Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Во второй 'задаче ищется также минимум интеграла при условии, что вдоль каждой кривой класса допустимых линий интеграл ь К, =я / узпх должен иметь заданное значение. В качестве третьего примера укажем на разобранную нами в з 30 задачу о равновесии тяжелой цепи. 9 60] изопвгимвтгичвскья задача 149 Все эти примеры приводят нас к следующей общей проблеме: Постановка задачи. Ланы две функции г (х,у,у') и 0(х,у,уг). Среди всех кривых у=у(х) класса С,, вдоль которых интеграл ь К= / 0 (х, у, у') с(х и принимает заданное значение, определить ту, вдоль которой интеграл У= ( Е(х,у,у')ах принимает экстремальное значение. Имея в виду общие установки и понятия, данные в предыдущей главе, мы ставим здесь задачу найти основные необходимые условия, которым должна уловлетворять искомая кривая, так, чтобы, зная заранее, что кривая существует, можно было применением искомых условий ее фактически определить.
Прежде чем переходить к решению поставленной задачи, сделаем несколько гипотез общего характера, необходимых при дальнейших выводах: 1'. Функции Г и 0 мы будем предполагать обладающими непрерывными частными производными первого и второго порядков при а (х ( Ь и при произвольных значениях переменных у, у'. 2'. Мы будем предполагать, что искомая кривая не является экстремалью для интеграла К.
Скажем несколько слов в оправдание гипотезы 2'. Для того чтобы задача имела смысл, мы должны потребовать, чтобы данное значение интеграла К находилось между экстремальными значениями этого ицтеграла, т. е. не являлось экстремальным (в примере с тяжелой цепью и в первом из приведенных выше примеров мы должны были естественно предпдлагать, что интеграл К вЂ” длина кривой — строго больше, чем расстояние между данными точками). Таким образом там, где экстремаль дает строгий экстремум, наше требование необходимо.
Случай, когда искомая кривая есть экстремаль интеграла К без того, чтобы давать интегралу У экстремальное значение, мы назовем особым н разберем его отдельно. Этот случай вполне аналогичен соответствующему случаю в теории условного экстремума функций многих переменных, когда в точке, где функция достигает условного экстремума, частные производные от левых частей условий: о~ (ую уг, ° у„) = аг обращаются в нуль. Решение задачи. Подход к решению.
поставленной задачи лается следующей теоремой. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА. Если кривая у=у (х) дает экстремум интегралу У = ~ Е (х, у, у') ах а [гл. 1Х гсловный экстгамвм 450 лри условиях: К= / О (х, у, у') Их = 7, у (а) = а„у (Ь) = Ь„ а и если у=у (х) не есть экстремаль интеграла К, то существует константа Л такая, что наша кривая у =у (х) есть экстреяаль интеграла = / Н(х, у,у') ах, где Н= Р+ЛО.
Покажем сейчас же, что если заранее известно существование искомой кривой, то применением теоремы Эйлера эту кривую можно фактически определить. В самом деле, интегрируя уравнение Эйлера для функции Н, получим общий интеграл, зависящий от двух у=ею произвольных постоянных ин- теграции а, [т и от неизвест- ного параметра Л: У = 7" (х, а, Р, Л) .
В силу теоремы Эйлера искомая кривая принадлежит этому семейству. Остается определить а, 'р, Л. Для этой цели достаточно воспользоваться условием К= 7 и условием, что кривая Черт. 27 проходит через две данные точки А и В. Перейдем к выводу теоремы Эйлера. Итак, допустим, что кривая у =у (х) Лает экстремум э и что эта кривая не есть экстремаль для интеграла К. Для определенности примем, что этим экстремумом является минимум интеграла э при условии К= 7.
Возьмем в интервале [а, Ь) две произвольные точки х, и ха (черт. 27) и найдем приращение функционала э', когда у (х) проварьирована в окрестности точки х, и точки х . В силу результатов $ 46, 47, обозначая через Ш искомое приращение 7, получим: +е) /3 уЫх+ + ез~ / 6 у Ых = + 1 +Ь-Аг,1 +6.1" где а,= /3 уЫх, аа — /3 уИх и где е, и аа стремятся к нулю вместе с о, я о . 131 ф 60] изопвгимвтгнчвскья зьдьчь При проиавольных вариациях 3 у и 3 у кривая у=у, (х)=у (х)+3 у+3 у, вообще говоря, не будет принадлежать классу допустимых линий.
Для того чтобы вариация была допустимой, необходимо и достаточно, чтобы К(уг)=К(у), т. е. чтобы: йк= к (у,) — к (у) = $[а — — а„,1 +йа.— — '-а,'1 + 4 =О, (1) а„ 1= ю т+ е '1.. (2) а„ [ й где е' стремится к нулю вместе с о,. Полагая: [ и заменяя в выражении Ы площадку оа через о, из (2), приращению Ы можно придать вид: А/=~[Р'„— — Р„1 +1 [а„— — а 1 + е~о,, где е стремится к нулю вместе с о,. Так как по условию кривая у= у (х) дает минимум Х, то, следовательно, йу)~0 при любой допустимой вариации, т.
е. при любом значении а,,(достаточно малом). Следовательно, при любом значении х вдоль кривой у=у (х) должны иметь: р„— — „'"'.р„+1(а„— ~~ а„.) =о. (3) Теорема Эйлера доказана. Условная вкстремиль. Уравнение (3) дает 'полное решение также следующей задачи: среди всех кривых, соединяющих две данные точки и для которых интеграл К принимает заданное значение, определить кривую, при вариации которой йг =О, коль скоро 3К=О. где а,' н ез' стремятся к нулю вместе с о, и о . Выберем теперь точку хя так, чтобы: [а,— ~- а„,~ =~ о; такая точка ха существует, ибо у=у (х) не есть экстремаль для К. .В таком случае условию (1) можно придать вид: [гл.
