Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Задача отыскания дуги 7: у= у(х), «=«(х) наименьшей длины, так называемой' геодезической дуги, соединяющей точки А (хо, у, «о) и В (х„, у„ «,) поверхности р(х, у, «) = О, сводится к нахождению условного минимума интеграла е~ У= / )/1+у'а+«'а Ых ее прн условии е(х, у, «)=О и условиях на границах: У(хо) =Уо У(х1) =Ум «(хо) = «оэ «(х,) = «,.
где Уа получается из 1', подстановкой вместо Е, я их выражений через и, о. Как следствие приведенных выше рассмотрений получается, что кратчайшая линия среди линий, расположенных на данной поверхности и соединяющих данную точку с произвольной точкой данной кривой Г„ всегда 'ортсгональна кривой Г. (гл. 1Х 176 УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 11о правилу множителей Лагранжа эта задача сводится к отысканию безусловных экстремалей интеграла / «~ 1+у + г — Лт(х,у, г)«йх.
Составим уравнения Эйлера: в ус Вх .Р'1+уп+ и' В силу формул Серре-Френе уравнения этн примут вид: Л(х) е У г (48) Л (х) 9, = — '~, тде через сова„сов аз, сов аз обозначены направляющие косинусы главной нормали к кривой 1 и где г есть радиус кривизны кривой 1. Отсюда: Ру: 9,=созаз. созаз. (49) Далее, из е(х, у, г)=0 следует, что вдоль кривой 1: у=у(х), г'=г(х) имеем: <Р, + 9УУ' + е,г' = О. (50) Затем, так как главная нормаль к 1 ортогональна к касательной к той же кривой и угловые коэфициенты касательной пропорциональны 1, у', г', то сова,+сова у'+созаь г'=О.
Сопоставляя (48), (49) и (50), получим: е,: е„; 9,=сова,:совая. созаз. Но так как у„рв, е, в свою очередь пропорциональны направляющим косинусам нормали к поверхности 9 = О, то отсюда получаем такой результат: главные нормали к геодезической в каждой точке совпадают с нормалью к поверхности. Геодезическая окружность. Рассмотрим геометрическое место точек поверхности р'(х, у, г)=0, расстояние которых до данной точки А есть величина постоянная (черт. 29). Такое геометрическое место точек называется геодезической окружностью. Геодезическую окружность можно определить еще так: выпускаем из точки А под всевозможными углами геодезические кривые н 177 $ 651 пэимвнаиив к таоэии геодазичаских вдоль каждой кривой от точки А откладываем дугу постоянной длины; геодезическим кругом будет геометрическое место концов этих дуг.
Сами же дуги называются геодезическими радиусами. Докажем, что геодезическая окружность ортогональна ко всем гео- дезическим, выходящим из точки А — центра геодезической окруж- ности. В самом деле, обозначим через Г геодезическую окружность. Так как геодезическая, соединяюшая А с произвольной точкой Г, есть кратчайшее расстояние от А до Г, то, значит, эта геодезическая транс- версальна к Г. Но для задач на минимальные расстояния трансвер- сальность совпадает с ортогональностью, ибо расстояние определяется интегралом / йз, который удовлетворяет условиям доказанной выше теоремы ').
Геодезические линии и окружности как инварианты при изгибании. Пусть мы подвергаем поверхность изгибанию без растяже- .Г ния, т. е. изгибаниям, при которых длины дуг ие меняются. Так как длины линий не меняются, то свойство линии давать минимум длин среди кривых, имеюших обшие с ней концы, сохраняется; иными словами, свойство линии быть геодезической не меняется.
Геодезические линии являются ин- Черт. 29. вариантами изгибаний без растяжений. Точно так же и геодезические окружности радиуса 1 переходят при таких изгибаниях в геодезические же окружности радиуса 1. Вычислив длину такой окружности, мы получим величину, не меняющуюся при изгибаниях. Имеет место следующая теорема: ТЕОРЕМА. Длина;еодезической окружности радиуса 7 равна -1+6" ( — '+ ) .где а стремится к нулю вместе с 11 г.„г — главные радиусы кри- визны иоверхности в центре А окружности. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Примем за ось Ах нормаль к поверхности в точке А, за осн Ах, Ау — касательные к точке А к линиям кривизны поверхновти У= О. Перейдя в плоскости хАу от декартовых координат к полярным: р, э, мы полу- чим в трехмерном пространстве цилиндрическую систему координат: р, т, х, в которой элемент дуги выразится по фоомуле: щз атйт2+ аа2+ аее (51) Выпустим из центра А геодезический радиус АВ длины 1 под углом ь к оси хА.
