Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 31
Текст из файла (страница 31)
(гл. ))ь УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 162 П. Еслй линейное многообразие Е'. 1',(а)=0 (1=1, 2, ..., Н) (21) заключается в линейном многообразии г.е: ье(а)=0, (22) то существует тикая система лоапоянных Л„Л, ..., Л„, что ч 1,(а)+~ Л,у,(а)с— т О.
(23) 1=! В самом деле, всякий элемент Ь из Е' по-предыдущему равен: + ~~ гьаьэ 1=1 ГДЕ а' НЗ г.', И, СЛЕДОВатЕЛЬНО, ПРИНаДЛЕжИт Ю' Ь. 1.е, а ЭЛЕМЕНТЫ а„а, ..., а„линейно независимы и лежат вне г.'. Поэтому в силу (21) и (22): ч 1 (Ь) = ) гьуз(а,) 1=1 () =1, 2, ..., и), (1'=1, 2, ..., Н), гь(а) = О в точке а, если совокупность точек ае + Ь из Е удовлетворяет относительно Ь системе линейных уравнений б11(ае',Ь)=0 (1=1, 2, ..., Л).
(24) 2. Точка ае из М называется обыкновенной точкой, если ни одно из уравнений системы (24) не есть следствие остальных. 1) Аналитически заключаемость многообразия У.' в многообразии ье означает то, что уравнение (22) есть следствие уравнений (21). ФУнкции У, РассматРиваемые как линейные фУнкции от Т„гг, ..., г„, в силу наших условий линейно независимы, следовательно, определитель ~1 (а,) ~ ф 0 (1, )'= 1, 2, ..., Л). РассматРиваи се(Ь) как линейнУю фУнкцию и пеРеменных г„ мы в силу результатов из теории линейных уравнений имеем: 1,+'5'„Л,У,=О, что и требовалось доказать. Обратная теорема о том, что из условия (23) следует заключаемость Е' в А~, очевидна '). ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
1. Будем называть линейное многообразие Е, ли- нейным касательным многообразием к многообразию М: $61] пглвило множителей зйлвгл*ллггаижа 163 Пряная а = а„+ гЬ, где ае принадлежит М, а а+ Ь вЂ” касательному многообразию й~, называется касательной прямой к многообразию М в точке ае. В силу свойства 1 сушествует и линейно независимых влементов Ь„Ьз, ..., Ь„из а, таких, что йУ'(~~;Ь,)фО (1=1, 2, ..., ) йУЕ ( а;, Ь+ ~~~ Г,Ь,) = ~~~~ ~Ге ~Ц(ао' Ь,). 4= ь (26) Так как ае есть обыкновенная точка М, то ~ ф~ (ае; Ь,) ~ ф О ',(г', 1 = 1, 2, ..., и). (27) Требование, чтобы,'.
точка а„+ йй+ ~ Г,Ь, принадлежала М внести с ае, в силу (25) и (26) приводится к условию: ]~~1<Ц(ае', Ь,)= — ег (/=1> 2, ...,и). (28) Вследствие неравенства нулю детерминанта (27) для определения 1, систему уравнениИ можно ваиеинть эквивалентной еИ системой; Ге тд (29) я что пространство е. распадается на прямую сумму линейного много- образия Х и и-мерного линейного пространства сбазисомЬ„Ьз,..., Ь„.
ТЕОРЕМА 1. Для любой касательной к М а точке ае прямой а = по+ ~Ь при любом достаточно малом по абсолютной величине 1 найдется система чисел 1, гз, ..., Г„, зависящих от г„таких, ч'го: 1) топса аз+ 1Ь+ ~ 1,Ь, принадлежит М, «=т 2) г, суть величины милые высшего порядка сравнительно с Ь Геометрически это означает, что достаточно близкие к ае точки касательной прямой удалены от многообразия М на величину высшего порядка сравнительно с их расстоянием от точки касания а .
