Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Так как теорема доказана для компактных абстрактных пространств, то естественно поэтому, что в вариационном исчислении большую роль будет играть изучение компактных семейств линий. яг 40. Линейные пространства Общие определения. Для того чтобы распространить на более обширный класс функций аппарат анализа, мы прежде всего должны определить понятие диференциала. В теории функций п переменных диференциал определялся как главная линейная часть приращения функции.
Но это определение требует определения понятия линейной функции. Определение же линейной функрии требует, чтобы над элементами нашего пространства можно было производить операции сложения и умножения на постоянное число, причем в результате этих операций должны получаться элементы нашего же пространства. Операция сложения заключается в том, что двум элементам А и В множества М относится третий элемент1С этого же множества, обозна чаемый С=А+В.
Эта „операция обладает следующими свойствамя (аксиомы сложения): 1'. А + В = В + А. 2'. Существует всегда единственный элемент, удовлетворяющий уравнению А+Х=В; мы обозначаем его: Х= — А. 3'. (А+В)+ С= А+(В+ С) Относительно операции сложения линейное пространство образует номму- тат явную группу.
7О 1гл. 171 ОБОБщении ОснОВных пОнятий анализа Опврацня умножения на вещественное число й должна удовлетворять совместно с операцией сложения еще следующим условилмг 4'. 1 ° А=А. 5'. й (гА) = (йг) А. 6'. (й + 7) А = йА + 7А. 7'. й ~А + В) = йА + йВ. Здесь А и В суть элементы множества М, й и У вЂ” вещественные числа. 8'. Пространство обладает единственным нулевым элементом 4) О=О ° А =А — А, где А — произвольный элемент. Этим аксиомам удовлетворяли для векторов в л-мерном пространстве операции сложения и умножения на число.
Этим же аксиомам удовлетворяет. обычное сложение непрерывных функций и умножение их на постоянное число. Пррстраиство, лля элементов которого установлены операции сложение н умножения на вещественное число, называется линейкььц Лроелгринслгеом. Простейщими линейными пространствами, а именно л-мерными линейными пространствами, мы занимались в главе 1. Линейные многообразия. Точки: А,,АЯ,..., А„ называются линейно незаеиси.ными, если они не удовлетворяют никакому равенству: ~чР~ й, А, = О при любых йп не равных одновременно нулю.
Линейным и-мерным многообразием в абстрактном пространстве называется совокупность точек А, удовлетворяющих равенству: А = ~г~,.АП г=г' тле А, — система линейно независимых элементов, 1, — значения некоторых числовых параметров. Если одно из чисел т, приравнять единице, остальные †ну, то точка А совпадет с соответственной точкой А,; точки А, лежат на на~Нем многообразии. В частности одномерная прямая определяется уравнением: А=Ы,-1-В, гле 4е н  — заланные элементы М. Если в линейном;пространстве ииеется не более чем й линейно независимых элементов, точвсечостальные будут линейно выражаться через эти элементы.
Если иы фиксируем л линейно независимых элементов: Ап А„..., А», лиивйныв пеостглиствл то всякий другой элемент А вместе с Гг элементами.А, должен удовлетворять линейному соотношению: л 7А + „~~~ 1,А,. = О, 4=1 где не все числа 1, и 1 равны одновременно нулю. Если 1= О, то ~.'~~А, =О, при не всех 1,=О, что невозможно, так как элементы А, линейно независимы, следовательно, 1 ф О. Тогда я ь А = — — ',',г,А,=,"~,А, с ю (гя,. = — г') Каждому элементу А можно отнес~и Ф чисел: ~я ' .
~» которые можно рассматривать как его к о о р д и н а т ы. Наше пространство есть л-мерное линейное пространство. Прямая и вектор. Пусть дана прямая 110) А = 1А, +В„ и пусть Ао=~аА1+В~ Ае =~,А +Вп .1а+ Ь (~.(~' а 1+10 ~, (1а — Ь~,Ъ ~~ а," — !10 ~и Назовем отрезком АА' совокупность точек прямой (10), отвечающих значениям параметра 1, удовлетворяющим неравенству 1а(1 ~1п Отрезок АА' вместе с направлением на нем (от А к А' или наоборот) называется веюаоролс Мы обозначаем вектор символом АА'. Вектор АА' есть отрезок АА' с направлением от А к А'. Точка А называется началом, А' — концом вектора.
Ничего не меняя в рассуждениях ф 2, можно показать, что через любые две точки можно провести единственную прямую. Такии образом если ланы две точки А и А', то эти точки опрелеляют единственный вектор АА'. Отсюда, принимая некоторую точку О пространства за нуль-точку, мы можем каждую точку А рассматривать как конец вектора ОА с началом в нуль-точке. Линейное пространство можно, следовательно, рассматривать как совокупность векторов. Метрика. Мы будем в лальиейшем обозначать вектор ОА просто буквой а. Наше пространство есть в одно и то же время совокупность точек А и совокупность векторов а с началом в О и концами в этих же точках. Для дальнейших построений допустим, что наше линейное пространство метрическое.
Длиной вектора а назовем расстояние от О до точки А. Будем обозначать его символом )а((. Очевидно: 1гл. Ч1 72 ОБОБЩВИИВ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ ЛНЛЛИЗЛ Будем называть метрику линейной, если 1'. г(а, Ь)=-!а — Ь!'„ 2'. !на!= ! Й~ ° !а!!, где Й вЂ” действительное число. Этим условиям удовлетворяет, как легко видеть, метрика и-мерного евклидова пространства, а также метрика пространств 1 ~ и гп~ Гильбертово пространство, общее — пространство 1„, есть тоже линейное пространство с линейной метрикой. Достаточно рассматривать каждую точку А пространства 1 как конец вектора а с началом в нулевой точке и определить действия над векторами в пространствах по аналогии с действиями над векторами в л-мерных пространстчах: 1'.
