кривая у=у(х) есть акстрвмалсс Е,— — - Е,=О. У йх У' 2. Во всех точках кривой у=у(х), принадлежащих границе: Š— — гр, )~ О, если — ) О, бг дч у агх у' ду à — — Е, (О, если — ( О.
Ы дч У йХ М ду 3. В точках перехода иа области на границу области оу Г х, у(х), —, — Е(х, у(х), у' (х)) ду + ( ~~ + фу') Ру, (~, у, у') = О . )г1 + у'гах т= ' ° в Семейство экстремглей будет ссстоять из цнклоид: х = г(а — з!и О) + С, у = г(1 — соз Ь). Для этой задачи имеем: 16) 1 ру У У' — ) О. )' у (1+ у'г) г Следовательно, экстремзль должна касаться границы области.
Кроме того, допустимые линии должны по условию принадлежать области: У=ах+У вЂ” у) О, — = — 1с.,О. дч ду й, принадлежащик границе, Следовательно, для кусков искомой криво должны иметь ń— ~ р„,<О. Пример. В качестве первого примера на применение выведенных условий разберем задачу ва определение брзхястохрояы: среди всех кривых, лежащих в вертикальной плоскости хОу выше прял мой у = ах+ У и соединяющих точки А и В, найти ту, двигаясь по которой под действием своего веса точка М придет из А и В в кратчайшее время. Сохраним обозначении, принятые в $72, поместим начало координат в точку А и обозначим чеРез хт, У, кооРдинаты точки В (черт. 44).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
