Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Лля того чтобы две гигтемы окрегпгкостей (В„( и (й в пространстве й бмли эквивалеятяы, достаточно, чтобы каждая окрегтпоеть В точки А лростраягтва В первой системы заключала хатибы одну окреетяоеть ((лг той же точки второй слете.иы, и обратно В самом деле, пусть точка А является предельной лля множества М в первой системе.
Это значит, что любая окрестность (гл точки А первой системы заключает точку В множества М, отличную от А. Пусть теперь ~У есть произвольные окрестности точки Ангарой системы. По предположению, сгл заключает в себе некоторую окрестность й( первой системы окрестностей и„следовательно, содержит точку В множества М, отличную от А; Итак, всякая окрестность й второй системы тоже солержнт отличную от А точку множества М, т. е. А является предельной для М и при второй системе окрестыостей.Теорема доказана. В частности, две метрики будут эквивалентны, если каждая сфера, описанная вокруг точки при первой метрике, заключает в себе некоторую сферу, описанную вокруг этой же точки при второй метрике.
Например, мы ввели для и-мерного пространства рял метрнк: евклидову, метрику простраиства1 (и> (р) 1), метрику пространства т(п) Легко показать, что все эти метрики эквивалентны. В самом леле, кажлая евклидова сфера, описанная вокруг точки (хь х,..., х„), заключает внутои себя некоторый куб с центром в этой же точке и ребрами, параллельными осям коордиыат, н обратно. Так как такой куб есть сфера прн метрике т("), то отсюда следует, что метрика евклидова и метрика пространства гп("1 эквивалентны.
Очень иросто доказать также эквивалентность этих метрнк метрике пространства 1 (т. Рассмотрим теперь гильбертово йространство 1т; введем в ием новую метрику, именно метрику, аналогичную метрике пространства нк будем понымать пол расстоянием между тачками А (хн хт, ...,хв...) и В (у,, уэ ...,у„...) этого пространства е (А В) = зир ( у, — х ( (( = 1, 2, 3,...и....).
Легко показать, что новая метрика не эквивалентна прежней. Рассмотрим, например, последовательность точек: А (а (и) в, (и( гг (и) ) где ( 1 ( — при (' (л, "=1' 0 при () и. С точки зрения обычной метрики гильбертова пространства расстовниеточки А„ до нулевой точки О равно) ~~~аг(пр = 1; точка О не является предельной для р последовательности А„; с точки зрения метрики пространства т расстояние 1 ат А„до О равно —; точка О является предельной ч(ля последовательности Аге Естественно возникает вопрос, прн каких условиях можно ввести в абстрактном пространстве й чакую метрику, прп которой система сфер была бы эквивалеытна системе окрестностей пространства В.
Введенме такой метрики называется метрнзацией пространства й. Эта проблема была разрегаена П. С. Александровым и П. С. Урысоном. ОБОБЩЯНИВ ОСНОВНЫХ ПОНЯТий ЛНЬЛИЗЛ Область. Ойласгиью б абстрактного пространства )т называется совокупность его точек, обладагошая тем свойством, что если точка А принадлежит б, то существует окрестность У„этой точки, целиком вьодлщей в б., В качестве примера можно привести область и-мерного пространства, определенную в й 8. Сфера (без границы) в любом метрическом пространстве есть область. Общее, в, силу аксиомы 3' окрестностей, вся"кая окрестность любой точки абстрактного пространства есть область.
Точка А 'абстрактного пространства гс, не принадлежащая области б' и предельная для точек этой области, называется граничной точкой области б. Совокупность всех граничных точек называется границей б. Обласз.'ь'б вместе с ее границей называется заткнутой и обозначается через б.
ЗимкнутЬе множество. Множество М точек абстрактного просграи.- ства ьч называется зпинутыж на Й, если оно заключает все, свои предельные точки. ТЕОРЕМА. Область в.иетпе го своей араницей есть залгннутое жнолгввтво. Доказательство этой теоремы, данное в б 8 дпя случаи евклидова пространства, сохраняет силу и для любого абстрактного пространства. Сходнмость. Мы скажем: последовательность ',А„,' точек пространства гч сходится к точке А, если любая окрестность Ц„ точки А содержит почти все элементы последовательности А„.
Мы будем писать в этом случае." !Нп А„= А. и ь Элемент А называется пределолг последовательности А„. В метрическом пространстве, если А= !ИпА„, го !пп г'(А, А„) =б. В свмом деле, окресгностями точки А в этом случае явлеотсн сферы о(А, в); каково бы ни было положительное число в, почти все А„принадлежат сфере о (А, в), т. е. для 'почти всех п, г(А, А„)(в. Поэтому !Ип г(А, А„) =О. и.+ Полнота. Последовательность ',А„,' точек метрического пространства Й называется последовательностью Коши, если для любого положительного числа в можно указать такое Аг, что г(А„, А„) < в, когда и ) АГ, т) Аг.
Пространство !ч называется полнмль, если любая последовательност Ко~пи его элементов сходится. й 39) ФУНКННЯ ТОЧКИ АБСТРАКТНОГО ПРОСТРАНСТВА 67 ,Прнмером, полных пространств может служить евклидова п-мерное пространство, а также и-мерные пространства 1„и Гп т1 ОО Можно также доказать, что все пространства 1, в том числе гильбертово, а также пространство гп — полные пространства.
Компактность. В теории непрерывных функпий и переменных существенную роль играло свойство компактности ограниченных замкнутых множеств в п-мерном пространстве. Естественно распространить это поня~не для любых абстрактных пространств. Множество М, заключенное в пространстве Й, называется компактным в себе, если всякое бесконечное подмножество М' множества М обладает хотя бы одним предельным элементом а, принадлежащим М.
