Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Очевидно: ~(г'(А; Ь + Ь,) = с(У(А; Ь) + ат(А; Ь,), Ц(А; ЬЬ) = Щ(А; Ь), где Ь вЂ” действительное число. Второй диференцнал. Пусть функции г(А) имеет в точке А лифе- ренциал ф. Рассмотрим разностьл У(А+ Ь) — У(А) — ф(А; Ь) . Эта разность есть величина высшего порядка малости сравнительно с 1Ь1. Если существует квадратическая функция приращения Ь, которую ны обозначим через Фг(А; Ь), такая, что У(А + Ь) — У(А) — ф(А; Ь) — ФУ'(А; Ь) = е, (, 'Ь ~а $4Ц диэвгвнцилл этнкции нл линвйиом пооствлнствв 75 где а, стремится к нулю вместе с 1Ь1, то о(эу называется вгиэрым диференциилом функции 7" в точке А.
Можно последовательно определить .З-й, 4-й,..., и-й диференциалы. Получям: Г(А+ Ь) =у(А)+ о(г(А; Ь)+оовг(А; Ь)+... +йЯА; Ь)+о)Ь1", где Поп ~ е ~ = О. ала-оо Функция, имеющая л последовательных днференциалов в точке А, называется и рал дифервнцируемой в щочие А. Функция, и раз диференцируемая в каждой точке А пространства К, называется а раз диференцирувмой в пространстве Я. Замечание о днференциале. Пусть нам задана функция г(А) в линейном пространстве гт, обладающая в точке А диференциалом о(г(А; Ь). Рассмотрим произвольный элемент Ь из ос и соединим его прямой: А+й ( — сю с 1 ч. + оа) с элементом А.
На проведенной прямой функция 7 обращается в функЧА+ й) = ф(~). Мы имеем в силу существования диференцнала г в точке А: У(А+й) — У(А)=о(У(А;Ю+е 5й~=с4(А;Ь)+о~~! ~Ь~, где е стремится к нулю вместе с 1Й1, т. е. (поскольку Ь остается постоянным) вместе с б Отсюда: д (А+й), У(А-1-й) — У(А) ( ~о=о,"~' Итак, если существует диференциал Ы(А; Ь), то для любого Ь сущеиу(А +!ь) ствует производная ~,, причем — — - („, = йг'(А; Ь). (18.1) ар(А+ Я) Обратного утверждать нельзя. Из существования - — ~ ие д о.=о следует еще существование днференциала аг(А; Ь) (см.
примеры, рассмотренные в 9 9) '). Аналогично можно доказать, что если функция имеет 2-й, З-й,..., л-й .дифереициалы в.точке А, то 1 оГо «У(А( Ь) = -;; дг У(А + й) ~ =., д'У(А;Ь)= з д — У(А+й)~ -о* 1 до (18. 3) д'"'у (А; Ь) = — — У(А + й) ) (18. Ь) ю Некоторые авторы определяют дифереипиал функпииу как — —,1 дУ(А+ й)ч л оЬ Очевидно, зто определеяие общее определения дифереициала как главной линейной части приращения. Ововщвннз ОснОВных понятий анализа (гл.
Ч1 У(А) ~~У (Ао) прн всех А, лежащих в сфере достаточно малого радиуса е с центром !!А — А !!(е. Допустим теперь, что диференцнал функцнн отличен от нуля: с(г(Ао)=1. (А Ао) Ф 0 тогда в любой сфере радиуса, меньшего е, существует бесчисленное множество точек А, как угодно близких к Ао и таких, что: Л(А — А)( — к!!А — А 1!, где я — положительная константа, не зависящая от !! А — Ав !!; с дру- гой стороны: У(А) =У(АО)+~'.
(А —.4о)+ т1 !! .4 —.4о !!, (20) где т1 стремится к нулю вместе с !! А — Ао !! . Отсюда существуют точки, как угодно близкие к Ао, такие, что: У(А) < У(Ао)+( — 4+4) !! А Ао !! Но при достаточно малом е слагаемое ( — к+ ц) !! А — А„!! будет отрн- цательным, следовательно, г (А) < г'(А ), что противоречит неравенству (19). Пользуясь замечанием о понятии диференцнала в предыдущем пара- графе, можно дать другое доказательство, редуцнрующее нашу общую задачу к задаче экстремума функций одной действнтельной переменной. В самом де.
е, функция параметра 1: г'(Ао+ бг) при любом й должна при 1=0 достнгать своего относительного экстремума, следовательно, прн любом 1г имеем: ф У(А,+ бг)1 =0. 9 42. Экстремум функций точкн линейного пространства Необходнмое условие экстремума. Введенное нами понятие днференцнала позволяет обобщать на функции точки абстрактного линейного пространства основное необходимое условие существования экстремума для этих функций.
ТЕОРЕМА 1. Для того чтобы функция у (А) точки линейного пространства, определенная в неколсорой области гг нашего пространства (.0 может совпадать со всем пространством), в некоторой внутренней гпочке достигала экстремума, необходимо, чтобы ее даференциал в этой точке тождественно равнялся нулю. Пусть функция г (А) в точке Ао достигает относительного минимума; тогда (19) И 421 экстгвмэм еэнкций точки линейного пгостелнствл 71 Отсюда в силу формул, связывающих производную по направлению и диференциал, имеем: Ф'(А ) = — О. Точки, в которых удовлетворяется равенство (21), будем называть сгнационарными точками функции 7.
