Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Обозначим через Д= [М]-]-(Л~+[~ 1-]-1; при достаточно малом а, а, следовательно, достаточно малом а, 2 ! / (г „Оу + 2Р„„Оуйу + Г„~ оу е) зтх (2Дг(уму) (хя — х ). мз Так как множитель прн 2)с — величина порядка высшего по сравнению с а (по предположению), то '(у ) — '(у) = [ Р. — Ъ Р' 3 '+ '*" и' м=о З) ЗДЕСЬ ФУНКЦИИ ГНМ Риао Р'„,и, ВЗЯТЫ ДЛЯ ЗваЧЕннй аРГУМЕитОВ х, у (х) + Оау (х), у' (х) Ф Ооут (х); О < 0 ~~ 1. $48) влгилция в точки.
инвлвилитность удлвнвния эйлввл 101 где е» бесконечно мало вместе с а, или а ~ У ~к У) Таким образом уравнение Эйлера выражает тот факт, что в случае экстремума У функциональная производная равна нулю в казкдой точке. Вариация в точке. В приложениях наряду с понятием функциональной производной оказывается очень плодотворным понятие вариации в точке, являющейся аналогом понятия частного диференциала из теории функций и переменных.
Вариацией функционала У в точке х для кривой у =у(х) мы назовем произведение функциональной производной функционала У в точке х на площадь а бугорка, заключенного между кривыми у(х) и у (х) + Зу (х): а,.l = ~à — — с' 1 а. Если кривая у=у(х) и вариация 3у удовлетворяют перечисленным выше условиям, то вариация 3 7 в точке есть главная часть приращения функционала, когда мы варьируем кривую в непосредственной близости от точки х. Очевидно, что если мы проварьируем кривую у у(х) в бесконечно малых окрестностях точек:х„ х, ..., х» и обозначим через а„ аэ,..., а„ площади соответствующих бугорков э), то главная часть приращения функционала будет равняться сумме вариаций функционала в точках: ~>' Зхгl= ~~', ~р„— — Г„~ а,.
=1 ь= а»Ч Подобно тому как полный диференциал есть сумма частных диференциалов, вариация функционала есть сумма его вариаций во всех точках. Равенство нулю вариации эквивалентно равенству нулю вариации во всех точках. Иивариинтность уравнений Зйлерп. Данное нами определение функциональной производной в точке можно использовать для получения одного важного свойства экстремалей. Сохрании обозначения предыдущего параграфа. Перейдем от системы координат (х, у) к криволинейной системе координат (и, о): $0. ф» г» Кривые т: у=у(х) и Т у=у,(х) в новых координатах будут выражаться соответственными уравнениями: о=о(и), о=о,(и).
») Стремление а к нулю надо понимать в смысле одновременного стремления к нулю (х,— х,) и г(уь у). ь) Мы, конечно, здесь предполагаем, что вариации кривой в отдельных точках удовлетворяют отмеченным выше условиям. [гл. '1г11 102 еьнкцноналы и влвнацня Бугорок, заключенный между обеими кривыми, имеет в новых координатах площадь а,. Отношение площадей этого бугорка в старых н а цовых координатах — стремится к функциональному определнтелю: т» та не равному по предположению нулю, когда бугорок стягнвается в точку.
Функцнонел Х(у) = 1 го(х, у, у') йх а переходит в функционал от функции о(и): ь, г(у)=У,(о)= / Р~о(и, о),.ф(и, о), '» " 1 (<р»+ф,о')йо= »1 ь / Р,(и, о, о')йи. Если !ип (т' (У) =,О, а -» 9 то в силу сделанных замечаний 11ш Уг(ог)-а1(о) 1)йз ] г(Л) — а(у) 1 О а -» а ад а-»а [ а аг ] Функциональная производная от г,(о) в каждой точке кривой обращается в нуль. Итак, если 1 является экстремалью для функцио- нала У(У), то 1 ЯвлЯетсЯ также экстРемалью дла Уг(о).
Свойство кРн- вой быть экстремалью н н в а р н а н т н о относительно преобразования координат. Аналитически это означает: если кривая у =у (х) являлась экстре- малью для интеграла У[у(х)], то всякий однозначный участок крнвой о =о(и), определенный уравнением: ф (и, о) = у [р (и, о)], (14) будет экстремалью для интеграла г, [о(и)]; уравнение (14) будет инте- гралом уравнения Эйлера: — — — — = О.