Обратии внимание на то, что в силу определения диференциала ($41): ~~(ае+ гЬ+ ~~~ ~(Ь ) — У,'(ае) = ~Х1; (а,: гЬ+ ~1' $Ь 1+ е;, (25) где е~ суть непрерывные функции переменных Ь Фн Г„..., г„, прини- маюшие значение высшего порядка малости сравнительно с ~ гЬ+ ) 1,Ь, ~, т. е. сравнительно с наибольшим по абсолютной величине из аргументов г, Гы Гз, ..., г„.
далее, так как йУа,;Ь)=О (1=1, 2, ..., и), (гл. 1Х услОВный экотгзмум 164 ГДЕ т0 СУТЬ ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ От Егл В СИЛУ СВОИСтВ аз %='т(й гп .. г„) вать непРеРывнаи фУнкции от г, гп гв, ..., г„, пРичем значениЯ т1 сУть величины высшего порядка малости сравнительно с наибольщим из чисел ..., 11„1. Если зсе 11,1<111, (30) то 1 т1=ат111 (1пп а, = О), При 1г1, меньшем некоторого фиксированного числа ге, 0(а,( — —. 1 (31) Итак, будем в дальнейшем полагать г (ге. Фиксируем г (1 г1 (1 ге1) и рассмотрим в и-мерном пространстве (Ги гв, ..., г„) куб: 1г,1(111 (1=1, 2,, и). Каждой точке ТЦ, га, ..., 1„) этого куба отвечает точка $'(г,',га',..., Г„'), где г<'=т1,(г, г„..., г„), причем по построению 1г,'1< — 1г1.
Когда точка Т пробегает весь куб, соответствующая точка У пробегает некоторый континуум А, заключенный в меньшем кубе: 11,'1< 111 (1=1, 2, ..., ). Преобразование, относящее каждой точке Т соответственную точку У, отображает непрерывным образом куб 1 г,1 (1 г1 на его замкнутую часть А. В силу теоремы Брауера (Вгапжег) при непрерывном отображенйи выпуклого тела в и-мерном пространстве на его правильную часть обдэательно существует неподвижная точки, т. е. точка, переходящая в самое себя (см.
часть 1, дополнение !11). В применении к нашему случаю куб 1г,1 (1г1 должен содержать точку Т (г„гж ..., г„), совпадающую с соответственной точкой Г(ть, т1з, ..., т~„), т. е. система уравнений (29) имеет решение и притом удовлетворяющее неравенству: 1гт1(1г1 Д=1, 2, ..., и).'.(30') принадлежит М. Теорема доказана.
Обобщение правила множителей Эйлера-Лагранжа. Докажем теперь теорему, обосновывающую правила множителей Эйлера-Лагранжа. Равенство (31) показывает, что числа ГО получаемые при решении 'этой системы, обладают высшим порядком малости сравнительно с г. Так как уравнения (29) эквивалентны системе уравнений (28), то точка %6Ц пглвило множителей эйлевл-ллгглнжл 165 ТКОРВМА 2.
Если в обаисновенной точке аа многообразия <<й в,(а)=0 '(<'=1, 2, ..., л) досгиигается экстремум функции Е на Ж, то существует сионами констант Л„Л, ..., Л„таких, что бЕ(ае', й) ~-,'5', Л, Ь, <а,', й) = — О. <=< В этом заключается обобщение правила множителей Эйлера-Лагранжа. Диференциалы предполагаются линейными функциями аргумента Ь. Сначала докажем, что линейное касательное многообразие Е к М в точкеае заключенов касательном (тоже в точке ае) многообразии: бр(а; й)=0 к многообразию Е(а)=Е(ае) (см. свойство 2' линейных многообразий).
Пусть имеет место противное: существует элемент ае+й многообразия Е , для которого бГ(ае; й) = с ф О. Рассмотрим касательную прямую к Ай =а,+ 1й. Из предыдущей теоремы следует, что для всякого достаточно малого по абсолютной величине ~1~ можно подобрать и чисел 1<=А< (<'=1, 2, ..., и) таких, что!ние< — — О, а точка ае+ Ж+~) 1<а< при<.+а надлежит Ж. Имеем: Е (сга+ лй+ ~~~~~ ~ьй ) — Г (ае) = с<Е ( ае; Лй+ ~~ 1<й<) + ай где а стремится к нулю вместе с Е Далее бГ( ае; 1й+ )~~1,й,) =1ЙЕ(ае; й)+ ~~1 1г',ЫГ(ае; й,) = = С ~с + ~~1~~ а< бр(ае; й ) ~ .
