Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Следовательно, на концах кривой т должно иметь место: [Е+(о' — у') Е„,[..ьхь=О, [Е+(ы — у')Ев,1 Ь»,=О, так как ьх и ьх,— независимые переменные. Условия (20) связывают угловые коэфициенты у' в концах кривой т с угловыми коэфициентами е' и ф' кривых, по которым перемещаются концы этой кривой. Условия (20) называются условиями трансверсаль- ности. Полученный нами результат можно формулировать как теорему: ТЕОРЕМА. Если кривая т; у=у(х) доеги экстремум интегралу у (т) = / Г (х, у, у') Ых т среди всех кривых класса Со соединяющих две лроизвольные точка двух данных кривых: то кривая т есть экстремаль, а в концах криеогг у вылолненыусловия трансверсальности (20). Эта теорема дает решение поставленной нами задачи.
В самом деле, решив уравнение Эйлера, получим семейство экстремалей, зависящее от двух параметров: $55) диеаеанциал в нвлинвйиом матеичаском пеостванства 127 Если Р= А (х, у) у' 1+ у'з, то условие трансверсальности запишется так: А г' 1+у'е+(р' — у') = О или: А (1 + о'у') = О. Если значение А в соответствующем конце отлично от нуля, то равен нулю второй множитель, следовательно, направление касательных к кривой Т и к кривой, по которой скользит ее начало (нлн конец), о р т о го пал ьны. Условие трансверсаль- Г ности вырождаетсл г в условие ортоеональности.
Если один из кон- Р цов кривой закреплен, то условие трансверсальности должно собтюдаться только для Черт. 23. свободного конца. Черт. 22 Пример. Найти кратчайшее расстояние от точки А до кривой Г (черт. 22): Кратчайшее расстояние достигается по экстремали ивтеграла / 'у'1+у'"- дх, с е. по прямой.
Условие траисверсальности переходит в условие ортогонавьности. Таким образом кратчайшее расстояние достигается по нормали к Г, проходящей через точку А. Аналогично кратчайшее расстояние между двумя кривыми (черт. 23) досгигается по их обшей нормали. й 55. Диференциал в нелинейном метрическом пространстве Касательное пространство. В предыдущем параграфе мы определяли диференциал †вариац в функциональном пространстве, которое, однако, нельзя считать линейным.
Совокупность кривых с расстоянием между ними, определенными выше, концы которых лежат на кривых м(») и ф(х): Л='. ( э) Л=Ф(хе) ./ г(» у у)дх аналог понятию вариации функционалов, определенных на линейных. метрических пространствах. Итак, пусть дано метрическое пространство М (не предполагается линейным) и функционал г(М) на нем. Пусть дано линейное про-- образует метрическое пространство Т. Несмотря на то, что пространство Т есть нелинейное пространство, мы построим для определенного на нем функционала 128 ововщанив пгостайшай задачи вьгилциоииого исчисления (гл.
УШ странство ~ „которое можно было бы назвать „касательным к М в точке М". (. удовлетворяет следующим условиям: 1'. Кшкдому элементу М, из М, расположенному в некоторой сфере 5(М, е) вокруг М, отвечает элемент Н из 1, который мы будем называть образом М,; обратно, каждому Н из (.м, расположенному на некоторой сфере 1Н1(е, отвечает некоторый элемент М, из М вЂ” его образ.
Связь между элементами М и ( взаимная '). При этом М отвечает нулевой элемент (т, и обратно. 2". Существует такая положительная константа т, что ~~Н~~ С гпг(М, М,), где М, есть образ Н. 3'. Когда 1Н1 стремится к нулю, то г(м, М,)ьО; где М, есть образ Н. Днференциал в точке. Мы назовем диференциалом у в точке М линейный функционал 1(Н)=с(г (Н), определенный иа („м, такой, что У(м,) — Г(М) =У(Н)+е(Н), (21) где Н вЂ” образ М„~ е(Н) ~ есть величина высшего порядка малости сравнительно с 1(Н).