Если первый диференциал функции у в точке А исчезает, то главной частью приращения функции / становится второй диференциал гг'г)' (А; й): 1(А +й) — У(Ае) -йЧ(Ае' й). (22) (21) В силу элементарных условий ммнимуиа функций одного переменного мы найдем необходимые условия минимума функции У в точке А, на прямой А = Аь+ гл: (23) Если точка Ае является точкой минимума г на линейном пространстве, то она является точкой минимума г на любой проходящей через Аь прямой Ае + М,. следовательно, неравенство (23) должно удовлетворяться при любом Ь.
Таким обпазом имеет место следующая теорема: ТЕОРЕМА 2. Для того чтобы функция у" достига~а минимума в стационарной точке Аь, необходимо, чтобы в алий точке йети (Аь; Ь) .=О для любого Ь. Читатель легко докажет следующую теорему. ТЕОРЕМА 3. лТля лига члибы функцин г' досгнигала манимума в стационарной точке Аь, досглаточно, чтобы для любого й в этой точке удовлетворялось неравенство: йэУ(Ар', Ь))~ С а Ь '1г, где С есгль гилолсительная константа. Поэтому вопрос о том, будем ли мы иметь случай максимума, минимума или случай более сложной стационарной точки для функций на общем линейном пространстве (также как и для разобранного в главе 1т' случая функций в п-мерном пространстве), решается исследованием второго диференциала.
Из формулы (22) непосредственно явствует, что необходимым усло-вием минимума функции У в точке Ае является требование, чтобы второй диференцнал был неотрицательной квадратической формой, т. е. чтобы для любого И агу(Ае; Й))~О. ГЛАВА Чй ФУНКЦИОНАЛЫ И ВАРИАЦИЯ $43. Функциональные пространства Функ>гиональныли пространствали называются абстрактные пространства, точками которых являются функции. Функции точки в функциональном пространстве называются функционалами. Как было отмечено выше, функциональные пространства суть пространства линейные. 'Пространство С. Функциональным пространством является совокупность С всех непрерывных функций г(х), где а ~х~~~Ь. Расстояние между двумя точками пространства †функция у(х) и э (х) определяется как близость нулевого порядка, т. е. как шах (~ (х) — м (х)'.
С этим пространством мы уже имели дело. Пространство это н екомпактно. Сходимость в пространстве С означает равномерную сходимость функций. В самом деле, пусть последовательность 1! (х), уя (х),... ..., >„(х),... сходится (в смысле сходимости в пространстве С) к функции > (х). Имеем: г ( У, ~„) -+ О при и -+ зо . Но г (у, У„) = !пах,,'у'(х) — у'„(х) ',; вс сь (какозо бы ни было положительное число а, найдется такое число А>, что шах ,'/ (х) — уп (х) , 'с' з вспсь' при п>>Ч. Теи более для шобого значения х, лежащего иа отрезке а (х(Ь, ,'У(х) — У„(х) ~ (е.
Аналогично, если непрерывные функции /„(х) сходятся равномернгг к функции у(х), то они сходятся к ней и в смысле метрики пространства С. Пространство С некомпактно в малом. Пусть, например, а = О„ Ь= 1. Функции 5!и х, ып 2х,..., з>п лх имеют (в смысле метрики ( ) норму 1. В то же время из них нельзя выбрать ни одной равномерно сходящейся подпоследовательности. Но пространство С обладает свойством полноты. Пусть у, (х), уе (х),..., у„(х),... й 43) ознкционлльные пзостзлнствл есть последовательность Коши в смысле метрики пространства С.
Каково бы нн было число з ) О, найдется такое число 1ту что шах 1у„(х) — у,„(х) ~ з, (11 если и ) г'ч, иг ) г'ч . Фиксирован значение х: х= хо, получим числовую последовательность: Уг (хо) Уз (хо)~ ° ° э Уч (хо)> ° удовлетворяющую в силу неравенства (1) критерию сходимостн Коши Итак, последовательность у, (х), уз (х), ..., у„ (х), ... для любого значения х (области определения функций агой последовательности) сходится к некоторому предельному значению у (х), Мы сейчас докажем, что эта последовательность стремится к у (х) равномерно.
Тем самым будет доказано, что у (х) есть элемент пространства С и что у„(х) стремятся к у (х) в смысле метрики этого пространства. В самом деле, достаточно в неравенстве (1) фиксировать и и стремить т к + оо, чтобьг получить: для всякого з ) О мол<но найти. такое гчг, что шах ~у„(х) — у(х), - з, любых степеней с рациоиальнымн козфициентами аз, а,,..., а„. Созокуиность.
таких полнномоз имеет счетную мощность. С другой сторонй, какова бы нн была функция У(х), непрерывная на отрезке а~(хе,,Ь, существует последовательность нолниомоз: Ро (х) = а 'ч1+ а Шз к, ... + а Ш1 х ", ь которая стремится равномерно к у(х) на нолобрагь рациональные числа Ью1, ЬШ1. ь огрезке а=-.,х ...Ь.
Далее, можно Ь Ьй вя столь близкие к соответственным числам авц а1е1 ащ1 если и) Ж, лг) гч. Равномерная сходимость у„(х) к у(х) доказана. Вместе с тем доказано и свойство полноты С. Пространство С играет большую роль в анализе. Сенарабельность пространства С. 11ространсгзо В называется еелаулбельимм, если з нем существует счетное множество М точек М такое, чго любая точка пространства й есть прелельная для М. Множество М называется счетной всюду ллотной сетью.
Например, числовая нрямая есть сенарабельное пространство; всюду плотную сеть иа ней образует совокупность„например, рациональных чисел. Точно так же л-мерное пространство есть сензрабельное пространство: счетную всюду плотную сеть на нем образует совокупность его точек с рациональными координатами. Пространство С есть тоже сепарабельное иростраясгзо. В качестве счетнойзсюду нлотной сети на С можно орииять, например, совокупность асех нолнномов аз — ,'-а,х — , 'аззе+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