1 Его кривизна — в точке А по теореме Эйлера выразится: г 1 соезе э!Пэе — = — — + —, 1 г г~ га Н 1 /1 11 — — =2 Ыпе сова~ — —— де г ~гз г ) ) т) Мы предполагали геодезическую окружность настолько малой, чтобы любые два геодезических радиуса, выходящие из А, ие пересекались. (52) [гл. (Х тсловный вкстгымгм 178 Уочка В отклоняется на величину порядка Р от соприкасающейся плоскостя к геодеаическому радиусу в точке А, т.е. от, нормального сечения, образующего угол а с осью Ал. Координата р точки В отличается, следовательно, от а ыа величину порядка Р: Ч+ +ОР, 'ЛЧ=(1+Р— )ом.
лб (53) Очевидно, 3 как функция а, имеет период 2а. С точностью до малых высших порядков сравнительно с 1 имеем: "=-( — )' Ирз = —.— ( — — ) аа. ) б 'то(а)'~1 ' ) 1з л= —, 2г' (54) 13 р=1 —— бгз Формулы (54) вытекают из того, что с требуемой вами степенью точности для определения я и р мы можем заменить геодезическую дугу длины 1 соприкасающимся кругом радиуса г, причем для дуги етого круга длыны 1 имеем: Р . 1 Р я=г(1 — соз — )ж —, р=гз1п — 1 — —, г/= Пренебрегая в выражении (51) для ойз членами порядка выше 1о о(аз (а следовательно членом с(рт), получим для диференциала дуги геодезической окружности в силу формул (53) н (54) выражение: оулз = о'Ф+ ро ойрт = [ Р (1 — — ) (1+ — ' Р ) + — ( — — ) ~ Флз ="1'+Р['-'-.— "+-4(.--.)11'"' ~уз =11 1+Р[ — — — + — ( — — ) ~ ~ аа. 1 а'1 Подставляя вместо — и — — их выражения из (52), получим: г аа г Гар 3 сааза з)поа — соФа 3соз'а з!пза — зтоа 1  — 1а' +Ра' ~ + бг,з бгзт бгзгз Интегрируя по частям, получаем: За За За зи У' з)п~ааа= ~сааза аз= / соззаа'з1па= — 3 /своза з1пзаоа.
о о о о Следовательно, при интеграции по а в пределах от О до 2а члены, содержащие в знаменателе гтз и го, пропадут; точно также пря ивтеграции по а в зтих пределах интеграл ~ — па=О так как 3 имеет период 2а. 1' ар ,/ аа о Для определения, с точностью до величины порядка выше Р, длины з геодезической окружности нужно проинтегрировать выражение (52) по а в прел,елах от О до 2я. В силу только что сделанного замечания За з = / ( 1 — ) аа = 2я1 —— о что и требовалось доказать.
$651 ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ 179 Отсюда получаем хак следствие фундаментальную теорему Гаусса. ТЕОРЕМА ГАУССА. Главная кривизна поверхности 1 Г= —— г;гг не менлетсн при изгибании беа растяжении. В самом деле, геодезическая окружность радиуса 1 переходит при таком изгибании в геодезическую окружность такого же радиуса, причем длина окружности в = 2ат — — (Г+ г) б ие меняется.
Следовательно, значение Г+в ие меняется при изгибании, но так как при достаточно малом Г может быть сделан сколь угодно малым, то Г ве меняется при нашей деформации. Геометрия на поверхности. Геодезические линии на данной поверхности и=О. образуют двупараметрическое семейство линий. Как мы увидим в гл. Х1Ч, если данная поверхность удовлетворяет некоторым общим теоретико-функ- циональным условиям, то каждую точку поверхности сг = 0 можно заключить в некоторую окрестность В, обладающую следующими свой- ствамн: 1'. Через любые две точки В можно провести одну и притом только одну геодезическую.
2'. Дуга геодезической, соединяющей.две данные точки А и В окрест- ности,Р, дает минимум длин линий поверхности Р = О, соединяющих А н В. В соответствии с этим при изучении геометрии на поверхности есте- ственно принять геодезические линии этой поверхности за „прямые" гео- метрии на поверхности. Как мы увидим впоследствии, ряд предложений плоской геометрии рас- пространяется на геометрию.
на поверхности, если „прямую" понимать в отмеченном выше смысле и если за „расстояние" между точками при- нять длину отрезка „прямой", соединяющей этн точки. Если поверхность ю = О задана в форме: ф (х, у, х) = О, уо задзча определения семейства геодезических сводится к определению семейства „условных" экстремалей функционала з=е7' у 1+у'+ 'Ых. 'Если поверхность задавать в параметрической .форме: х=х(и, о), у=у(и, о), а=я(и, о), то геодезические будут зкстремали функционагм з'= /17с А+ — +С ( — ) а'и. Интеграл з', взятый вдоль отрезка „прямой", будет давать „расстояние" Между концами этого отрезка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
