Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 34
Текст из файла (страница 34)
УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 180 й 66. Условный экстремум (неголономные связи) Заканчивая рассмотрение элементарных задач на применение метода вариаций, остановимся еше на задаче, когда за класс допустимых линий принимаются линии, удовлетворяющие некоторой системе диференциальных уравнений. Общий случай. Пусть требуется найти экстремум интеграла У= / Г (х, у, «, у', «') Ых, (55) а когда за класс допустимых линий принимаются пространственные кривые класса С„удовлетворяющие диференциальному соотношению: р (х, у, «, у', «') = 0 (56) и удовлетворяющие на концах (при х=а, х=д) трем добавочным условиям.
К этой задаче может быть также применен изложенный нами выше метод неопределенных множителей Лагранжа. Пусть некоторая линия таь у = у (х), « = «(х), принадлежащая классу допустимых линий, дает искомый экстремум. В таком слУчае пРи всЯкой допУстимой ваРиации кРивой те ваРиациЯ ьу должна равняться нулю: ь Ы = / (Г„йу+ г, ь«+ Р'„8у + г',а 8«) Мх = О, а причем в силу (56) вариации 8у, а«должны удовлетворять соотношению: еа 8у+ е, 8«+р„3у'+7,. 8«' = О. (58) (57) Умножим левую часть (58) на множитель ) гУх, где 1 будем пока считать произвольной функцией от х, н прибавим полученное выражение к подинтегральному выражению; получим: ь 8а'= / ((Г„+)е„) бу+(Г„+ Ха„) бу')'Их+ ь + ~ ((Г,-)-йе,) 8«+(Г;+Ла,) 8«' ( Их=О.
а Произведем теперь над каждым из интегралов или преобразование Лагранжа или преобразование Дю-Буа-Реймонда. Остановимся, например, на последнем (см. 8 47). При геометрической интерпретации а' можно, не прибегая к пространству, рассматривать У(7) как „длину" линии 7 в геометрии Римана; „прямые" поверхности превратятся в „прямые" римановой геометрии. Целый ряд теорем такой геометрии мы докажем ниже, в гл. Х1Ч. $66] ьсловный экстгвмзм (нвголономныз связи) 181 После обозначений: х Ж / (Р„+Ли„) бх, 1~1а= / (Р,+Лр,) бх В Я и применения преобразования Дю-Буа-Реймонда вариация примет вид: ь ь Ы= / Я, — (Р„+ Лй„)) оу' Ых+ / Яя — (Г, + Ла, )) Зя' дх = О.
а ь Определим теперь Л=Л (х) из условия: 1д — (Ге~+ Лату) = С = сопзй (59) Предполагая, что Л таким образом определить возможно, и замечая, что У ь ,ь С, йу'дх = С, йу ~ = О, и для ьз получим: 8У= / фь — (Р;+Ла,)) ол'их=о. Так как между вариациями еу и бд мы имеем лишь одно соотношение, то отсюда вытекает, что вариацию йг мы можем считать произвольной (подчиненной единственному условию быть равной нулю в концах интервала (и, д)).
Следовательно, в силу леммы Дю-Буа-Реймонда 1с,, — (Г;+ Ла,.) = Ся = сопзй (60) Диференцируя по х соотношения (59) и (60) и полагая: и=р+лр, окончательно получим: и и„— — и„=о, и,— —,— н,,=о (61) Итак, если возможно определить функцию 1, удовлетворяющую соотношению (59), то искомая кривая тв будет удовлетворять системе (61). Этим самым мы полУчили метод длЯ опРеделениЯ искомой кРивой Ть.
В самом деле, решая совместно уравнения (56) и (61), мы найдем неизвестные функции: Л (х, и, а, аа, а„ ав), у (» "1 аз аа "4 аь) а (х, аю аз аь а4 аь) которые будут зависеть от пяти произвольных постоянных интеграции: а„а, аа, а„а . Для определения этих постоянных мы должны использовать условия иа концах.
Таким образом все сводится к возможности определить функцию Л, которая давала бы для левой части (59) постоянное значение. Диферен- 182, [гл. 1Х гсловиый экстввмгм цируя (59) по х, получим для определения Л диференциальное уравнение первого порядка: Ру + Л~а л~ (Ра + ЛФ ) О или: !Гх \, 'а а'х 'а) у лх а (62) Здесь, очевидно, значения р и Р берутся вдоль кривой (а, так что коао эфициенты при — ', Л и свободный член уравнения будут вполне опре!гх ' деленными функциями от х.