дР~ й дРг до йо до' (15) Таким образом: если общий интеграл уравнения Эйлера: дР й дс для интеграла У[у(х)] будет: у=у(х, а, р), то общий интеграл уравнения Эйлера (15) для интеграла,У„[о (и)] будет: ф(и, о) =у[19(и, о), а, Я. й 48~ вавиация в точке. иивавиаитиость талвнеиия эйлегд 1ОЗ Уравнение Эйлера останется также инвариантным„ если мы будем задавать кривые ( в параметрической форме; в геометрических задачах эта форма задания линий особенно удобна потому, что позволяет нам сразу освободиться от условия, что каждая кривы класса допустимых линий пересекает параллель оси Оу в одной точке. Этому вопросу мы дальше посвятим специальную главу.
Укажем сейчас на два приложения принципа;гинварнаитиости уравнения Эйлера. ПРимер !. Пря исследовании и интегрировании уравнения Эйлера часто исполэзуется замена переменных. Пользуясь принципом нивариантности, можно этопреобразоваиие производить над подингегральным выражением и затем для нового интеграла писать уравнение Эйлера — зто и будет первоначальное уравнение, отнесенное к новым переменным.
В качестве примера рассмотрим интеграл: Зг у= г 'рг~+ "г(т. 9е Семейство экстремалей определится уравнением: гг — + — — =О. У гэ+ г~ Ыт Уггз+ггт (16) Заменой переменных х=г созт, у=г з1пй подивтеграаьное выражение перейдет в тг1+у" г(х, следовательно, при той же замене переменных уравнение (16) перейдет в у =О с общим интегралом: у=ах+6. Отсюда общий интеграл уравнения (16) будет: г з1пт = аг сва т+66 пример 2. пусть дая функционал у(т), определенный для всех простых дугу, обладающих непрерывно вращающейся касательной, и пусть для линий т, заданных в прямоугольных координатах уравнекием у =у(х) [функцня у(х) и ее производная у'(х) однозначны и вепрерывиы[, имеем: ь у(т) = / Р(х, у, у') Ых. а Допустим теперь, что среди всех линий т (соединяющих две данные точки А и В), на которых l(т) определен, существует линия та, дающая экстремум 1(т) и не изображаемая функцией у =у(х) класса Сг (существуют касательные тэ, параллельные оси Оу, некоторые параллели оси Оу пересекают кривую тэ по крайней мере в двух точках).
В силу принципа инвариаятностн легко видеть, что линия та будет интегральной кривой уравнения Эйлера ~1 Р' — — Р, =О. э дх э' В самом деле, мы всегда можем выбрать такую криволинейную систему координат(и, о) так, чтобы в этой системе координат искомая кривая тэ изображалась функцией о= о(и) класса сэ но тогда та будет интегралом уравнения Эйлера, написанного для / в системе координат (и, о), следовательно, в силу (гл.
ЧИ 104 етнкционэлы и вагиация принципа инварнаитиости уравнения Эйлера кривая тэ будет также интегралом уразиеяяя (17). В качестве примера на приложение этого замечания можно указать на задачу о линии наилучшего ската, когда яачальная скорость равна нулю (й 27). В этой задаче зкстремалэь удовлетворяющая начальным условиям, имеет в на« чальной точке касательную, параллельную оси Оу, т.
е. ие принадлежит классу Со В качестве второго примера отметим такую задачу: среди всех линий, соединяющих две даняые точки А и В, определить ту, которая прн вращении около осн Оу дает поверхность наименьшей плошади. Мы видели, что если точки А и В не слишком удалены одна от другой по сравиенню с их расстоянием до оси Оу, то искомая кривая есть цепная линия с осью симметрии, параллельной осн Ох, линия, которая может пересекатьса параллелью оси Оу з двух точках и тем самым может ие привадлежать классу Сч Тем не менее эта кривая, в силу принципа инвариантиости будет удовлетворять уравнению Эйлера для интеграла У = 2в / х У 1 -)- у'э с(х> выражающего плошадь поверхности для кривых у =у(х) класса Сп 9 49. Вторая вариация я условия Лежандра Билинейный н квадратический функционалы.
Как мы видели в теории функций и переменных, поведение функции в окрестности стационарной точки определялось во многих случаях поведением квадратической формы — именно второго диференциала функции (гл.1Ч). Эти рассмотрения можно перенести на функции, заданные в линейном пространстве (й 41, 42), в частности — на изучаемые нами функционалы. Прежде всего определим понятие билинейного и квадратического функционала (ср. 8 40). Мы называем функционал з(у, х) от двух функций у(х) и л(х) билинейным, если он есть линейный функционал в отдельности относительно у(х) и относительно л(х). Имеем: (18) .У(лу, уз) = лс1(у, с). Билинейный функционал У(у, г) называется симметрическим, если для любой пары функций у(х) и х(х) У(у, л) = У(г, у).
Квадратическим функционалом з (у) называется симметрический билинейный функционал от двух совпавших функций: (19) где з'(у, х) — билинейный симметрический функционал. Из (18) и (19) следует: У(у+у,) = У(у) + 2з(у, у )+ У(у,), у(йу) = йз1(у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