ТЕОРЕМА. Если функции ~(Х) достигает экстремума в точке М, в которой определены касательное пространство ~м и диференциал (Н), то необходимо: В самом деле, пусть для некоторого Н из (. И/ (Н) = — с ф О. Рассмотрим элементы ГН ( — оо < 1 оо), образующие прямую. При достаточно малом Г каждому $Н отвечает его образ М, из Я; далее Ц1Н) = И(Н). В силу (21) имеем: г(м,) — у (М) = 1с + е (Н), (22) где е(Н) есть величина высшего порядка малости сравнительно с) гн)= сг = ~ г! ° '1Н~. При достаточно малом А 1е(н)! ( —, Поэтому знак левой части (22) при достаточно малом 1 совпадает со знаком члена 1с. Но Фс меняет знак в зависимости от й Вместе с тем меняет знак н приращение 1(мг) — У(М).
Так как в силу условия 3' г(М„, М) при достаточно малом 1 может быть сделано сколь угодно малым, то в любой сфере вокруг М найдутся точки М,, для которых г'(М,)) г(М), равно как и точки М„для которых у(м,) (У(М). В точке М не достигается экстремума. Проанализируем с этой точки зрения разобранную в предыдущем параграфе задачу. Пусть (у(х), хе, х,) из Т. Для простоты положим, ') Мы не требуем. вообще, оянозяачносги. % 66) ВАРИАЦНЯ ИНТЕГРАЛОВ ОТ ЭКСТРЕМАЛЕй 129 что у'(хо) ф -" (хо),у'(х,) ф О'(х,).
Каждому элементу,'у, (х), хо,х,] из Т отвечает элемент Ву(х) из 1„„, где Ву =-у, (х) — у(х) (хо..-: хл, х,). (Если отрезок [х„, х,) не покрывает отрезка [хо, х,], то мы продолжим функцию у(х) по касательной, так что она определится всюду на [хго х,]. Обратно, каждому оу(х) из 1о при достаточно малом ]]оу[] отвечает ', у, (х), хо, х, 1 из Т. Расширим у(х)-1- у(х) по касательным; при достаточно малом ])Зу]] кривая у, (х) =у(х)+ оу(х) пересечет кривые т н "(Р Абсциссы первых точек их пересечения обозначим через (хо, х,);тогда [у,(х)=у(х)+ +оу(х), х„, х, ', есть элемент пространства Т вЂ” образ йу (х) из 1„, Легко убеди~ься, что [[оу!, '~ г[',у, (х), хо, х, ], ]у(х), хо, х, ', ].
Далее, если [,'оу(,'-РО, то н соответственно г[',уд(х), хо, х, .'..'у(х), хо, х,,') О. Таким образом касательное пространство (., построено. Функционал оу = /' (Š— = Е,', Ох,(х— =./ ], Р,1г м, — [Е+ (б' — у') Е,] ох — [Е+ (9' — у') Е,] ох, оУ (хо) от (х~) где охо —— , - —,—, ьх, =,, — —,— есть линейный функциот (хо) — У (Ао) '. (М вЂ” У (хг) нал на (.о. В то же время он есть главная часть приращения У(у,(х), х„, х,) — У(у(х), х„, х,).
Поэтому оУ есть диференциал (вариация) функционала Л Вопрос о вариациях функционалов на нелинейных, метрических пространствах будет более подробно разобран во 11 томе. 9 56. Вариация интегралов от экстремалей Пусть дано сеиейство экстреиалей т интеграла х, У = / Е(х, у, у') г1х. Так кзк для эксгреиали вариация ин.геграла Г в середине равна нулю, то при переходе ог экстремали ( нашего семейства к экстремали т, вариация у сводится только к вариации в концах: 'У= — [Š— УЕ, ) '".— [Е ). оуо+[Š— УЕР]„'х,+[Ео,) Л (2З) Если Е=А)/1 — ', у'" [А(х, у) есть функции х и у], то Š— у'Е„, = = = А соз а, Е,, =, = А з!и а, 1+ 1"о Р 1 тгУ'о 130 ововщяиие пгостзйпщй задачи ввгилционного исчисления,гл. ЧШ где и †уг наклона касательной к ,, Через и, и„ .4, А, обозначены значения а и А в начале и конце Пусть дпо = э~ ькоз, дув вмв = "но соз ао ьув = иггв з|п а~ ьпг — — )г дхгз+ ду~з, дх~ —— Опг соз Э„у = дгг з(п 3 тогда ь / Авьпв соз (ио оо)+ А он соз (и аэ ) Формулами (23) и (24) можно пользоваться для вычисления функционала 1(Т,) для экстремалей, близких к экстремали т, если известно знзчение этого интеграла для экстремали т, Теорема Лвмбертв о планетных орбитах.
