Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 12
Текст из файла (страница 12)
'т2 Французский математик Фреше (ггесЬб) ввел впервые в математику так называемые абстрактные пространства, „точками" которых могли быть элементы самой общей природы. Для того чтобы совоЧерт. 16. купиости таких элементов имели право именоваться пространствами, естественно потребовать, чтобы между их элементами существовали некоторые соотношения, являющиеся обобщениями некоторых основных соотношений между точками и-мерного пространства. Мы убедились в главе 1, что в определение целого ряда важнейших понятий анализа, например понятия непрерывной функции, входили только самые общие свойства л-мерного пространства, на котором эти понятия были определены.
Если при расширении понятия пространства сохраняются указанные свойства, то на этих пространствах более общей природы можно определить и соответствующие понятия анализа. Обобщение геометрических понятий связано таким образом с обобщением понятий анализа. Аксиомы Хаусдорфа. Обобщение геометрических понятий можно сделать различными методами.
Мы остановимся на теории Хаусдорфа (Напздог11). Хаусдорф принимает за наиболее общее геометрическое понятие окрестности. Пусть нам дано множество М некоторых элементов и, которые будем называть точками. Представим себе, что в множестве М можно выделить систему частей (подмножеств), которые мы будем называть Оиреслгностями, удовлетворяющих следующим условиям: 1'.
Каждому элементу 2и из М отвечает по крайней мере одна заключающая его окрестность У„; будем называть ее окрестностью тоти т. 2'. Двум различным элементам т и игг можно отнести две их окрестности Ц„и К„п не имеющие общих точек. 3'.Еслиточкалгапринадлежитдвум окрестностям Ц и Ц „то существует окрестность б~, точки тля, содержащаяся целиком и в Ци и в О, (черт. 16). Е1 % 31) АБСТРАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Свойства 1 — 3 называются аксиомами Хаусдорфа. (Множество М, на котором нам удается ввести систему окрестностей, называется абстрактным пространством (в смысле Хаусдорфа), а элементы т — его точками. Примеры 1. Будем в качестве окрестности точки л-мерного евклидова пространства принимать любую сферу с центром в этой точке.
Аксиома 1' удовлетворяется сама собой. Аксиома 2' тоже: достаточно построить вокруг двух произвольных точек по сфере, радиус которой не превосходит половины их взаимного расстояния. Наконец, если точка С принадлежит сферам 8(А, гг)н8(В,гэ), то достаточно провести вокруг точки С сферу 8(С, гэ) где гз)0 и меньше одновременно обоих положительных чисел: г, — г (А, С) и рэ — г (В, С), чтобы сфера 8 (С, гэ) целиком заключалась в сферах 8(А, г), 8(В, г) и, следовательно, удовлетворялась аксиома 3'. 2. Рассмотрим совокупность С всех непрерывных фувкций: (хэ ( х ( хг). у =у(х) (3) где р )~ 1. Определенное таким образом понятие расстояния удовлетворяет всем трем аксиомам метрики. В самом деле, очевидно: 1) 1 (А, А) = О, г (А, В) ) 0 при А ф В.
2) 1 (А, В) = 1 (В, А). Окрестностью, точки в С вЂ” фуннцинуэ(х) может служить совокупность функций у,(х), образующих э-окрестность нулевого порядка функции уэ(х). Легко показать, что р-окрестности нулевого порялка уловлетворяют всем аксиомам понятия окрестности. С может быть рассматриваемо как абстрактноепространство. Метрическое пространство.
Чрезвычайно важным понятием в геометрии является понятие расстояния. Мы постараемся ввести это понятие для абстрактных пространств. Расстоянием между точками А и В называется некоторая функция г (А, В) этих точек, удовлетворяющая аксиомам, являющимся обобщением главных свойств понятия расстояния в обычной геометрии. Эти свойства следующие: 1' г(А, А)=0, 1(А, В))0, если ВфА.