Отсюда: Г(а,+Сй+Я 1,й) — Г(а,)=(с+ ')ь, где а'=в+ ) а<НЕ(ае; й,) стремится к нулю вместе с Е Так как с ф О, то знак разности Г ( а + %+~~1 Щ) — Е(ае) совпадает со знаком сй и, следовательно, это приращение функции Г будет принимать разные знаки в любой близости точки ае в зависимости от знака й Отсюда следует, что ае не есть точка экстремума. Теорема доказана '. Обоснование метода Эйлера для решения обобщенной изопериметрической задачи. Непосредственным следствием доказанной нами теоремы является обоснование метода Эйлера для решения обобщенной изопериметрической задачи.
<) См. Л. Люстериик, Об условном экстремуме <руикциовааов, Мат. сборник, т. 41, выв. 3. 1гл. 1Х 166 условный зкстеемум Пусть даны на линейном функциональном пространстве Я функционалы: У, К„Кз, ..., К„. Не задаваясь аналитическим видом втих функционалов', положим, что они на нашем пространстве Я обладают вариацией. При этих условиях получим теорему, являющуюся обобщением теоремы, доказанной в $16. ТВОРВМА 3. Пусть для функции у=у(х) вариации: 3К(у) (1=1, 2, ..., л) 'линейно независимы.
Для того чтобы функция у (х) реализовала вкстремум в (у) при условиях: К(у) =~,=соней (1 = 1, 2, ..., л) необходимо, чтобы нашлись и посгиоянных чисел: 1ы Ха, ..., 1„ тихих, чпю 3[.ЦУ)+')', 1,К,(у)~=О. (32) Вели, в частности, функционалы 1 и К, заданы на С, в виды ' ь ь У= /Р(х,у,у')йх, К=/ 0,(х,у,у')йх (1=1, 2, ..., л), в а то условие (32) примет вид: 6(У+ "~)~~ 1К)= /(~Уӄ— ~~~ П„) буй О где н=р+'~~1а,. В силу основных лемм зариационного исчисления в атом случае получаем снова классическое правило Эйлера-Лагранжа для общего случая. й 62. Условие Лежандра г'= / Р(х,у,у') Их, а при условии ь К= / Г,(х,у,у') йх=! к и при начальных условиях: У (и) = Уо У (о) = Ук (33) Необходимое условие Лежандра для простейшей задачи вариациоиного исчисления может быть без труда распространено на 'случай изопериметрической задачи.
Мы ищем минимум функционала ь (гл. 1Х УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 168 Соответственным полбором отношения с,: сг можно добиться того, чтобы кривая у, =у,(х)=у(х)+ау(х) лри условии ь /',(,у, У) а то вдоль кривой у=у(х) имеем: где 1 — константа Эйлера изонериметрической задачи. Обобщение на случай любого функционала. Вернемся к рассмотрению предыдущего параграфа. Мы ищем минимум функции у (а) на многообразии Ф, заданном в линейном пространстве г. системой уравнений: (ь=1, 2,...,л).
е,(а)=О Пусть в точке ие этого многообразия удовлетворяется условие: й [У+.'~',)че] =О. Н=У+ ХЛОР Обозначим: На многообразии гч' У совпадает с минимум у' на Ф, можно заменить ТЕОРЕМА. Для того чтобы на )ч, необходимо, чтобы е этой Н, и вопрос о том, дает ли точка ао вопросом, дает лиаз минимум НнаК. точка а,> была точкой минимума У точке Форма амН(а; ег) была неотрицательной на линейном многообразии Е~, касательном к Ф е гночке а,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
