Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Как и в предыдущем случае, мы выделим подмножества из К 88 (гл. Ч11 ФУНКЦИОНАЛЫ И ВАРИАЦИЯ Выбрав из каждой совокупности )ч~~~ по одной функции у (х), получим: ~у И(х) — у( ) (х) ~ е, Отсюда мы заключаем, что последовательность функций у (х) схо- дится равномерно к предельной функции у(х), которая также принад- лежит )ч ТЕОРЕМА. Ялн того чтобы множество М функций у (х), при- надлежащих С, было компактно на С, необходимо и достаточно, чтобы М было равномерно непрерывным и равномерно ограниченным множеством функции. Д о с т а т о ч н о с т ь этого условия вытекает из теоремы Арчела.
Всякое равномерно непрерывное множество М функций есть часть компактного в себе множества гч, Докажем необходимость этого условия. Если М не равномерно непрерывно, то возможны два случая: а) существует последовательность функций у„(х) из )1(( и значения х„ на отрезке а (х ~ д такие, что 1пп )у„(х„)~ = оо. п -+со В этом случае очевидна некомпактность М, нбо ни последовательность у„(х), ни любая ее подпоследовательность не может равномерно сходиться ни к какой функции; Ь) существует последовательность функций у„(х) из М и последо- вательность пар чисел х("), х,("), удовлетворяющих условиям 1цп ! х,'"' — хсй ) = 0 П -Р 'Х~ (х и х, лежат на отрезке а.(х (д) и таких, что (о) (ч) / у( ) (х,( )) — у( ) (х( )) ~ ) г, (7) где г — положительная константа.
Последовательность у (х) не может (а) равномерно стремиться ни к какой непрерывной функции у(х). Допу- стим обратное: у'")(х) равномерно стремится к некоторой непрерывной функции у(х). Для у(х) можно указать такое положительное число й, что всегда Ь(х)) — у(х)! С вЂ”,', (8) КОЛЬ СКОРО (х, †х ! ( Л. Далее, в Силу равномерной сходимости у~~~(х) к у (х) существует такое число )Ч, что для любого а (х ( 6 (у (х) у(х)! ( коль скоро и ) )Ч. Потребуем от и, кроме того, чтобы ~ „( ) х(ч) ~~й (9) (что возможно, поскольку левая часть неравенства (9) стремится к нулю при и-+ оо).
В силу (8) и (9) / у(х,(")) — у(х(")) ! < —, 9 44] комплктность в вхнкцнонлльных пгостелнствлх с другой стороны, ]У (х, ) — У (х' ) ](]У" (хин) — У(х,'"~) /+ )У(хйй) — у(хчб)] ] — ' у (х ю) — у " (х " ) ' ( — + — + по противоречит условию (7). Аналогично, никакая часть последовательности у„(х) це может равно- мерно сходиться. Пространства спрямляемых кривых. Рассмотрим теперь простран- ство, элементами которого являются плоские кривые -, заданные в пара- метрической форме: х = 9., (~), У =- йя (Г). Как известно, задание кривой в парамегрической форме неоднозначно: рассматривая 1 как монотонную функцию некоторого параметра т, 1= 1(т), мы можем перейти к новому изображению той же кривой: х = м, (~ (т)] = 6, (т), у='..(~(т)]=! (). Пусть (1о) Ао АпАе,...,А„ точки кривой Т, отвечающие значениям параметра й ~о = Го' Ф т'4 ~г' - -- ° ° ° ~( ~„' = ~п Соединив последовательно точки (10) отрезками АгАт+, прямых, получим вписанный в кривую полигон ргг Если число л стремится к бесконечности так, чтобы максимум разности Г',+, — г' стремился к нулю, то длина полигона р„будет стремиться к пределу (конечному или бесконечному), называемому длиной кривой ~е.
Этот предел не зависит ни от выбора последовательности полигонов, ни от выбора параметрической формы задания кривой '). Кривые конечной длины называются слрялляелгыли. Рассмотрим пространство гт всех спрямляемых кривых о, расположенных в ограниченной замкнутой плоской области 4е, длины которых не превосходят А Пусть две кривые ф и 6 пространства (т заданы в параметрической форме уравнениями: х = т, ®, у = ма (г); х=ф (г), у=ф (г) Обозначим череа е максимум расстояний между точкамл кривых й и ф, отвечающих одному и тому же значению параметра. а зависит от параметрического задания кривых м и 6.