Кроме того, для наших целей достаточно найти хотя бы одно решение Л (х), удовлетворяющее (59) и правильное в интервале [а, в). Допустим дополнительно, что вдоль экстремали ) э„ф О; тогда, полагая ч — — ч !гх а' — — =Р, т»' уравнение (62) примет вид: — ' — РЛ = Я, где Р и 1~ — непрерывные в интервале [а, Ь1 функции от х; отсюда ь ь ь Г а а Л=а .г е Нх в л' Р— — Е, !гх 'ту' у = / Р (х, у, а, у', х') а'х м ') Этот анализ мы дадим во втором томе дла обшей задачи Лагранжа. есть искомое решение. Вполне аналогично, если вдоль экстремали )е р,~о, то мы можем определить Л из (60) и отсюда получить (59).
Особые случаи. Если вдоль экстремали (е имеем: э„=!р, =О, то соотношение (58) дает зависимость только между вариациями 6у и аа; мы получаем случай задачи на условный экстремум, разобранный нами в предыдущем параграфе. Наиболее неприятным оказывается последний случай, когда вдоль экстремали каждая из функций ма и !у, не обращается тождественно в нуль. Мы не будем подробно анализировать этот случай '), заметим только, что если (а дает экстремум интегралу У, то каждый кусок (е, заключенный между точками с абсциссами а„д„будет давать экстремум интегралу м 5 661 Условный экстввмум (ивголономныв связи) 183 при тех же условиях. Отсюда, выделяя из интервала (а, Ь] интервалы, в каждом из которых или одна из р„, о, отлична от нуля или обе одновременно тождественно равны нулю, мы можем заключить, что для этих участков кривой (в, соответствующие 1, можно определить, эти участки ць будут удовлетворять 'системе уравнений (61). Постайовка общей задачи Лагранжа.
Приведенный выше метод без всякого труда может быть распространен на задачи более общие. Пусть, например, ищется экстремум ийтеграла ь (» Уп Уе1... У~~~' У1 Уя ~ . 1~е ) ах при условии, что все линии класса 'допустимых линий удовлетворяют системе й диференциальных соотношений: вг (х, у„уг,..., у„; у,', уг',..., у„') = 0 (/ = 1, 2,..., к) и некоторым условиям на концах в количестве 2п+й.
Подобно разобранному простейшему случаю можно доказать, что если искомая кривая (ь существует и если вдоль кривой один изглавных определителей функциональной матрицы ! = 1, 2, ..., й (1=1, 2,..., и) у =~, (», ад, аг,..., а „+ь) будет содержать 2п+к произвольных постоянных. Согласно теореме искомая кривая (в принадлежит этому семейству, и для ее определения остается найти значения постоянных а,. Для этой цели нам, очевидно, достаточно воспользоваться условиями, в концах которых согласно допущению имеется ровно 2п+й. Если число условий на концах больше, чем 2п+й, то задача, вообще говоря, неразрешима. Если число условий на концах меньше 2п+й, то мы можем или подбирать остающиеся произвольные постоянные а, так, чтобы для этих значений интеграл г', взятый вдоль (ь, принимал экстремальное значение, или, как это мы делаем в $54, искать методом вариаций дополнительных условий — обобщать понятие трансверсальности.
все время отличен от нуля, то (в есть интегральная кривая следующей системы и+к диференциальных уравнений: Н вЂ” — Н ° =0 (1=1, 2,..., и), ьч Пх е' (63) ох=О (г'=1, 2,„., й),1 где Н= Г+ ~~~, 1., аг и где Хг суть некоторые функции от х. Эта теорема, как и в разобранных ранее простейших случаях, позволяет фактически определить искомую кривую, если предположить, что искомая кривая существует. В самом деле, система (63) нам дает и+й диференциальных уравнений, из которых й первого порядка и и второго порядка. Следовательно, общий интеграл этой системы: (гл.
К 184 тслпвный зкстезмкм Указаннаи задача носит название общей задачи Лагранжа. Этой задачей мы подробнее займемся во втором томе. Задача. По какой замкнутой кривой должен двигаться самолелг. имеющий собственную скорость оа, чтобы з промежуток еремени Т облететь наиболыиую илощадь; лредгголагается ари этом постоянное направление и настоянная величина скорости ветра г). Пусть ось Ох совпадает со скоростью ветра. Обозначим через «угол между продольным направлением самолета и осью Ох, через х(г), у(г) — координаты, изображаюшие положение самолета в момент г.
