Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 16
Текст из файла (страница 16)
+ а„хе [гл. >>П ФУНКЦИОНАЛЫ И ВАРИАЦИЯ чтобы полинам (х)=ьт>[-ь< > ' '; ... +ь>н> и О был сколь угодно близок в смысле метрики в С к Р„. Выбрав фиксированное лоложительное П, можно добнться в частности, чтобы И юах ( Р„(х) — Р„* (х) [ < —,—,, Дегко показать, что последовательность поляиоиов Рьи (А) с рвинональ- нымн козфнцнентами стремится равномерно вместе с Р„(х) к у(х). Так как у(х) была выбрана произвольно из С, то отсюда следуец что совокупность поляномов с рациональными козфнцнентвмн образует всюду плотную се>ь на С.
Двз метрическне пространства й> и йв называются изометричными, есвя между нх тачками можно установить взаимно-однозначное соответствие. сохра- няющее расстояние„т. е. расстояние между любой парой точек в пространстве й, равно расстоянию между нх образами в пространстве йю я обратно. Банях локвзал замечательное свойство пространства С: «а«ово бм ни было метри- чееиое селарабельное пространство й, существует изоморфнаи ему часть С, пространства С.
Выражаясь образно: любое сепарабельное метрическое про- странство й можно вложить, сохраняя расстояния между его точками, в про- странство С, Пространство,С„. Наряду с С нам придется иметь дело с про- странствамн ( „. Пространства С„ являются метрическими линейными функциональ- ными пространствамн, элементами которых являются функции у (х), Определенные на отрезке а (х (Ь н обладающие на нем и непрерыв- ными производными. Если у (х) вС„, д (х) АС„, то г (у, г) = >пах ( ( у (х) — х (х) (, (у' (х) — г' (х),..., , 'угю(х) — х>"> (х)» .
Если последовательность элементов Уь (х) (/г=), 2,,) пространства Св сходится к у (х) вС„в смысле метрики этого пространства, то, значит, функции у„(х) н их первые п производных сходятся равномерно соответственно к функции у(х) и ее п первым производным. Пространство С„полное, но не компактное в малом. Пусть функция у(х) есть элемент пространства С„. Сфера радиуса в, проведенная в С„ вокруг этого элемента, совпадает с в-окрестностью и-го порядка функции у (х). Пространство С,'. Рассмотрим совокупность С,' всех функций у(х), эаданнык на отрезке а (х (Ь, обладающих на нем непрерывной первой производной.
За расстоянием между функциями у(х) и у, (х) и> С, принимается г [у(х), у, (х)) = п>ах (у(х) — у, (х)(. и>к« .ь Итак, С,' состоит нз тех же функций, что н С„но в качестве метрики в С,' принята метрика С. Пространство С, фнгурирует в вариацнонных задачах, связанных с нахождением сильного экстремума. екнкционлльнык пгостнанствл Пространства (.„. Мы приведем сейчас пример линейных функционзльных пространств с метрикой, отличной от принятой в предыдуших примерах. Рассмотрим совокупность !. ' всех непрерывных на отрезке [а, Ь] функций у (х) Расстояние между функциями у (х) и у,(х), входящими в Ер', определим по формуле: ь 1 г'(у, у,) = [ / ] у (х) —,/', (х) )и г(х] р а (р> !). Очевидно, г (д, Л) = с (Л,г),г(д,Л) = О только приу"=у!.
Лалее в силунеравенства Минковского (см. 5 !6) имеем: г (У. у) + г (т, ф) — г(у. ф) ь О. Таким образом все три аксиомы метрики удовлетворяются. Так как г (у, У!) есть положительный однородный функционал первой степени относительно разности у — ут, то наша метрика лннейна. Е ' можно рассматривать как линейное метрическое пространство, и под нормой элемента у (х) надо понимать ь 1 [ /]у (л)]~ г(х]р. а Метрика функционального пространства С является предельной метрикой пространства (т' при р, стремяшемся к бесконечности.
В самом деле, в пространстве С расстояние между функциями у (х) и т (х), входящими в С, равно максимуму ]г" — у [ на отрезке [а, Ь]. Обозначим этот максимум через с; Оь [У вЂ” р]чТс. Если у" не равно тождественно р, то с) О. Тзк как в некоторой точке а' се г мента [а, Ь] функция ]г" — у! равна с, то на некотором конечном интервале длины ((О эта разность больше с — а, где а — произвольное положительное число, меньшее с.
Имеем: 1 ( 1 1 (с — а) (нС[/]у' — у]~ах] ~(с(Ь вЂ” а)р. п Последнее неравенство следует из того, что мы можем только увеличить интеграл, стоящий в средней части неравенства, если будем считать [у — Т] равным с на всем интервале [а, Ь]; наоборот, мы уменьшим этот интеграл, если заменим ]у — р] на выделенном интервале ллины ! через с — е, а на остальной части интервала [а, Ь] разность [г — у ! Ьаменим нулем. ! 1 При р -ь оз, тп и (Ь вЂ” а) Р стремятся к единице, поэтому; ь 1 с — =-" Вгп ~ /]У вЂ” у)" ах] ' ~с. р-.с- !.а 'Тзк как з есть произвольное число, то ь йпз [ / [д — р] гтх] =- с а Пространства Ер' не латаются полными.
