Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 32
Текст из файла (страница 32)
удовлетворяла условию (33). Пусть, например, с„ф О. Тогда, при достаточно большом и, интеграл (34), взятый по интервалу ~хе, хе+ — 1 при нашем подборе йу(х) отрицателен', если сэ тоже отлично от нуля, то тем же свойством облая1 дает и интеграл по интервалу ~х„х, + — „~. Во всяком случае, вторая вариация 3аО стала отрицательной, тогда как для минимума она должна быть неотрицательной.
Итак, выполнение требования Н„,„, )~ 0 необходимо для того, чтобы функция у(х) реализовала минимум; наоборот, требование Нке,.( О есть необходимое условие максимума. Формулируем доказанную теорему: ТЕОРЕМА ЛЕЖАНДРА. Если криеаяу=у(х) даетуслоеныйминимум интегралу Л э'= / р(х, у, у') ах а 6 63) 169 УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ В самом деле, пусть найдется элемент ае+Ь многообразии в.
для которого: дэ (а,; Ь) = — св < О. На прямой ае+И имеем: 'Р (ао сЬ) = сэР (35) (35') Теорема доказана. й 63. Условный экстремум Постановка задачи на условный экстремум. В 9 50 мы рассмотрели экстремумы функционалов, принимая за класс допустимых линий совокупность пространственных кривых, соединяющих или дее данные точки или точки заданных линий. В приложениях к геометрии и механике имеют также большое значение задачи, когда за класс допустимых линий принимаются кривые, расположенные на данной поверхности или для случаи многих неизвестных функций„расположенные на некотором многообразии. Соответствующие вариационные задачи носят название задач ни условный экстремум. Методика и главные идеи этих рассмотрений полностью выявляются, если рассмотреть простейший случай подобных задач. Постановка задачи.
Среди всех кривых: у=у(х), в = в(х) класса С„соединяющих две денных точки А и В и рисиоложенных ни данной поверхности (39) е(х, у, х) =О '), 1) Поверхность мы будем предполагать без особых точек, в соответствии с этим будем предполагать„что При достаточно малом с каждому элементу прямой аз+ сЬ отвечает элемент Ь многообразия М такой, что: Ь=а,+уЬ+, г,а„ (36). с=с где а, обозначают й фиксированных элементов, с, суть величины высшего порядка сравнительно с й Так как йо=— О в точке ае, то у(Ь) — у(а) = йа(а;, сЬ+~р1,ад+в = = — гаса+ ~,'„иА+'Р1,эйег(ае; а,)+ в, (37) где ~е( есть величина высшего порядка сравнительно с Р, Ь, есть значение билинейной формы, отвечающей второму диференциалу.
Из (37) видно, что главная часть разности у(Ь) — у(а) есть — сЧа, и при достаточно малом 1 /(Ь) — у(а) (О. 1гл. 1Х тсловный экстввмтм 170 определить кривую, вдоль кооюрой интеграл Уг У = /гР(х, у, я, у', л') дх (40) принимает экстремальное значение. Эта задача может быть без труда редуцирозана к простейшей задаче иариационного исчисления с одной неизвестной функцией. В самом деле, решая уравнение (39) относительно л и вставляя полученные выражения к и г' в функцию р, мы получим под знаком интеграла функцию, зависящую только от х, у, у'. Такой путь, принципиально возможный, является во многих задачах практически плохо реализуемым, ибо пря его осуществлении приходится диференцировать функцию, заданную неявно.
По этой причине для решения втой задачи применяется прием, аналогичный соответствующим приемам, которыми мы пользовались при рассмотрении задач на условный экстремум функций многих переменных. Метод Лагранжа. Для непосредственного решения поставленной выше задачи Лагранжем был предложен метод, получивший название мвлюда неопределенных функциональных множителей Этот метод состоит в следующем. Строим функцию: Ф(х, у, л, у', г')=р+Л(х)р, где Л(х) есть неопределенная функция от х. Ищем безусловный экстремум интеграла У,= Фдх.
Выписываем для этой задачи диференцнальные уравнения Эйлера: Ф вЂ” — Ф =Р+ЛР— — Р =0 ~ а а' в йе е' е е Ых е' Ф,— — Ф, =Р,+Ло, — — Р, =0. й (41) К системе (41) с тремя неизвестными функциями: у(х), л(х), Л(х) мы добавляем данное соотношение: ь(х, у, л)=0. (42) у=у(х), в=к(х) дает безусловный экстремум У, и принадлежит поверхности ~у=0, то эта кривая дает условный экстремум интегралу е. Решение трех уравнений (41) и (42) будет содержать две произвольных постоянных, которые определятся из начальных условий. Для того чтобы оправдать это правило, установим дза факта: 1.