2' г(А, В)=г(В, А). 3' г (А, В) + г(В, С) ~~ г (А, С). Аксиома 1' утверждает, что расстояние между двумя точками положительно и расстояние всякой точки от нее самой равно нулю; аксиома 2' называется аксиомой симметрии) аксиома 3' — аксиомой треугольнина. Понятие расстояния в евклидовом п-мерном пространстве удовлетворяет этим аксиомам. Пространство, в котором введено понятие расстояния, называется метрическим. Рассмотрим некоторые примеры метрических пространств.
Пространство 1". Мы раньше рассматривали п-мерное пространство с евклидовой метрикой. Можно ввести в п-мерном пространстве другую метрику. Определить, например, расстояние между точкамн А (х„хз,...,х„) и В (у„у,...,у„) следующим образом: 1 гр (А~ В) (~л1 !у1 х1 ) ) 1=1 62 (гл. Ововщзнив ОснОВных понятий АнАЯНЯА Наконец 1 При р -+ оо, л~ стремится к единице, следовательно, средняя часть неравенства (6) стремится к х; равенство (5) доказано.
Гильбертово пространство. Непосредственным обобщением евклидова просгранства является гильбертово иространство. Точкой гильбертова пространства называется счетная последовательность чисел: х„х„..., х„,..., сумма квадратов которых сходится. Расстояние между точками А (хы хм ° ., х„.,'.) и В (у„уа,..., х„,...) определяется по формуле: чl г (А, В)= г' ~~.', (у,— х,)Я. 1=1 (7) Заметим прежде всего, что Гу, — х,)з = у,я — 2х и, — х,з < 2 (х,з + у,з).
Таким образом нз сходимости рядов ~~~ х,я,'~у1Я следует сходимость ряда ~1„'(у1 — х,)я, и, следовательно, расстояние между точками гильбертова пространства всегда можно определить по формуле (7). (А В)+г (В, С))~гя(А, г). Последнее неравенство есть непосредственное следствие неравенства Минковского, доказанного в концеглавы П!. Пространство с метрикой (3) обозначается 1!Ю. р Пространство из~~~. Можно также определить расстояние между точ- ками А (х„хя,..., х„) и В(у„у„..., у„) л-мерного пространства как наибольшую из абсолютных величин разностей их координат: г(А, В)=шах!!х1+у1!] (1=1,2,...,и). (4) и-мерное пространство с метрикой (4) обозначается символом гп1"1. Убедиться в том, что введенное сейчас понятие расстояния удовле- творяет всем аксиомам метрики, не представляет никаких затруднений. Мы сейчас покажем, что гпах!у,— х,)...
„=йш (~~.',~у,— х,)Я)" (б) Р-Асо 1=1 т. е. метрика пространства !и может рассматриваться как предель- ная для метрик пространств 1 ии В самом деле, если левая, часть равенства (5) равна й, то, значит, среди неотрицательных чисел )у1 — х, ~ есть, по крайней мере, одно равное й. Имеем: 1г' <~~~',)у,— х,~я < лйг, 1=1 1 1 71 < ( ~я~ ~~у, — х,~ ") < лл й. (6) % 81] АБСТРАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Пространство 1. Точкой пространства.! (р)~1) называется последовательность чисел: х„хз,..., х„,..., для которых сходится ряд ~Ч',!«< Р. <=1 Расстояние между точками А (х„ хз, ...,х„...) и В (у„у,....,у„, ...) пространства ! определяется по формуле: 1 г (А, В) = (~~'„!у< — х, !и)" .
(8) <=1 сходимости рядов ~~у<!Р, ~~~ )х<!"' <=1 <=1 части формулы (8). В самом деле Заметим прежде всего, что из следует сходимость ряда в правой силу неравенства Минковского: 1 !»<,Р)Р +(~', !х<!Р)Р. ('~~ ~ »< — «< !Р)Р ((ч~ Расстоянием г (А, В) между точками А (х„хз,..., х„,...) и В (у<, уз..., х„,...) пространства гп называется (верхняя грань абсолютных величин разностей у,— х,: зпр (у< — х, ! (! = 1, 2, .