1Х 152 условный экстРвмум Назовем условной экстремалью всякую кривую, которая будет решать пойтавлениую задачу (при произвольных фиксированных концевых точках) и при произвольном фиксированном значении интеграла К. ТЕОРЕМА. Уравнение (3) есть условие, необходимое и достаточное для того, чтобы кривая у=у (х) являлась условной экстремалью. Докажем сначала, что условие (3) достаточно. В самом деле, если кривая удовлетворяет условию (3), то 3 (э+ ЛК) =0 или 31 = — Л3К, а так как Л вЂ” произвольно, то из условия ЬК=О следует о/=О, т. е. кривая есть условная экстремаль. При доказательстве, что условие (3) необходимо, разберем от- дельно два случая: й 1) на всяком интервале 0 — — О, Ф О и у ас у' 2) существует интервал, который может совпасть со всем интерва- лом [и, д], на котором 0 — — О,= — О.
В первом случае необходимость условия (3) получается дословным повторением проведенного нами вывода формулы (3), путем варьиро- вания кривой в двух точках. Во втором случае на тех участках интервала [а, Ь), где 0„ — — 0„, фО, аналогично первому случаю, условие (3) сохраняет силу, а на тех участках, где 0 — — 0 — = О, вариацию кривой можно считать про- У ах У' извольной: равенство 3К= 0 выполняется тождественно, и, следовательно, ма этих участках должны иметь с" — — с" =О, т. е. условие (3) окав ех э' зывается также выполненным. Принцип взаимности.
Приведенные выше рассмотрения показывают, что изопериметрическая задача вариациоиного исчисления приводится к простейшей задаче для функции Н= с"+ Л0. Заметив, что от умно- 'жения подинтегральной функции на константу семейство экетремалей для интеграла останется тем же самым, мы можем функцию Н записать в симметричной форме: Н= Л,Р+Л,0, где Л, и Л суть константы. Такое представление функции Н нам показывает, что функции Р и 0 в выражении Н фигурируют симметрично. Если исключить случай Л, = 0 и Лэ — — О, то семейство экстремалей будет одно и то же, будем ли мы искать экстремум интеграла е при условии, что интеграл К сохраняет постоянное значение, или будем искать экстремум интеграла К при условии, что интеграл з сохраняет постоянное значение.
В этом заключается принцип взаимности в его простейшей форме. Если Ля=О, то Н совпадает с точностью до постоянного множителя с Р; условная экстремаль интеграла з будет совпадать с безусловной экстремалью того же интеграла, и эта экстремаль в общем случае, ф 60! изопвгнмвтгнчаскья задача очевидно, не будет условной экстремалью для интеграла К. Аналогично, если 1, = О, то Н совпадает с О, условная экстремаль интеграла К будет его безусловной экстремалью. Обобщения.
Разобранный выше метод решения простейшей нзопе- риметрической задачи можно легко распространить на случай, когда за класс допустимых линий принимаются кривые класса С„соединяющие две данные точки и удовлетворяющие к условиям: ь К,= ~ 0(0(х,у,у') с(«=1, (1=1, 2, ...,А), (4) а где функции б~б удовлетворяют обычным теоретико-функциональным усло- виям, а 1, суть константы. ТЕОРЕМА. Если кривая у=у (х) дает экстремум интегралу ь у= ~ Г(х, у, у') ах Р среди всех кривых нласса С,, удовлетворяющих условию (4), и если, кроме того, оиределитель а(х1 х,,„',хь)=(0е(0(хгу(х) уе(х)1 — Ое(0(х;у(ха),у'(х )) (1,У=1,2,...,Л) (5) не равен тождественно нулю, то существует к констант (1 = 1, 2,..., к) таких, что кривая у (х) удоелелгеоряет дш)Ьеренпи- альному уравнению т Н вЂ” — Н =О, д е а» е аде Н=Г+Л,РО)+ хаОО)+...
+Л„О'"1. Короче говоря: если у =у (х) есть условная экстремаль интеграла у и если А $ О, то она есть безусловная экстремаль интеграла ~ Нс(х. а П ри и е ч а н и е. Условие а (хн хь..., х„) ф 0 эквивалентно условию, что определитель Грамма дла функций Р Ц(0 'т П() (1=1, 2,..., Л) отличен от нуле, вли, что то же самое, ие существует постоянных си са,..., еь (~~~~с,ь)0) таких, что ~ с<Р,=О при а <х < Ь (см. й 22). В самом деле, если существует система констант с, Я с,а ьО), дла коюрых ~~~~ с, Р,=О, то, очевидно, определитель а (хи хь ..., х„) = 0 лля любых хь ха, ..., х„(а <х, <Ь; с =1, 2, ..., Л).
[гл. 1Х колонный зкстгкмто1 154 Пусть> обратно: а (хо хо, ..., х„) = О. Обозначям через 1 наивысший ранг матриц А (х„х, ..., хо) при всех системах значений хь В силУ гипотезы Ь =0 имеем 1( А: Г>Усохи „ <о> „ <о) <о) (а ~ х,< > ( з) (ЬЕ,=>.3 - ° А) есть система чисел такая, что матрица (о>) ) имеет ранг б и пусть Р (х ф)) Р (х (о)) ! (6) Р; (хт(о>), ".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