Если существует множитель Л (х) такой, что кривая $631 ьсловиый эксттвмьм 2. Ясли кривая .у = )'(х), л = з(х) 3~=(" — й" )Р "+(" — '"")1 "= =(Р— (т Р ) ог+(Р— ~ г )оз=О. (43) Найдем зависимость между о, и ая из условия, что вариация допустимая. В каждой точке должны иметь: — ду+ — 3» = О дт дт ду дз или, интегрируя по х в тех пределах, где ду, 3з отличны от нуля, и отбрасывая бесконечно малые высших порядков, получии: -л-а + -~ оя —— О. ду т дз (44) Разберем сначала случай, когда вдоль кривой — фО и -)ьфО.
В этом случае, сравнивая (43) и (44), получим: г( уз — -о~ Р„, у,— -„-~ у,, ггэ дв лу дл т) Мы будем при этом вести вычисления, сохраняя лишь главные бесковечно малые. Сделать вывод вполне строгим можно следующим образом: зе всех формулах вместо отброшенных бесковечао малых поставить ео ез,... В таком случае выражение (45) будет зависеть от этих еь Предельный переход, аналогичный 3 60, 61, нам даст окончательное уравнение (45). т) допустимой мы называем ту вариацию, при которой кривая остается иа поверхности т(х, у, з) = О.
дает условный экстремум интегралу 1, то существует множитель 1(х) такой, что эта кривая есть экстремаль задачи на безусловный экстре»у» интеграла ум Первый факт очевиден непосредственно. В самом деле, если кривая Г дает безусловный экстремум интегрзлу Уп то, значит, она дает экстреыальное значение интегралу У, среди всех кривых, соединяющих две данные точки, в частности дает экСтремальное значение среди кривых, лежащих на поверхности р = О, но для этих кривых подинтегральные выражения У и У, совпадают при любых ).(х).
Для доказательства второго факта воспользуемся методом вариаций '). Допустим, что кривая Г: у =у(х), л =л(х) дает условный экстремум. Тогда при всех долустимых з) вариациях этой кривой вариация интеграла У должна равняться нулю. Произведем вариации ду и Зз в произвольной точке (х, у (х), х(х)); тогда: 172 [гл.
1Х колонный экстввмгм Обозначая это общее отношение через — Х(х),— вдоль кривой это отно- шение будет, очевидно, функцией только х, — получим: à — — Г.+1 — =О дг ) а,7х а' ду — 1 (45) Построенная нами система уравнений есть система уравнений Эйлера, определяющая экстремаль для безусловного экстремума интеграла Особые случаи. Заметим прежде всего, что вдоль кривой не могут одновременно обратиться в нуль — и †. В самомделе, так как — фО, дт дт дт ду да ' дх то в случае одновременного обращения в нуль производных — и— дв дт ду да касательная плоскость будет перпендикулярна оси Ох; следовательно, одна из производных у'(х) или г~ (х) обязательно обратится в бесконечность, чего быть не может в силу основных условий, наложенных на класс допустимых линий.
Допустим теперь, что вдоль кривой — =О дч д > (46) в этом случае вариация йу произвольна, а да= О, и система уравнений сведется к одному: Є— — Г„= О. Их (45') Кроме того, в силу (46) функция ~7 будет зависеть только от х и вт у(х, г)=О. (47) и (х, у) = О. Таким образом в разбираемом случае дело сводится к решению уравнений (45) и (47), которые получатся из правила Лагранжа, если положить Л(х) = О. Геометрически это значит, что поверхность — носительница класса допустимых линий, есть цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси Оу.
Случай — = — О аналогичен разобранному, здесь все сводится к дч да решению уравнений: ТРАнсввэсальиость $ б4] ф 64. Трансверсальность Обобщение условий трансверсальности. Дадим в заключение теории условного экстремума интегралов решение задачи, когда за класс допустимых линий принимаются кривые, принадлежащие данной поверхности ~у=О (многообразию) и соединяющие данную точку А с произвольной точкой данной кривой Г: у=у(х), г=д(х).