Определим теперь расстояние от ~ до ф: г(э, ф) = 1п1а г) Александров и Колмогоров, Введение в теорию функций действительного переменного, ГТТИ, 1935 г. [гл. У11 90 етнкционллы и влгилция (как нижнюю границу чисел е при всевозможных видах параметрического задания этих кривых). Определенная таким образом метрика в пространстве рт, как нетрудно убедиться, удовлетворяет всем требованиям аксиом метрики. В самом деле, сомнения могла бы вызвать только третья аксиома: докажем, что и она удовлетворяется. В самом деле, пусть л='р (1) У='. ~~(1) (1 = 1> 2, 3; 1о (1 ( 1,) суть параметрические представления трех кривых о~ ~, о~ ~, о1 ~. Обозначим: е, = шах Яр [ср,"1 (1) — ~р, " (1)]Я+ [ср (1) — оя (1)]Я, шахУ [„ы>(1) „ол(1)]Я ] [р <з>(г) о пи(1)]Я е, = гпах рг [е, (Г) — о, (1)]э+[у (Г) — рз (1)]е; очевидно: ез( ~ ] ея отсюда: 1п1 е (1п1 е, +)п1 е или: г(срц1, о ~) ( г(срн1, срол)-~-г(ср1п, о'з~), х=9,(1), [ у=,;,(1), l (О 1(1), где т,(г) и р (1) — ограниченные функции.
В частности, если х = ~>~ (1) = соп51., у з (1) сопз1, то кривая вырождается в точку. Эти вырожденные в точки кривые мы тоже отнесем к совокупности [о]. Локажем, что пространство [т компактно. С одной стороны, функции х = о, (1), у = ег (1) определяющие уравнение кривой о пространства Я, удовлетворяют условию Липшица: ]= (Ф,) — 9,(1)] ="1,'1,— 1]. что и требовалось доказать. Пусть о есть кривая из Я длины 1, ( 1. Примем на параметр 1 1 в точке А кривой у значение — з, где г — длина дуги кривой о, заклю- 1 ченной между ее началом и точкой А. Когда точка А описывает кривую э, параметр 1 изменяется от О до 1.
Таким образом все кривые о из Й изобразятся в виде уравнений: $45! ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ И ВАРИАЦИИ 91 В самом деле, из определения нашего параметра 1 длина дуги й между точками [э1(1,), эя(11)] и [1Р1(1), е>я(1)] равна 1, ! 1,— 1[, где 1, — длина кривой ач Фак как разность между абсциссами и ординатами концов дуги не превосходит длины втой дуги, то ! Й1(11) —;,(1)[(1, [1,— 1[, ! 11г(11) ез(1) ](11 ! 11 1! ' пРичем 1, (1.
С дРУгой стоРоны, фУнкции 9,(1) и >)>я(1) РавномеРно ограниченны. Отсюда, применяя доказанную выше теорему, получим: из всякой последовательности; 5 45. Линейные функционалы и вариации Общее определение. Линейные функции в функциональном про.транстве называются линейными функционалами.
Линейные функционалы 1.[у(х)) определяются следующими свойствами: 1'. 1. [у (х) + у, (х) ! = 1. [у (х)] + 1. [у, (х) ], 2'. й [у(х)] есть непрерывный функционал. В качестве примеров линейных функционалов в пространстве С можно взять интегралы: 1. [у] = /у(х) ах, а 1. [у] = / А (х) у (х) йх, а (11) (1Г) где А (х) — произвольная функция от х. „(1)) 12) (а) кривых пространства )т, заданных нашими уравнениями х = м1 (1), н) у = е >® (1) (О (1 ( 1) можно выбрать подпоследовательность еон), о)"'),..., Н)ав) >..., дЛя КОторой 111~">)(1) и >аз~"1) (1) при О (1( 1 равномерно сходятся к предельным функциям >Р1(1) и ея (1). Кривая изображаемая этими предельными функциями, имеет тоже, как легко убедиться, длину, не превосходяшую 1.
