Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 21
Текст из файла (страница 21)
$49] ВУОРАЯ ВАРИАция и услОВия лежАндРА ь Пример1. г(у г)= / А(х)у(х) г(х) гух есть билинейный симметрический а функционал на С. ь У(у) = / АуМх а есть соответственный квадратический функционал. ь Пример 2. г(у, г)= / [Ауг+В(уг'+гу')+Сух]бх есть билинейный а симметрический функционал в пространстве Ст всех функций, определенных на отрезке а (х ~ Ь. ь У(у) = /(Ауз+гВуу +Су ) 1 а есть квадратический функционал в том же пространстве. Второй дифереициал. Перейдем теперь к исследованию функциона- лов вида: .Цу) = /~(х, у, у') цх, а заданных на пространстве кривых класса С, с фиксированными концами..
Разлагая в ряд Тейлора функцию )' н вводя обозначение: у,(х) =у(х)+Зу(х), где оу (а) = Зу (Ь) = О, имеем: 3(УД вЂ” 5(У) = ~ Ц ЬУ+~„оУ')сйх+ — ~ Ц„гоУЯ+Ъ~„~ЯУЗУ'+ф„йУ'з) с(х, (22~ где ~„„=У'„„~х, у(х)+ййу(х), у'(х)-т-Яу'(х)1 (~0! <1). и аналогично определяются уг„и ~„у Прн достаточно малом г(у„у) (расстояние понимается в смйсле блйзости первого порядка): угг =.у + угг —— угг + за.
у,~=.у„~+;. где глад~а, ~, шах~в ], юах~зз! стремятся к нулю вместе с г(у, у,) Имеем: у(у1) — у(у) = ь ь / ()гйУ+ф ЬУ ) с(х+ —, ~ (Угг ЗУЕ+ 2)'„г ВУЗУ'+ф ° ЗУ'з) Их+а,. где е = / (а, оуз + 2зз Зу йу'+ ез оу'в) Нх . а (гл. Чн 1ОЕ егнкцноналы и вьгиьция Так как ] / ее Ву Ву' Ых1 ( / Ц е, ] Вуе + ] ее Яу'я) йх, а а то ь е= / (ееВуе+ее ау Я) йх, а где еь и еь равномерно стремятся к нулю нместе с г(у,у,). Так как ] Ву] <г(у,у,), ]Ву'] <г(у,у,), "го ]е]~((шах]еь]+шах]еь]) г(у,у,)е. Пренебрегая величинами порядка выше г(у,у,)Я, имеем из (22): У(Уг) — У(У) =Ы+В"-У. кде Вз есть первая вариация функционала з'. ВХ= / Д„Ву+фйу') пх, — 2 /И„гЬ'+М„„ВУЮ+~ее ВУ )йх у(х)+гйу(х).
1(у(х)+ГВу(х) ] Рассматривая на этом семействе как функцию Г, получаем: а~~ (у+ у] ь=ь ь = Ве 1 = / (~ „Вуе+ 2У'„„Ву Ву'+/ азу'Я) йх. (23) Необходимое условие мпнимума 1 заключается в том, чтобы для любой допустимой вариации ьу Веу)~ 0. (24) или, что то же, вторая вариация Ве1 была неотрицательным квадрати- ческим функционалом ($42). Квадратический относительно Ву функционал ВзУ есть второй дифереициал функционала А Мы будем его называть второй вариацией з. Условие Лежандра.
Рассмотрим однопараметрическое семейство функций: 1ОУ $49] втовля вевилция и вплавив лвжандва Так как Зу(а) =Ьу(Ь)=О и ь ь ь 2 ~ ~„е Ьуйу' бх= д~ Уее И(йуч) = — / — й» Дев) Ьуа бх, то азу= 1(РЬув+Кау' ) дх, е Р=-'1 — — у ' 2~ее дх ее~' 2 ее' Установим сейчас одно необходимое условие неотрицательностн формы: ь ~ (РЬЬР + Иу'Я) бх.
и ТКОРЕМА ЛЕЖАНДРА. Для того чтобы квадратический функйионал ь ~ (Р(х) Ьув+ Р(х) Ьу'Я) дх Допустим, что для некоторого хо (а ( хе ( Ь) Рт (хе) = — 2р (р) О). В таком случае в силу непрерывности ег(х) мы можем предполагать, что на некоторои сегменте [ап Ь,] длины А) О, заключающем точку хе и содержащемся в сегменте [а, Ь], имеем: Й(х) ( — Р при а„(х(Ь, (Ь,=а,+А). Обозначим через М максимум [Р(х)[ в интервале [а, Ь] и построим функцию Ьу=ьу(х): з1пзя " ' при а, (х(Ь,, ау(х) = О в остальных точках интервала. (25) Построенная функция Ьу(х) принадлежит классу Ск Имеем: ь ь, У (Р~У+ Фу") дх= ~ Рз1пеп' — „" дх+ а т ь, + / Я вЂ” ~юч2 'б (дюг — Р Ьч л л был неотрицательным, необходимо, чтобы на отрезке а ( х ( Ь удовлетворилось неравенство: ег (х) )~ О.
