Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 24
Текст из файла (страница 24)
а Согласно общей теории об экстремуме функционалов (гл. ЧП), если кривая у=у(х) дает экстремум функционалу У, то ЬУ== О 2 53) своводныв концы. слтчлй конца, пвгвмящлющ. по огдинлтв 121 когда за класс допустимых линий принимаются кривые класса С!: »=у(х), соединяющие данную точку А (с абсциссой а) и произвольную точку прямой, параллельной оси Орд к=Ь.
В этом случае вариация кривой в левом конце оу„должна равняться нул!о, н нз двух условий на концах у нас останется одно: (Р ).,=О. Произвольные постоянные а и 2 в общем интеграле уравнения Эйлера мы можем определить, решая совместно второе уравнение из (17) и уравнение г(а,а, р) у(а), где у(а) есть ордината данной точки А. Пример 1. Пусть дана точка А и вертикальная прямая ь, не проходящая через точку А.
По какой линии должна скатываться тя!какая точка, чтобы, отправляясь с нулевой скоростью из А, достигнуть ь в кратчайшее время? л Предполагая, по искомая линия плоская, по-" строим прямоугольну!о систему координат хО»: начало координат поместим в точку А, ось О» направим вертикально вниз, ось Ох пересекает прямую Е (черт.
17). При сделанной гипотезе искомая кривая будет лежать в плоскости хО». Пусть х = а есть уравнение прямой Е, в таком случае наша задача на основании формулы (3') 8 27 приводится к разысканию кривой, вдоль которой интеграл а )" г' 1+»'-',уг ./ У» Черт. 17. прлнимает минимальное эначеяие, причем за класс допустимых линий принимаются здесь линни классз С, соединяюя!ие начало координат с произвольной точкой ь. Согласно общей теории, если искомая кривая существует, то онз есть зкстремаль, т. е.
з силу 0 28 принадлежит семейству циклоид: х = г(0 — зшв)+С, »= г(1 — соъ 0), !де г и С вЂ” произвольные постоянные. Из условия, что кривая проходит через начало координат, и считая„что начальной точке соответствует 0 = О, получим, что С=О. Остается определить г. Для этой цели воспользуемся условием в конце. В нашем случае! я/ з у Следовательно, при х=о должны иметь»'=О: в правом конце искомой линии касательная к этой линии должна быть горизонтальна. Отсюда, принамая во внимание форму циклоиды, находим сразу яг= а.
Итак, окончательно искомая кривая есть: а а х = — (Π— ми а), » = — (! — соз 0). я к Пример 2. Балка со свободным концом. Балка АВ длины ! закреплена и конце А. Другой ее конец В свободен (черт. 18). На свободном конце В к балке приложена нагрузкз Р. Пренебрегая весом балки, определить форму ее равновесия. 122 ововцтенне пгостейшей задачи влгилциоииого исчисления [гл. ИП ~=~'Е-у ж.оч Потепциальнаа энергиз сил тяжести (весом балки мы пренебрегаем) раева: Рду / Рд з1п а ~Уз. о Потенциальная аиергия упругик сил равна У уо'а аз й где о' = ~ — кривизна балки, У вЂ” модуль угругости. Отсюда общак потенцнальнаа енергия; Ц= ~ (уоы+Раз1по)с(з, о Конец А закреплен, в атом конце о задано: о = оо; в свободном конце В имеем по только что доказанному Рм = О, где Р— подинтегральиое выражение зо'а+Раз(па, т.
е. о' = О. В свободном конце кривизна балки равна нулю. Уравнение Эйлера: Уа 2У вЂ” — Рд соз о = 0 дзт с краевыми условизми: при з=О, а=4„при а=1, о'=О, определяет профиль балки. Черт. 19. Черт. 18. Пусть, например, «о=О. Если у =у(х) есть уравнение профиля балки„то, считая, что профиль балки близок (а смысле близости первого порядка) к осп Ох (черт. 19), имеем: а ау с(у о = аосте а —.т мы пренебрегаем величинами второго порядка сравнительно с у и — 1. ( с(уч г(хг ' а 1= / г'1+у%К» а о ~~д гг-'у Фа ф Гфу'~ ~азу Ъ уха' аао с(а(х(хз) Принимая за ось Ох горизонтальную проекцию балки, прокодашую через точку А, и обозначая через У ординату точки В, через з — угол наклонной касательной к балке в произвольной точке М, имеем: 123 услОВие тглнсввусальности где а — абсцисса конца В).