Следовательно, е также принадлежит Я. Таким образом нами доказана следующая теорема. ТЕОРЕМА ГИЛЪБЕРТА. Совокупность асех епрямляемых кривых, длины которых не превосходят данного числа 1 и расположенных л закрытой ограниченной плоской области, компактна. Заметим, что второе условие (принадлежать замкнутой ограниченной области) можно заменить условием, чтобы один из концов всех кривых находился в данной точке или принадлежал некоторому ограниченному замкнутому множеству. [..
чп 92 ьтнкциоиллы и влгилция Важный класс линейных функционалов в пространстве С представляют так называемые интегралы Стильтьеса (81!е11)ез) '), обозначаемые так: / у (х) йи (х), й (12) есть величина, стремящаяся к нулю быстрее расстояния г(у, у,), т. е. У (у ) = У(у)+ Т (у — у) + (уг у), где я стремится к нулю вместе с г(у„у). Первый диференциал функционала У(у) называется его вариацией и обозначается символом Ы: бУ=Е (у,— у). Итак, вариация функционала есть линейный функционал от приращения функции, представляющей собою главную часть приращения этого функционала. Я 46. Вариация для простейшего функционала Вывод зарницин. Пусть нам дан функционал у=/у( у у)й и где г обладает непрерывными производными второго порядка по всем трем аргументам. Рассмотрим на функциональном пространстве С, всех ') Александров и Кол и агоре в, Введение в теорию функций действительного переменного, ГТТИ, 1935.
а) Можно доказать, что всякий линейный фуикционал в С имеет виа (12) где и(х) — некоторая функция, с ограниченной вариацией; у(х) мы считаем здесь непрерывной функцией я). Вариация как диференциал функционала. Мы, анализируя вопрос об экстремуме диференцируемых функций, определенных на линейных метрических пространствах, установили, что в точках экстремума первый диференциал обращается в нуль.
В применении к функционалам, т. е. к функциям точки функционального пространства, мы должны были бы получить как необходимое условие экстремума обращение в нуль первого его диференциала. Нашей ближайшей задачей является определить первый диференциал функционала. Рассматривая в 9 31 функционал как предел функции от многоугольника, мы определили его диференциал как предел диференциала этой функции.
Сейчас мы определим его, исходя из общих соображений. Пусть в'(у) есть функционал, зависящий от функции у(х). Диференциал функционала а'(у), заданного в некотором функциональном пространстве [при переходе от функции у (х) к новой функции у,(х)), должен быть линейным функционалом Ь(у, †.у) от разности этих функций такой, что: в (у ) в (у) — 1 (у у) 9 4б) вавиация для пеостейшвго еянкционллл 93 диференцируемых функций у(х), обладающих непрерывной производной, причем за расстояния г(у, у,) между функциями у (х) и у, (х) примем их близость первого порядка. Пусть у(х) и у,(х) — две функции, входящие в С,. Обозначим их разность символом Ьу = йу(х) =у, (х) — у(х); очевидно, Ву обладает всюду непрерывной производной: — йу = у', (х) — у' (х) = Ву' (х).
Имеем: 1(у,) — У(у) = / 1 1(х, у — , 'Зу, у'+ Ьу') — Д(х, у, у')) Нх = = / (~я оу+У ° йу') ах+ — ~ 1 г' „йуе+ 2г' „, оуйу'+ф,.йу'Я ', пх, где черточка над вторыми производными т'„„, ~„ач ф означает, что они берутся для аргументов х, у+0,еу, у'+вяесу' (а~0,~ <1, )0я~ < 1). Пусть е=г(у, у,), т. е. е есть больший из максимумов )оу~ и ~йу'~ на интервале 1а, Ь]; пусть дг — наибольший из максимумов функций у „, ~„ач ф„от трек переменных х, у, у', где а <х.- Ь, у (х) — г (у, у,) < у < у (х) + г (у, у,), у' (х) — г(у„у) < у' < у'(х) + г (у, у') Очевидно, ь ~ ( ~„а йуа + 2 ~„0у Ьу' + у„„Зу я) с1х ' < 4 Н (Ь вЂ” а) Я (у, у,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