При этом мы предполагаем, что' точка А и кривая Г принадлежат данной поверхности. Пользуясь методом Лагранжа„ определяем прежде всего семейство экстремалей задачи; найдем условный экстремум интеграла: У= / Р(х, у, а, у', г') 1х ~р(х, у, а)=0. при условии Искомое семейство экстремалей определится системой уравнений: Ф,— г Ф, =О, д где положено: Ф=Р+),~~. В силу рассуждений ф 54 искомая кривая будет принадлежать построенному семейству, зависящему от двух произвольных постоянимх.
Одно соотношение между постоянными мы получим из условия прохождения искомой кривой через точку А. Найдем условие, которому должна удовлетворять искомая экстремаль в свободном конце. Необходимое условие экстремума заключается.в обращении в нуль первой вариации. Вместе с тем для обращения в нуль первой вариации разбираемой задачи достаточно, чтобы обратилась в нуль вариация интеграла: У,= / ФИх н что на поверхности э = О Ф = Р, получим в свободном конце условие: (~'(х) — у') Р'„+(л'(х) — а') Р;+ Г= О. й4ы показали, что это условие достаточно для обращения в нуль первой вариации.
Легко показать, что это условие будет также необ- при переходе от искомой кривой к произвольной бесконечно близкой кривой, соединяющей точку А с тойкой кривой Г. Отсюда, применяя условия трансверсальности задачи на безусловный экстремум в свободном конце, получим: (У' (х) — у') Ф„+ (4' (х) — а') Ф, + Ф = О. Замечая, что [гл. 1Х УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ходнмым; .для втой цели достаточно пересмотреть данный нами выше вывод условий трансверсальности в случае задачи на безусловный экстремум и заметить, что там можно ограничиться таким варьированием, чтобы после вариации кривая продолжала оставаться на поверхности.
Введение криволинейной системы координат. Мы дали выше общий метод для решения задач на условный экстремум, сведя эту задачу на безусловный экстремум, увеличивая при этом число неизвестных функций. Во многих вопросах, однако, бывает возможно притти к цели быстрее, вводя на данной поверхности (на данном многообразии) криволинейную систему координат. Итак, пусть ишется экстремум интеграла при условии '~ь(х, у, е) =О. Представляеи уравнение поверхности в параметрической форме: х=у,(и, о), у = А (и > о)> =ми, .) н принимаеи параметры и, о за криволинейные координаты на поверх.- ности. Произведем теперь под знаком интеграла е замену переменных, вводя вместо х, у, х координаты и и о.
Имеем: ах = — би + — бо = ( — + — о') аи дгт дг1 г дрт дЯ~ дУТ дУа о, дУа + дрь ди до, ди до див до + — о' — + — о' ди до Положим: Ф(и, о, о')= р(х, у, з, у', е') (Х'+ — 'о'), где справа вместо х, у, е, у', г' вставлены их выражения через и, о, о'. Интеграл е' примет вид: еь е = / Ф(и, о, о')би. и, Наша задача привелась к простейшей задаче вариационного исчисления. Условие ортогональности.
В качестве примера на применение этого метода решим такую задачу: каким условиям должна удовлетворять функция Ф, чтобы условие трансверсальности свелось кусловию ортозональности. Заметим, что эта задача не совпадает с решенной нами выше, ибо в случае произвольных криволинейных координат условие ортогональности будет отличаться от обычного оо,' = — 1. Для решения поставленной задачн выбереи сначала на поверхности специальную изо термическую, систему координат 1, 'ц. $ 66) ' птимвнвния к твовии гводвзичаских 175 Пусть в этих переменных подинтегральное выражение примет вид: йг(Е Ъ 1')4Е. В втих координатах, как известно, условие ортогональности имеет вйд: У"1 +1=0, где у(Е) есть уравнение данной кривой.
Следовательно, применяя добы- тый выше результат (частный случай, когда «=О), получим: %'(Е, ъ, т1')= У(Е, 1) T1+т1'а. Для того чтобы выявить структуру функции Ф в случае любой сис- темы (и, о), достаточно перейти от Е, о к переменным и, и. Заметим, что диференциал дуги Нг кривой на поверхности р= О в случае изотер- мической системы координат имеет вид: Ига=А(Е, о) (ЫЕо+сц~а); отсюда 1У (Е т1) а% = У (Е о) У ЫЕа + Щ' = У, (Е, н) па, где У„ = А „ Переходя к системе координат и, о, таким образом у получим: Ф(и, о) гЕи = Уа (и, и) о(г = Уа у' Е+ 2Ро'+ Оо'Ма, Ф(и, о)= Уо (и, о) у' Е+ 2Ро'+ Оо'а, $ 65. Применение к теории геодезических Отыскание геодезических.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