В самом деле, рассмотрим последовательность функций: р (-) (а = ), 2, 3, ...), (гл. 'т"!1 82 ФУНКЦИОНАЛЫ И ВАРИАЦИИ заданных на отрезке — 1 <х <1, где 1 — 1 при — 1 <х< — —, и 1 1 пх при — — <., х< —, и и ' 1 1 при — < х<1. 'л у„(х) = 5 44. Компактность в функциональных пространствак Пространство гт. Совокупность гт всех функций у(х) (О (х (1), удовлетворяющих неравенству: ~ у (х) — у (х,) ) ~( т ! х — х, 1, где т — некоторая положительная константа, образует пространство. Все функции, входящие в )т, непрерывны. Метрика определяется, как в пространстве С. Если функция /'(х) есть предел последователь- ности функций у„ (х), входящих в гс, то г(х) тоже входит в гс.
В са- мом деле, для любых х и х„ заключенных между О и 1, (у(х) — у(х!)~ И!п )у„(х) — у„(х ) ! <гп(х — х ~, (1) Таким образом гс есть полное пространство. Очевидно, функции у» (х) непрерывны. Далее у„(х) =у (х) при л! ) л ! 1 всюду вне интервала — — — <х "—, на этом же интервале л в ' !У» (х) — у,„(х]1<1.
Поэтому 1 ! й 2 ~ ~У»(х) — Ум(х) )Рах= / !У„(х) — ум(х)/Рпх< — ° -1 ! й На пространстве 1 (р>1) функций, заданных на отрезке — 1 (х~1, после- довательность у„(х) есть последовательность Коши. Однако непрерывной фун- кции, к которой стремились бы функции У„(х) (в смысле метрики (,,), не существует. Пространство (, есть не полное пространство. Пространство (х, Рассмотрим теперь пространство функций у(х), измери- мык в смысле Лебега, таких, что интеграл Лебега: х, ~ ( у (х) (Р А!х (р ) 1) х» существует. Считая идентичными функции, отличаюшиеся друг от друга на мно- жестве меры нуль, можно рассматривать такие функции у(х) как точки некото- рого линейного метрического прострзнства (Р, причем за норму функцнйу(х) примем х, 1У1! =~~~У(хЯР 'х]' ° хо Можно доказать, что пространство (.
является полным пространством. $44] комнАктность В Функциональных ПРОстРАнствАх 83 Построенное пространство гг опять не компактно. В самом деле, из последовательности точек-функций этого пространства: тх+1, тх+2, ..., тх+и нельзя выделить сходящейся подпоследовательности. Покажем, что гс компактно в малом. Пространство ]!с . Пусть гс есть пространство, состоящее из всех точек пространства Я таких, что: ]г (х)] (М. ТЕОРЕМА ГИЛББЕРТА (Н11Ьег1) . Пространство ]т компактно (пространство Я компактно в малом).
Переведя эту теорему на язык теории функций„получим: из всякой последовательности функций: )г(х), гя (х), ..., у'„ (х), ..., (2) удовлетворяющих условию ]гь(х)] (м и таких, что: ] гь (х) — у, (х,) ] < т ! х — х, ] (а <х <Ь) (3) (т, АГ, а, Ь суть константы, не зависящие от й), можно выделить равно- мерно сходящуюся подпоследовательность, причем пределом этой подпо- следовательности будет функция, удовлетворяющая условию (3). Заметив, прежде все~о, что графики всех функций Я, принадле- жат прямоугольнику К с вершинами (а,— М),"(а, А), (Ь, А!), (Ь,— М); перейдем к доказательству.
Разобьем сторону прямоугольника К, параллельную оси Ох, на и частей, где и†любое целое число, а сторону, параллельную оси Оу, на йп частей, где А есть наибольшее целое число, меньшее числа 2лг Проведем через точки деления прямые, параллельные соот- т(Ь вЂ” а) ' ветственно оси Оу и Ох; тем самым разобьем прямоугольник К на киа прямоугольников. Вертикальным столбцом прямоугольников назовем совокупность прямоугольников деления, заключенных между двумя со- седними линиями деления, параллельными оси Оу. Каждая кривая, изо- бражающая функцию из Кл, задевает по крайней мере по одному пря- моугольнику из каждого вертикального столбца. (Мы говорим, что кривая задевает прямоугольник, если она имеет общие точки с ним или его границей.) Пусть Г(х) — функция класса гт„„ и пусть А (х, у) и В (х„ у,)— две ее точки, лежащие в одном вертикальном столбце; следовательно: ]1х,— х] ( —, т (Ь вЂ” а) 2дг ., ]у! — у]=]г'(х!),— Д(х)] (т]х,— х] ( ( — „' Таким образом ординаты этих точек отличаются на число меньшее, чем длины вертикальных сторон наших 'прямоугольников.
Следовательно, точки А и В могут принадлежать одновременно одному прямоугольнику 1гл. ЧП Функционалы н ВАРЙАция с границей или двум прилегающим друг другу прямоугольникам нашего вертикального столбца. Итак, кривые у =у (х) задевают в каждом вертикальном столбце по одному или по два соседних прямоугольника. Каждая кривая задевает некоторое количество (заключенное между и и 2в) прямоугольников деления. Так как число комбинаций из них конечно, а Я, есть множество бесконечное, то найдется бесконечное множество гх функций Г'(х) из множества Я таких, что все кривые ц) из Я„задевают одни и те же прямоугольники.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
