Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 38
Текст из файла (страница 38)
При отсутствии же внешних снл силы, действующие на движущуюся точку, сводятся к силан реакции поверхности и направлены по нормали к поверхности. Итак, для геодезической линии нормаль к поверхности совпадает с главной нормалью к кривой (ср. 9 65). 204 ВАРИАЦИОНИЫЕ ЗАДАЧИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ (гл. Х В 71. Замкнутые экстремали. Метод нормальных вариаций Вывод уравнения Эйлера.
Особый класс задач представляют те, в которых в качестве допустимык линий фигурируют замкнутые кривые. Рассмотрим класс (1) линий, заданных уравнениями: х=х®, 0(1«=1 1 (х' +у' ~ О) где х (Г), у (г) — непрерывные и непрерывно-диференцируемые функции. Наложим требования: х(О)=х(1), у(О)=у(1), ',(„) = У,(,)-. Эти требования дают нам не только замкнутость кривой, но и непрерывность направления касательной в точке замыкания, отвечающей значениям параметра 0 и 1. Полагая для любого Г: х (( - и) = х (1), у (1-+- и) = у (1). где и — любое целое число, можно рассматривать х(г) и у(г) как пери одические функции с периодом, равным единице. При изменении от 1о до го+1 мы полУчим кРивУю 1.
Точкой замыканиЯ: [хааа) =х(1о+1)о У('о) =УИо+1)1 может быть сделана любая точка кривой т. Рассматривая вариацию функционала У(1): л (т) = / Г(х, у, х', у') ат, получим: оу(1)=(Г~,ох+Е,оу1 + / ~(Р' — — --Рэ,)ох+(Р'„— — Рэ,) оу ~ Ш. о Так как оба выражения в прямых скобках, отвечающие совпавшим концам 1, равны, то отсюда выражение вариации примет вид: ЙУ(.)= /~(~. — — "Р,)'х+Г~„--дг ~ ) оу) ~(, о условие экстремума оу(1)=0 дает нам уравнения Эйлера: Замкнутая интегральная кривая уравнения Эйлера называется замкнутой ахстремалью.
Рассмотрим двупараметрическое семейство интегральных кривых уравнений Эйлера т(о, Р). Выбрав иа каждой кривой по точке и обозначая через т (ж о, р) дугу кривой т (и, Р) длины э с началом в избранной иа этой кривой точке, получим трехпараметрическое семейство луг 1(г, о, Рр ф'71] ВАмкнУтые экстРемАлн. метод ЯОРИАльных ЕАРнаций 203 Нормальные вариации. Пусть класс ]Т] допустимых линий состоит или из замкнутых линий, или из линий, соединяющих две фиксированные точки.
На кривых класса 17] задан функционал у / У(Т) / с (х,у,-~',у ) Дй т Черт. 31. Рассмотрим кривую 7 класса ]Т], заданную уравнением: х=х(8), у =у(1) (О (1(1), и близкую к ней кривую Т, из класса (1], заданную уравнением: х = х (С) + ох (С), у=у(1)+йуИ (О <1<1). ~)эктор с компонентами ох(1), оу(1) соединяет точки кривых Т и Т, с одинаковыми значениями параметра 7 (черт.
31). Этот вектор будем называть вектором смещения. Задав параметрическое представление кривой 7, определим параМетрическое представление кривой Т, так, чтобы все векторы смещения были нормальны к кривой Т. Установим для кривой Т положительное и отрицательное направление зюрмалей и обозначим через бп(г) функцию точки кривой 7, равную длине вектора смещения, взятую со знаком плюс или минус, в зависимости от того, направлен лн вектор смещения по положительному или Отрицательному направлению нормали. Обозначив через п угол наклона йасательной к кривой Т (я есть функция г), мы имеем: ох = — эп эщ яю 8у = бгг соэ з (33) Требование совпадения абсциссы, ординат и направлений касательной в конце и начале этой дуги .дает нам три условия.
Таким образом мы имеем столько же условий для замкнутой экстремали, каково число параметров, определяющих дугу. В некоторых задзчах экстремали представляют собой кривые, уходяшие в бесконечность; в этом случае, конечно, замкнутых экстремалей нет (случаи, когда мы имеем в качестве экстремалей прямые, цепные линии и т. д.).