Уравнение балки примет вид; 23 — — Ря=О; у(0) =О, у'(0) =О, уа(0 = 0. Отсюда: у- — +суа+с, +св Рй За Условия на границах дают нана Се=С =О, С'=Р— ~, Рлз у ' и мы окончательно получаем: у = — (ха — 31ха). Рл ЗУ Прн аз=-- вертикальная прямая а = — есть решение нашего уравнения 2 2 Эйлера, т. е. форма равновесия. $ 54. Условие траясверсальяости Обобщение понятия расстояния между крявымя.
Рассмотрим те. перь общий случай. Принимая за класс допустимых линий кривые т: у=у(х), уа Уа сааб|а другая кривая класса С„концы которой имеют абсциссы хе+Ох, х, + Ох,. Рассмотрим совокупность М кривых класса С,: у=у (х), заданных на отрезке (ха, ха], концы которого не являются постоянными. Будем обозначать такую кривую символом ]у(х); х, х,]. Вне отрезка ]хе, ха] функция у(х) не определена; мы можем ее распространить на всю числовую прямую, полагая у (ха)+(х — ха) У (ха) у= у(х,)+(х — х,) у' (х,) концы которых расположены на крнвык (черт. 20): у=о (х), у =ф (х), аа~ экстремума интеграла у= / Р,'(х, у, у') сах.
Черт. 20. Новым в этой задаче, по сравнению с разобранным простейшим случаем, является то, что абсциссы концов двух различных кривых из класса допустимых линий, вообще говоря, различны. Начнем с обобщения понятия расстояния между кривыми. Итак, пусть (: у=у(х) есть кривая класса С„концы которой имеют абсциссы хе, х„и пусть (,: у, =у,(х) 124 овоюцвннв пвоствйшяй зиичн влзплцнонного нбчислвння [гл. Ч!П Такое распространение будем называть распространеннем по касательным. Определим расстояние в М: г([у(х); хр, х,]. [У,(х); хр, х,]) = =щах (].»р — хр], ]х,— хр],у,(х) — у(к)]»,< ., ]у,(х) — у(»)1 < <ю,).
Здесь х„' — меньшее нз чисел хр, хр, х,' — большее нз чисел х„х,. Вывод вариации функционала. Назовем вариацией ОУ функционала 3 прп переходе от кривой Т к кривой Т, главную линейную часть приращения этого функционала, главную в том смысле, что: у (11) — у (Т) = 0» (Т)+ рг(Т„Т), где е стремнтсн к нулю вместе с г г).
В случае экстремума должны иметь р» = =О. Займемся определением Ы в общем случае. Имеем: »1 тр» »1 .)(Т ) — У(Т) = / »(», Уп У,") йх — ~ г'(», У, У') йх = »„+р» » »т]-М »ггр»$ = — / г" (х, у,, у,')ах+ / г"(х, уму,') ах-,— ' », + / [г(» у1 у1') — ] (», у, у')) йх р). Обозначая у, (х) — у (х) = ру н пренебрегая величинами высшего по- рядка сравнительно с г(Т, Т,), т. е. отбрасывая бесконечно малые выс- шего порядка сравнительно с рхр, рх„бу, ру', имеем: »„+р», У г (т, Уп У,')г(»же» [г (», У,, У,')1 й»р[г" (х, У, У')) т„ »,-ьр», У г (х, у,, у,') р(хж рх [г (х, у, у'Д »$ У » [г(х, у„у,') — Р(х, у, у')[ пх ~(г" чу+ Р, ру) йх = = — [г' ру[ - '- [Р„,йу[ + Г [Р'„— — — Р,»1 руоп. о т) Более детальное нсследованне понятна варнацнн с функцпояальной точки зренпя для втой задачи будет дано в следующем параграфе.