В качестве применения этого метода дадим доказательство Н. Е. Жуковского теоремы Лаиберта з теории планетных орбит. ',Г. Черт. 25, Черт. 24. Время, в течение ноторого нлонети олисывоет эллиптическую дугу ЯВ, зависит только от длины 2с хорды АВ, большой оси 2и эллипса и суммы ридиуеов-векторов ло отношению к солнцу 2р. Доказательство, которое мы сейчас приведем (по Н.
Е Жуковскому), основано на подсчете вариации интеграла, выражающего время движенйя. Пусть Г и Г,— фокусы эллиптической орбиты ЯВ, пусть при этом солнце находится в Г. Имеем: ГА + РВ = 2р, /)А+ ГА = 2и, Р,В+ ВВ = 2и. У:~А + ГгВ = 4о — 2р. Отсюда: Наряду с движением подуге АВ, когда солнце находится в фокусеЕ, рассмстрнм движение по той же дуге, когда солнце находится в Гт (черт. 24), Мыдокаэали (конец з 32), что время при иервом движении по АВ пропорционально действию при втором движении. Следовательно, если мы докажем, чтодействие при лвиженин по .чН зависит только от 2и, 2е и 2рг = 4и — 2р, то тем самым докажем теорему Ламберта.
Рассмотрим совокупность дуг эллиптических орбит при движении вокруг солнца, помещающегося в Гп с заданными 2о, ке,2рп Повернув каждую орбиту влгилция иитвп ялов от экстгзмллкй как твердое тело вокруг Р, можно сделать хорды, стягивающие ваши эллиптические дуги, параллельными. Лопустим, кроме того, что все хорды междусобой равны. Итак, нам дано семейство дуг АВ эллипса с фокусом Е, (черт. 25), стягиваемых равными и параллельными хордзмн АВ, причем Е,А+ГзВ=2Е,. Обозначив скорость при движении по такой дуге через о, выразим действие интегралом Каждая дуга нашего семейства есть экстремаль этого и1гтеграла.
Локажем, чтовзриацняинтеграза ~огЬ при переходе от любой дуги АВ семейства к произвольной близкой дуге А,В, того же семейства равна нулю, тем самым докажем постоянство действия на всехдугах и, следовательно, теорему Ламберта. На основании формулы (24) получим: 'У о дл = АА1о, соз ат — ВВ,оз соз а„ где о, и оз — скорости в точках А и Аь а, и аз — углы, образуемые касательными к АВ в точках А и В с векторами АА, и ВВг Так как отрезок АВравен и параллелен А Вц то смещения ААп ВВг равны и параллельны.
Если мы ДОКажЕМ, Чта О СОВа, = ОтСОЗа, тО тЕМ СаМЫМДОКажЕМ,ЧтО З ~Ода= О. ПЕРЕ- двинем поступательно треугольник А,Г,В, так, чтобы А,В, совпало с АВ, вершина Рт этого треугольника переместится в положение Р г, причем отрезок Е,Р паралелеи отрезкам ААт и ВВо Отсюда углы а, и аз можно рассматривать как угяы касательных к эллиптической дуге АВ в ее концах с направлением Е,Ет'. Так как ЕгА+1)В = Гг'А+ Е,'В= 2Е,, то Рт и Е,' лежат иа эллипсе О с фокусами А и В и большой осью, равной 2Е. Прн бесконечно малом смешении Е,Е направление этого смещения есть направление касательной к эллипсу 0 в точке Р,. Нормаль к 0 в точке Гт есть биссектриса угла АЕ;В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