В некоторых исключительных случаях все экстремали замкнутые (геодезические , на сфере). Вопрос о существовании замкнутых экстремалей тесно связан с вопросом о существовании периодических движений динамических систем, — запрос, которым мы детально займемся во втором томе. Здесь мы ограничимся простейшей задачей о возможности периодического движения (по инерции) точек на выпуклой замкнутой поверхности. По принципу Герца (Я 70) эта задача сводится к задаче о существовании замкнутой геодезической на выпуклой замкнутой поверхности.
В й 72 мы дадим решение задачи о существовании замкнутой геодезической иа такой поверхности и ряда аналогичных задач. Для ее решения мы познакомимся предварительно с некоторыми понятиями, представляющими и самэстоятельный интерес. 206 ВАРИАЦИОИИЫЕ ЗАДАЧИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ (ГЛ. Х (так как вектор смещения нормален к касательной). С другой стороны, обозначив через 1й элемент длины кривой' 7 и через йх, йу — его компоненты, имеем: х'й1=йх=йвсоза, 1 (34) у'ив = иу = 1й з1п а.
Определим теперь вариацию интеграла в' ври переходе от кривой 7 к кривой 71. Напомним еше равенства (см. равенства (19), (19'), 9 69): ~ — — ~,= — у (~) х и1т х' 1 с" — — с",=х' (1е) й Р йв Р' 1 (35) где ( Р ) = — Г" Р + Р̈́— Гть (Х'У" — У'Х"). (36) с точностью до величины второго порядка сравнительно с расстоянием между кривыми 71 и 7 (с точностью до г(7, 71)а). В силу теоремы о среднем У(7 ) — У(7) — ~ ( Г ) Ои й = ', с" ), / 3~ йв = ( с ), а (37') О О Выражение йл 11г есть плошадь бесконечно маленького прямоугольника с основанием йв и высотой Ои (плошадь эту мы считаем величиной алгебраической, совпадающей по знаку со знаком высоты йн).
Выражение Ы(7) называется нормальной вариацией функционала 7(7). функциональная производная н вариация в точке. Сохранив обозначения предыдушего параграфа, будем полагать, что йн(1) = 0 всюду, за исключением некоторой малой дуги СС, кривой 7 длины й, заключаюшей точку А.
Обозначим: ОН й = / ОН1й=а; У 1 ос, О1 означает площадь бугорка, заключенного между кривыми 7 и 71. Мы будем полагать, что а есть величина низшего порядка малости сравни- тельно с г(7, 71). Преобразуем теперь вариацию О1(7), пользуясь формулами (33), (34), (35): 1 в(7,) — 7(7)=ьйу(7)= ~ ~~(~ — — „, ~,т~Ьх+(~„— ~ ~„,)3у~ йС= О 1 / (г ) ( — у'Ох+х'Оу) Ж= ( (с ) Олив, (37) О О где 7 — длина кривой 7.
Прирашение у(1,) — У(т) совпадает с вариацией О.7(7)= / (г ) йнйв О з 71] злмкнятыв экстгзмяли. мзтод ногмьльных влгилций 207 Так как У (7,) — У(7) и аУ(7) отличаются друг от друга иа величину порядка г(7, Т,)з„то равенство У(т,) — У(1) = 8У(7) будет верным с точностью до величины порядка старшего, сравнительно. с о. В силу равенства (37') имеем: оУ (8) / ]Р] йп йз ~Г]р / оп йз (Г~ о«/« С«', где (Г]весть значение функции ]Г] в некоторой внутренней точке П. дуги СС,. В силу малости дуги СС, и непрерывности функции ]Г] разность (Г]р — ]Р]„будет величиной бесконечно малой вместе.
с дугой СС,. Следовательно. ]и -] ]А )' Отсюда У(7,) — У(7) = ]Г] а. (38) Выражение 1Р] а называется вариацией в точке А функционала У(1) С точностью до величины порядка выше о вариация в точке совпадает с приращением функционала У(т) (еслн, конечно, г(т, 7 )к будет величиной старшего порядка сравнительно с о). Будем теперь стягивать наш бугорок к точке А так, что дуга СС, будет стягиваться в эту точку, а г(7, 7,) будет стремиться к нулю;.