Например, таковыми будут замкнутые ограниченные множества в п-мерных пространствах (сы. й 8), Можно говорить о компактности всего пространства. Пространство )с называется компатпным, если всякое бесконечное множество его точек обладает предельным элементом а из )ч. Отрезок прямой, рассматриваемый как пространство, компактен. Неограниченная прямая некомпактна, так как последовательность ее точек с целочисленными абсциссами 1, 2, 3,...
не обладает предельным элементом, точно также все простанство )ч являетси некомпактиым. Компактное множество на 1ч. Множество М называется компаклгным на )ч, если всякое бесконечное его подмножество М' обладает хоть одним предельным элементом а нз Й (в отличие от определения компактности в себе а не обязательно должно принадлежать М). Очевидно, всякое замкнутое компактное множество М компактно в себе, нбо в случае замкнутости М предельные элементы подмножеств множества М принадлежат М. Примером компактных множеств может служить ограниченное бесконечное множество в и-мерном пространстве. Компактность в малом. П.
С. Александров ввел понятие пространства компактвого в малом. Пространство Й называется компактным в малом, если в вем всякая точка а обладает хоть одной компактной окрестностью 1гк и-мериые пространства Р„комвантиы в малом: достаточно в качестве окрестности 11 точки а ваять любую ограииченвую окрестность, например сферу с центром в а. Если М вЂ” множество, компактное в пространстве к, а М,— бесконечное подмножество множества М, то Мг тоже кампактво з к. В самом деле, всякое бЕСКОНЕЧНОЕ ПОДМНОжЕСтВО ииажЕСтва Мг ЕСТЬ В ТО жЕ ВРЕМЯ ПОАМИОжветеи множества Мь з лозтоиу в силу компактности М обладает чредельяыы элементом кз к.
9 39. функция точки абстрактного пррстринстви Понятие непрерывной функции. Пусть каждой точке А абстрактного пространства отвечает число г(А). В этом случае г(А) называется функцией гпочки абстрактного пространства. г'(А) называется функцией непрерывной в точке А, если каково бы ии было положительное чксло е, найдется такая окрестность агл точки А, что для любой точки А', принадлежащей гул, будем иметь: /Д(А') — г'(А) ) ( з.
ОБОБЩЕНИЕ ОСИОВНЫХ ПОНЯТИЙ АНАЛИЗА [гл. И Для метрических пространств это определение можно формулировать также в обычных терминах (также как непрерывность функции точки евклидова и-мерного пространства): У(А) непрерывна в точке А, если для каждого положительного е можно определить такое положительное число тЬ что [У(А') — У(А)! < е, коль скоро г(А', А') < т„ короче говоря, если [У(А') — У(А) 1 стремится к нулю вместе с г(А', А). Функция, непрерывная в каждой точке пространства К, называется непрерывной в гч.
Например, интеграл / г (х, у, у') дх непрерывен в пространстве х, функций у=у(х), обладающих непрерывной производной, если функция Г равномерно непрерывна относительно у и у' '). Непрерывные функции на компактных пространствах. ТЕОРЕМА ВЕИЕРШТРАССА 1. Непрерывная функция У(А) в компактном абстракгпном пространстве Й ограниченна сверху и снизу. Пусть, например, непрерывная в [ч функция У(А) не ограниченна сверху. Тогда найдется последовательность точек; 'А„АЕ ..., А„,... (9) такая, что У(А„) неограниченно возрастает вместе с и.
В силу компактности последовательность (9) имеет хотя одну точку сгущения А . Вследствие непрерывности У(А) можно построить окрестность 1Ул точки А, значения функции У(А) в которой отличаются от У(А ) меньше, чем некоторое заданное положительное число а. Отсюда в точках А', принадлежащих ТУЗ, имеем:У(А') <У(АО)+г, т. е. в ~УА функция У(А) ограниченна сверху. Но в окрестность Ц попадет бесчисленное мноАо жество точек последовательности (9) со сколь угодно большими индексами, и по вашему предположению У(А,) неограниченно растет вместе с индексом. Наша гипотеза неограниченности У(А) приводит к противоречию.
ТЕОРЕМА ВЕ[тЕРШТРАССА 2. Непрерывная фунггцин У(А) в компакгпном абсгпрактном пространстве К достигает в нем своего минииума и максимума. Функция У(А), как мы только что убедились, ограниченна. Пуеть т — ее нижняя граница, построим последовательность точек А„А,..., А„,... так, что У(А„) < т+е„, где А„— некоторая стремящаяся к нулю последовательность убывающих г) За окрестность „точки" у(х) здесь принимается окрестиость первого порядка. % 40) линейнь|е пеостелнстзл положительных чисел. Последовательность А, имеет по крайней мере одну точку сгущения Ае.
Докажем, что ~1Ао) = т. Допустим, что г(А ) ф т, следовательно, /(Ае) = т+ е Построим окрестность сгв точки Ае, в которой значения функции отлиЛо чаются от г1Ае) меньше, чем на-. Очевидно, если А' принадлежит аУ, то 2' л~' Г'1А')') ис+ 2 . Так как последовательность в„ -+ О, то, начиная с некоторого индекса, е„ ( — и точки А„ начиная с некоторого номера, должны лежать вне с/, Но тогда точка Ае не могла бы быть точкой сгущения. Этим противоречием теорема доказана. „Мы видели, какую существенную роль играла теорема Вейерштрасса в исследовании вопроса о существовании стационарных точек ($ 16). Доказанное нами ее обобщение играет столь же важную роль в исследовании экстремумов функций более общего вида, в частности функционалов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