„и,...). Для нас особенно важны следующие метрчческие пространства: Пространство С. Совокупность С непрерывных функций у(х), определенных на отрезке хо (х (х„образует также метрическое пространство. В качестве расстояния г(у, л) между функциями у(х) и я (х) мы принимаем близость нулевого порядка этих функций: 1 (у, з) = <пах ~ у (х) — я (х) ~ При таком определении расстояния, очевидно, ,'аксиомы 1 — 2 метрики удовлетворяются. Дзлее, из неравенства: !у(х) — и(х) ! ( !у(х) — л(х) !+ ~ «(х) — и(х) ~ при любых значениях х следует: [у(х) — и(х) ! ( щах ~ у(х) — з(«)!+ щах !д(х) — и(х) ~; х, ~ к .С к, х,~к~к< поэтому: и<ах !у(х) — и(х)( (щах !у(х) — г(х)<+ <пах !л(х) — и(х)~ к,ж к 4х, х, < к 4 к< к< С к С к, При и -+ оо правая часть стремится к конечному пределу, а потому схопится и ряд неотрицательных чисел в левой части.
Пространство <и. Точкой пространства гп является произвольнаа ограниченная по абсолютной величине последовательность чисел: х„х,..., х„,... [гл. Ч! ОБОБЩЕНИЕ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ АНАЛИЗА Таким образом аксиома 3 тоже удовлетворяется; С может быть рассматриваемо как метрическое пространство.
Пространство С„. Аналогично пространству С определяется про,странство С„, элементами которого являются функции, определенные на отрезке хо (х ( х, и обладающие на нем своими л непрерывными производнйми. Расстояние между функциями у (х) и л (х) пространства С„ определяется как их близости л-го порядка. Сфера в абстрактном пространстве. Будем называть сферой радиуса г вокруг точки А абстрактного пространства М и обозначать попрежнему через Я (А, г) совокупность точек А', расстояние которых от А меньше г. Совокупность сфер 3(А, г) удовлетворяет всем аксиомам окрестностей. Это следует из рассуждений, аналогичных тем, которые мы применили выше к сферам л-мерного евклидова пространства.
Поэтому за систему окрестностей метрического пространства будем принимать систему его сфер. Например, в и-мерном пространстве гпбй сферой радиуса г, описанной вокруг точки А, является л-мерный куб. с ребрами длины 2г, параллельными осям координат, в центре которого находится точка А. В пространстве С сфера радиуса е, описанная вокруг у (х), есть е-окрестность нулевого порядка функции, в пространстве С„ — а-окрестность п-порядка. 5 88. Предельные соотношения в абстрактном пространстве Мы сейчас распространим некоторые понятия, определенные в б 8 для л-мерного пространства, на случай любого абстрактного пространства.
Предельный элемент. Пусть в абстрактном пространстве К задано множество М. Точка А называется предельной для множестваМ, если всякая окрестность ху точки А заключает по крайней мере одну точку В множества М, отличную от А. В частности для метрического пространства, где окрестностями являются сферы, точка А является предельной для множества М, если сфера Я (А, е) любого рздиуса е, описанная вокруг А, содержит точку В множества М, отличную от А.
Эквивалентные системы окрестностей. Пусть мы ввели в абстрактном пространстве и новую систему окрестностей. Так как понятие предеаьногоэлемента определяется через понятие окрестности, то с введением новой системы окрестностей предельные соотношения могут нарушиться: точка А, предельная для множества М при прежней системе окрестностей, может перестать быть предельной для этого множества при новой системе окрестностей. Две системы окрестностей в пространстве и называюгся эквивалентными, если при переходе от одной системы окрестностей к другой предельные соотношения сохраняются, т.
е. если точка, предельная для некоторого множества при прежней системе окрестностей, остается предельной н прн новой системе, и обратно. Если в пространстве й мы вводим различным образом понятии расстояния (вводим различные метрики], то тем самым мы вводам различные системы окрестностей(сферы); окрестности в метрическом пространствеменяются с изменением метрики. Если системы сфер при двух различных метриках образуют эквивалентные системы окрестностей, то метрики называются эквивалентными. $ 38] пэвдвльныв соотношения в лвстглктном пгоствлнстве 65 ТЕОРЕМА.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