Скорость самолета о есть геометрическая сумма его собственной скорости оа и скорости ветра а. Так как компоненты о равны х' и у', то: х~ = оа соз «+ а, у' = оа 5!и «, (64) Плошадь, ограниченная замкнутой траекторией самолета, выразится: т 1 Р— г (ух' — ху') йх. 2,/ а (66) (66) (67) Р„= 0 или — Л,аша+Лзсоз«=0. Из (67) и (67') следует: 2х+ Сг = Лг 2у+ С! = — Л!. (66) (69) Путем параллельного переноса начала координат можно добиться, чтобы постоянные С, и Сг в выражениях (69) для х н у стали равны нулю; тогда ! 2' 2' (70) Перейдем к полярным координатам.
Обозначим через г= у'х~+у~ и е радиус- иектор и аргумент точки (х,у), изображающей положение самолета в некото- рый момент времени. Так как !К у = — г у х' то из (70) получаем: Л! !82 = — — '. Л,' (71) г) Эта задача'принадлежит академику С. А. Чаплыгину. См. В ет ч и яки н, Диаамика полетов. Наша задача сводится к нахождению максимума (66) при двух условиях (64). )(ля этого нам надо найти безусловный экстремум от интеграла 7 У (ухг — хуг — Л! (хг — оа соз « — а) — Л (уг — оа з!и «)) лй а здесь искомые функции! х(г), у(г), « = «(г).: Составим для них уравнения Эйлера.
Обозначив через Р подинтегральное выражение для (66), имеем: й й Р— — Р ° = 0 илн — у' — — (у — Л,) =О, «йг « йг Р— — Р>=0 или х' — — ( — х — Л)=0, ат йг (67') 185 6 66) тсловный экстввмхм (нвголономиыз связи) Из (68) следует: Хэ !Иа==, Х! ' (72) Сравнение (71) и (72) лает нам: я к=9+— 2 (73 И ВСПОМНИВ ЧТО Х вЂ” г соэ т Умножим первое уравнение на х, второе на у у =гппч„получаем после почленйого сложения: хх'+уу' = ах = аг сов З = аг э!пи или: — — (ха+уз) = й 2 пт 1 П с~ 2 Вт и'! = — а — гэ = г — г аг э!п э Пользуясь формулой (64), имеем пг я иу ~а о, пг ' и г= — у+С. (75) оэ Это есть уравнение конического сечения с а Черт.
ЗО. фокусом в начале координат. Так как — из оэ смысла задачи нужно считать меньшим единицы (скорость самолета должна превышать скорость ветра), то уравнение (75) дает нам эллипс с эксцеита риситетом — н большой осью, направленной по оси Оу (черт. 30). оо Итак, кривая максимальной площади облета есть эллипс с большой осью, перпендикулярной направлению ветра, с эксцентриситетом, равным отношению скорости ветра к скорости самолета, причем направление самолета должно быть перпендикулярно радиусу-вектору эллипса.
Связь между изопериметрнчесиой задачей и задачей Лагранжа. Изопериметрическую задачу можно свести к задаче Лагранжа '). Пусть требуется найти экстремум от интеграла ь з — /(х,уп у!',у!", ..., у!!а!, у;,у ',..., у;!"'1,,у„, у„'„.. „у„!ьм!) Пх (7Г) а при соответственных условиях на границе и дополнительных условиях ь К,= ~ Г,(х,у„у,',..., у„,у„',...)Ых=у, (!'=1, 2,..., и).
(77) и Обозначив через Ч"г(С) = / т, с(х (1=1, 2,..., ш), (78) т) Задача же Лагранжа к нзопериметрической залаче пе сзодктся. Направление самолета ортогонально радиусу-вектору. Подстановка (73) в (64) приводит к следующей системе: х' = — оо э!п й+ а, У' = оэ соз 4. (74) [гл. 1Х 186 условный экстРемум мы имеем: Ч",'(х) = р,(х, у„у,',..., у„, у„',...); (79) причем Ч.',(а)=0, Ч',(Ь)=1, (1=1, 2,..., т). (80) Итак, наша изопериметрическая задача эквивалентна задаче Лагранжа: найти систему и+ т функций: у„у,..., у„; Чгп Чгя,..., Чг, связанных соотношениями (79), удовлетворяющих соответственным условиям на границах для функций у, и условиями (80) для функций Ч"„такую, чтобы она лри заданных условиях реализовала экстремум интеграла Согласно методу Лагранжа наша задача сводится к отысканию безусловного экстремума от ь У (Р— Хл (Ч" — РИбх а тде Х,(х) — некоторые функции; г< и Г не зависят от %", и их производных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