при этом г(7, 7,)я будет оставаться величиной высшего порядка малости сравнительно с о, которое тоже стремится, конечно, к нулю. При этом: и У'"' "' = (Р']„. (30) Это следует нз того, что: У(М,) — У(7) = (г".] о+ее, (40) где а — величина, стремящаяся к нулю вместе с о. Выражение (г"]л называется нормальной фуннниональной произ- водной от У(7) в точке А. Необходимое условие того, что кривая т реализует экстремум У(7), заключается в равенстве нулю нормальной функциональной производной во всех точках кривой 7.
Нормальные вариации для случая пространственной задачи. Пусть в и-мерном пространстве (х„ха,...,х ) задан функционал: У(7) = ~ Р (х, хз,..., х„; х ', х ',..., х„') йС, т бпрелеленный на классе линий 7, заданных уравнением в параметрической форме: х«=х,(г) (1= 1, 2, ..., н). В Поа знаком гм в дальнейшем понимается равенство с точиостью до велиии высшего порядка сравнительно с:. 2ОВ вьгихционныв задачи в пьвьметгической еоэме (гл.
Х .Рассмотрим две близкие кривые Т и Т„уравнения которых имеют вид: х, = х, (~) Т,: х,=х,(~)+3х,(Ю) Параметр ь' на кривой Т, выбран так, что вектор смешения с компо- нентами 3х,(г), соединяющий точки обеих кривых с общим значением параметра, нормален к кривой Т. Векторы смещения образуют полоску .линейного двумерного многообразия между кривыми Т и Т,. Главная линейная часть приращения 7 (Т,) — У (Т) = / Г(х + Зх„..., х„+ 3х„, х '+3х„..., х„'+ 3х„') Ж— — / Г (х„..., х„, х,', х,',..., .е„') сЫ называется нормальной вариацией У(Т) и имеет вид: Ы(Т)=7 т~~~~~à — а..
Г )Зх) аг= в / ~ ~1 (Г,— — Г,)сов~, 13пШ, (41) ь где 3п = у' Е3х,в, сов рг = —.' суть угловые коэфициенты вектора ьп .смешения. Если за параметр принять длину дуги в; то «х, х = — =сова, ь ав ! причем векторы смещения и элементы длины ортогональны друг другу: '«~сова, сов~,= О. (42) При этом выражение для вариации примет вид: 3У(Т)= / ~ ~1 (à — — Г,)сов~,~йпйв, (43) г Выражение 3п ав есть плошдаь бесконечно маленького прямоугольника, опирающегося на вектор смешения и элемент дуги.
Пусть 3п= О всюду, кроме бесконечно малой луги, окружающей -точку А кривой Т; вместе с тем бесконечно мало и а= / опав. Мы будем полагать, однако, что а есть величина порядка ниже второго сравнительно с г(Т, Т,). ~~з (Г Г ) совр есть функция тОчки кр а' ав н, кроме того, зависит от направления вектора смешения. Обозначим его: ~1 (à — — Г,) сов3,=(Г; А, совр,). (44) $: 7Ц ВАмкнУтые экстеемьлн.
Метод ногмальных вьяиаций 209 Имеем по-предыдущему: .7(7,) —./(7) 67(7) (Г; А, созЦ ~ йпйз= (Г; А, созЦ о. (45) При наших предположениях: (Р', А, сов Ц а есть главная часть приращения 7(7,) —./(7); она называется нормальной вариацией в точке А в направлении (совр„созря, ..., совр„). Само выражение 1Р; А, созЦ, навывается функциональной производной в точке А в данном направлении (соз р,). : Если дуга вокруг точки А, для которой 3п ф О, стягивается к точке А и одновременно г(т, т,) — +О, но так, что а остается величиной низшего порядка сравнительно с г(7, 7,)в, то 1пп ("'1 (т) =1Р; А, сов Ц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