р) Тля того чтобы иметь право писать зто преобразозаняе интегралов, очевидно, достаточно, чтобы функция у(х) н ур(х) были опредеаены для значений х, заключенных в ннтервале ннтеграцнн. Немн написанное соотношение имеет место, если ахр) 0 в Ьхт)0. Если а»р(0, ахт(О, то пеРвый интегРал паДо брать вдоль д, (х), а последний — в пределах от хр до хя Наше преобразованне надо также пзмепнть для двух других случаев ахр)0 з»т(0 и ахр(0, ь»,)0. Навей вз четырех случаев мм имеем — па дальнейшее не повлияет, 125 $54[ тсловив теансввесельности После этого приращение функционала У примет вид: У(1,) — У(т) = — Т(х у* У)],Вхо — Т„,(».
г У)Ву) .,+ +[В(х, у, у')),, Вх, +[Р„,(х, у, у') Ву)„е+е[ ~Р,— — Р'„,~ оу йх. (18) Выразим значения Ву в концах через охо, ох,. Начнем с Ву в правом конце. Обозначая через В и С (черт. 21) точки пересечения ординаты, соответствующей значению х,, с кривой ( и с кривой т„а через К и 1 †проекц С н В на ординату, соответствующую значению х, +Вх„ пренебрегая величинами высшего порядка сравнительно с Вх,, имеем: КВ, Вх, [у' (х,) + Ву' (х,)) у' (х,) Вхн СВ =Кь=ВУ(хг). О гсюда: Ву(х,) + у' (х,) Вх,. С другой стороны: ЕВ1 —— Вхгег' (хг) следовательно: Ву(х,)+у'(х ) 'х, = ф'(х,)ох,, оу(х,) = Вх, [ф' (х,) — у' (х,)) . Аналогично: Ву(хо) = Ь'( о) — у'(хо)[ Вх' г, го ее, Черт.
21. [ В+ (и' — у') Р„, 1 Вх,„ вариация в конце равна: [ Р+ ()' — у') '., 1 Вх,. Подставив полученные выраокения в (16), согласно определению Ве получим: Ву= — [Р+(.' — у') ~„,[. „Вх.-г+[.+К-ИВ„.)..;-,+Д.„- ~'„,) Ву,»- й Итак, пренебрегая членами порядка высшего сравнительно с г(1, 1г), мы свели приращение У(Тг) — У(1) к суиме линейного функционала / [ — — г,) оуйх от приращения Ву и линейных функций ,/, е йх в' от 3хо, ох, — смещений абсцисс концов. Это линейное выражение н будет вариацией Л Линейный функционал, входящий в выражение ВУ, назовем вариацией У в середине, а члены с Вхо, ох, — вариациями в концах: вариация в начале равна: 126 ововщяние пгоствйшвй злдлии влтиьциоиного исчисляния [гл. ЧВ1 Вывод условий трансверсальности.
Если вдоль кривой 1 интеграл л достигает экстремума, то аг О. ае должно равняться нулю при пере- ходе от т к любой близкой кривой Тн в частности — к кривой Тн имеющей общие с т концы. Ио в случае совпадения концов т, и т, ьхь и йх, равны нулю, и оу(хь) = Ьу(х,) =О. 01=- ~ ~~ń— — ", Е„,[дауд». (19) Выражение (19) должно быть равно нулю при произвольных ьу, обра- щающихся в нуль на концах интервала [хь, хД. В силу результатов предыдущей главы отсюда следует: Š— — Г,=О, 4» в' т. е.
кривая т есть экстремаль. Итак, в случае экстремума вариация интеграла у при переходе к произвольной близкой кривой сводится только к вариации концов (поскольку вариация в середине исчезает): (20) Абсциссы концов хь, х, кривой этого двупараметрического семейства должны удовлетворять двум условиям трансверсальности и уравнениям: Г'(хь, а, р)=о(хе), У(хн а, р)=ф(х,); из этих четырех уравнений определяем хе, х„в, р. Ы(1) = — [Е+(Ф' — у')Е [ 3х + [Г+(Ф' — у') Е„,[ ьх, — = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