[гл.' УП 108 еьнкционьлы и ваьилция рва При Ь достаточно малом Мй — — 'становится отрицательным. Выбрав л соответственно й и подставив в (25), получим функцию Зу(х), для которой ь / (Реуе + Яйу'ь) с~х ( О. О Отсюда следует необходимое условие минимума; УСЛОВИЕ ЛЕЖАНДРА. Для того чтобы экстремаль у =у (х) реализовала минимум функционала ь 1= /У'(х,у,у') бх, а необходимо, чтобы вдоль экстремали выполнялось неравенство: Уь,ь.
> О. Аналогично: для того чтобы экстремаль у =у (х) реализовали максимум функционала ь у(у)= /дх,у,у')ах, а необходимо, чтобы вдоль экстремали выполнялось неравенство Лля доказательства достаточно вспомнить, что необходимым условием минимума является неотрицательность второй вариации, и приме нить только что полученный результат. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ВАРИАадИИ ГЛАВА 7))! НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ОБОБЩЕНИЕ ПРОСТЕЙШЕЙ ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 5 60. Пространственная задача Постановка задачи.
До сих пор мы ограничивались рассмотрением задач, когда функционал зависел от линий, расположенных в плоскости. Многие из приведенных нами физических примеров при незначительном обобщении приводят нас к задаче разыскания экстремумов функционалов, зависящих от пространственных линий. Такова, например, задача о рефракции. Допустим, что скорость распространения света в неоднородной среде есть заданная функция точки пространства (х, у, г): о=о(х,у,г); требуется определить путь луча света, проходящего через две заданные точки А(хе,уэ,гэ) и В(хпупг,).
Применяя снова изложенный выше принцип ферма, эта задача приводится к определению линии, двигаясь вдоль которой луч из точки А в точку В попадет в кратчайшее время. Если у=у(х), г=г(х) есть уравнение произвольной кривой, соединяющей две заданные точки, то время Т, необходимое свету, чтобы распространиться из А в В (вдоль втой кривой), выразится интегралом: Х1 Т= /Ф +У + ~х. э(х,у,г) Этим самым наша задача приводится к определению линии в пространстве, вдоль которой интеграл Т принимает наименьшее значение. Мы займемся сейчас задачей отыскания экстремума от функционала, зависящего отлипни, расположенной в пространстве трех и более измерений.
Эта задача может быть сформулирована так. Дана функции В(х у1уя ° ° ув' у1 уэ . ° ° 1 уг ) 2и+ 1 переменных: / г х,у„..., у„; у,,уя,..., у„. 110 ововщвнии пвоствйшвй кчдлчи ва иьциоиного исчислвния [гл. и'1П Е непрерывна вместе с ее частныии производными по всем аргументам до второго порядка включительно.
Среди всех кривых у, у,(х), у =уа[(х), у„=у„(х) [у,'(х) непрерывны) пространства и + 1 измерений, соединяющих две данные точки А (ае, Ь,е, ..., Ь„е) и В (а„ Ь,', Ь,', ..., Ь„'), определить ту, вдоль которой интеграл э'= / Е(х,уп..., у„; уь',уа',..., у„') Ых т принимает экстремальное значение. Близость пространственных кривых.
Прн рассмотрении простейшей аадачи мы уточнили постановку задачи, вводя понятие „е-близости'" двух кривых и расчленив общее понятие экстремума на экстремум абсвлютный, относительный сильный и относительный слабый. Все эти понятия могут быть непосредственно распространены на поставленную нами сейчас общую задачу. Принимая, что расстояние между двумя точками пространства Ь + 1 измерения выражается формулой: а'= (х — х)з+(у,— у,)а+... +(у„— у„)з, мы скажем: две кривые находятся в е-близости, если расстояние точек кривых, имеющих одинаковую координату х, меньше е при любом х; две кривые имеют е-близость первого порядка, если не только расс1ояние между указанными точками, но также расстояние между производными кривыми: у, = у,' (х), уя —— уа' (х), ..., у„= у„' (х) меньше а. Вводя таким образом понятие а-близости, мы ничего не меняя в принятых выше определениях е-окрестности разного порядка, определениях абсолютного, относительного и т.
д. экстремумов, получим эти понятия для нашей общей задачи. ч,овокупность определенных нами кривых в И + 1-мерном пространстве, где в качестве окрестности принята окрестность первого порядка, рассматриваемая как функциональное пространство, совершенно аналогична пространству С,. Необходимые условия экстремума. В этой главе мы остановимся лишь на выводе основных необходимых условий, которым должна удовлетворять всякая кривая класса допустимых линий, вдоль которой интеграл у принимает экстремальные значения. ТЕОРЕМА. Если кривая у, =у,(х), ..., у„=у„(х) принадлеэкипг классу допустимых линий и дает экстремальное значе- пиостилнстявиилв злдлчл нив интегралу Л то фунниии: у, =у, (х),..., у =у„(х) удовлетво- ряют системе дифвренииальных уравнений '): Ф рв,— — ри, =О, рл — — рл ° = О а и» а ь л' ри — — ри,и= О. ил Роль этой теоремы в приложениях та же, что и ранее разобранных, аналогичных необходимых условий в других задачах вариационного исчисления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