Если а = — (ан лл,..., а„,... ), Ь (Ьп г1Б Ь ° ) а + Ь = (а, + Ьн па + де,..., а„+ д„,... ), Йа=(ла,, Йая,..., Ьа„,...). 1 ~.~~=(Х~,~")' Линейная функция. Функция г(А), определенная иа линейном пространстве, называется линейной, если она удовлетворяет следующим условиям: 1. У(А+В) =У(А)+У(В). 2'.
г(А) — непрерывна. Следствие. Если У(А) есть линейная функция, то г" (ЙА) =- л/(А), где Й вЂ” произвольная константа. В самом деле, из свойства 1' следует 7(2А) =-У(А+ А) =~(А)+У(А) = 2У(А) 7'(ПА) =- лу'(А). /(А) = г (а — ) = л г ( — ) г" (-) = — г'(А). и вообще Далее: (11) (12) Наконец: в силу равенств (11) и (12) для любого рационалъита чнста— «( — А1 = лг~( — ) = — г(А). Таким образом наше предложение доказано для рациональных зиаче..
ний Ь.,В силу непрерывности функции г(А) оно доказано для любого значения Й. 73 лпнкйные пгосгглнствл В частности, полагая * = О, получаем: у(р)) = о, где Й вЂ” нулевой элемент нашего пространства. ТЕОРЕМА 1. Ест< у(А) есть линейная фуккчия,то гугцвгтвует постояппое положипгельпое число К таков, что ! г (А) ! < К(! А !) (13) В самом деле, пусть это свойство не удовлетворяегсз; каково бы ни было число и, существует такой элемент Ав нашего линейного пространства, что )у(Ав) !) и !'А„!(. (14) Обозначил< через В„ элемент: А„ пЦАь!( ' (15) Имеем !!А„1 (~ В„)! = — — "— = — .
и!!Аь( и ' Поэтому последовательность элементов В„сходятся к нулевому элементу е. В силу непрерывности У(А) мы должны иметь: 1пп У(В„) = у (П) = О. и-ь< Но, с другой стороны, пз (!4) и (15) вытекаег: ',У(Вв)! = — — )У(А ) ! ) !.
1 и'зА„!! Приходим к противоречию. ТЕОРЕМА 2 (обратная 1). Пусть гбункг(ая У(А), эадпкная в гинейком пространстве, удовлетворяет условия.ч: 1<. У(А)+У(В) =У(А+ В). 2'. )У(А))(К!(А(! ' (К вЂ” некоторая константа) В этом случае у"(А) есть линейная фуккц<гя от А. В самом деле, при условиях теоремы имеем: !У(А) — У(В) 1=!У(А — В)!<К!)А — В!!. Повтому для всех элементов В, лежащих в достаточно малой сфере вокруг А разность |(В) — у(А) будет сколь угодно малой, т. е. функция у(А) непрерывна в аюбой точке. Непрерывность вместе с условием 1' теоремы и есть условие линейности У(А). Таким образом теорема 2 доказана. Пример. Координата а, точки А (аг, аз,..., а„,...) гильбертова пространства есть линейная функция на гильбертовом пространстве: двум близким точкам соответствуют близкие <-е координагы, сумме двух гочек соответствует сумма г.х координат этих точек.
Бнлннейньге функции. Рассмо~рим функцию г"(А, В) от пары точек А, В линейного пространства (ч, линейную и относительно А и относительно В. Имеем: ДА, В+ В,) =7'(А, В) — 'У(А, В,), У(А+А„В+В<) = У(А, В+В<)+У А„В-',-В<у. Следовательно: У(А+А„В+В<)=У(А, В)+У(А„В)+~(А, В<)+7'(А„В<). (16) (гл.
Ч1 ововщвнив основнык понятий лнллизл Далее У(ЬА, 7В) = Ь(У(А, В). (17) Функции г(А, В), обладающие указанными свойствами, называются билинейными. Если г(А, В) =у(В, А), то билинейная функция называется симметрической. Квадратические функции. Пусть Г(А) =у(А, А), где у — симметри-' ческая билинейная функция. Функцию Г(А), определенную таким образом, мы будем называть квадратической. Из (16) и (17) получаем; Г(А+В)=Г(А)+2Г(А, В)+Г(В), Г(ЬА) = ЬтГ(А). Интеграл / (г(х)1а Их есть простейшая квадратическая функция в функциональном пространстве 1,.
й 41. Днференцнал функции на линейном прострамстве Первый диференциал. Пусть г(А) — непрерывная функция в линей- ном пространстве 1т. Рассмотрим разность У(А,) — У(А), которую назо- вем приращением функции, а соответственный вектор АА, назовем при- ращением переменного А. Если существует такая линейная функция Ь(А), что У(А,) — У(А) = У. (А, — А) + е ~~ А, — А )~, где а стремится к нулю вместе с !~А,— А1, то Ь(А,— А) назовем диференииалом функции У (А), соответствующим приращению А, — А, и обозначим: Ыг(А). Итак, У(А,) — У(А) = ф'(А)+ а~(А, — А(~. Иначе: обозначая А, — А через Ь: У(А + Ь) — У(А) = гЦ(А) + е (( Ь ~~ . Для того чтобы показать, что йг(А) берется для приращения Ь' будем его обозначать иногда через НУ(А; Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
