Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Примерамн задач такого рода могут служить задачи теории упругое м: определшнь форму изогнупгой оси балки при тех или других условиях на концах. Как известно, эта задача приводится к разысканию экстремума потенциальной энергии системы. С другой стороны, потенциальная энергия изогнутой балки зависит от кривизны. Таким образом эта группа задач яариационного исчисления имеет дело с разысканием экстремальных кривых, когда подинтегральная функция зависит от производных первого и второго порядков неизвестной функции.
Поставим проблему з общем случае: Среди всех кривых у =у (х), соединяющих две данные точгги А(хо,уо) и В (х,, уг), определипгь ту, вдоль которой интеграл к~ у= (' Е(х,у,у',у",...,у" ) ах нг (Š— данная функция и--',-2 переменных: х,у,у',у",...,у(н') пранншаегп экегггрелальное значение. й 58) СЛУЧАЙ ПРОИЗВОДНЫХ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 137 Прежде всего сделаем более точные оговорки относительно функции Г и класса допустимых линий. Функцию Р будем, как обычно, предполагать непрерывной вместе со всеми ее частными производными первого и второго порядков по всем аргументам при хя(х:==х, и при всех возможных значениях других аргучегпов.
За класс допустимых линий примем линии у==у!х! ! У ! хо ) = Ущ У ! х~ ) == Уг ) такие, чтоУ', У,..., У непРеРывны пРи хе(х~хб класс донУстимых к не линий является частью функционального пространства С„. Вывод уравнения Эйлера-Пуассона. Первый основной результат в этой проблеме дается следующей теоремой. ТЕОРЕМА. Ге,гн кривил . У=у )х), иринвдлелеагиин клиггу дшгуетижых лггнггг), дато экгтрежулг ингггег)и!.гул', гло она Рдовлетво)тет уравненикк д г)е „, „д" Р, — — --Е, -'- - —,Г, ° —...
— '. )---1)"-- „Р ) =О. в дх в ' дхв в '' Зх" вгь) 134) Выявим снова роль этого результата. Уравнение 134'), как легко Видеть, в общем случае ( †,-и Гий,! ф О) порядка 2л, следовательно, обнгий интеграл будет содержать 2а произвольных постоянных и будет иметь вид: Г35) у = г )х, иг, йн..., ию 3„!. зависящее от 2л — 2 произвольных постоянных. Обычно в задачах прикладного характера и задачах геометрических к основным условиям разби- раечоИ задачи добавляется еще ряд условиИ на концах.
Если мы будем иметь 2и — 2 таких добавочных условий, то эгичи условиями определягся все произвольные постоянные, искомая кривая будет факзически определена. Если добавочных условий нет или их число меньше 2а — 2. то для определения произвольных постоянных необходимы дополнительные исследования, которыми мы займемся несколько ниже. Перейдем к доказательству сформулированной теоремы. Для разнообразия применим метод варьирования в точке. В соответствии с тем, что под знаком интеграла фигурируют производные высших порядков, сделаем некоторые добавочные ограничения на вариае~ю ь,у в точке х. Положим: ] ~х — (и -'- ~ при !х — а ) !36) 0 при;х — и, '.
х') д у=~ ) Таким образом, если искомая кривая сущесзвуег, то она содержится в 2и-параметрическом семействе !35) кривых. Используя условия на концах, мы можем исключить две произвольных постоянных и получим семейство: 138 ововщвнив пгоствйшай залечи вавилционного исчисления )гл, ЧШ Легко убедиться, что при х = а л ау=3,У ==...=о у =О. Можно общее принять о,у == а) (х), (36') тде т;(х) — непрерывная вместе с ее и первыми производными функция, равная нулю всюду кроме бесконечно малого интервала длины л, содержащего точку а, а в этом интервале т)(х) ~0, и, наконец, принимая, что а= / т,(х)с~х есть бесконечно малая первого порядка, мы потребуем, чтобы Ьг(у, у) = Й шах (~)~ '(х)1 была бесконечно малой высшего порядка.
Легко подсчитать, что введенная нами вариация (Зб) удовлетворяет всем этим условиям. Применяя рассуждения, проделанные при изучении простейшей эадачи, будем иметь; .д1= — / Р(х,у+6,у,у'+- — о,у,...,у + - — „6,У) Ых— ь — / Г(х,у,у',...у ) Их =. ш)~ ь , в жт— Ло =/ (~„:..у+~„,—,о.у+...+Р„...—, „-О..) + ь +, / ~~яа(~ У) т +' ~в( (~, ~. У) ~ ~» Займемся первым интегралом. Разбивая его на сумму интегралов и интегрируя по частям каждый нз них столько раз, каков порядок производной от вариации о,у=т~ фигурирует под знаком этого интеграла, шолучим: в а+-а- У ° ' = ° Г„'т,' И»= (Г„т~) — ~ т) — Г Ых 139 9 58) слячай пеоизводных высшего пееялка х+— У.х = '.' У' с °,"а(, = 1г ° «Д — ~Ъ' — Г, Их= х —; ь ь х+-- х+— 1Г, т, ] —.— (1 — Р ° 1 + / т) — г" ° ах, ~х "'1 ь,/ Замечая, что все обинтегрированные члены пропадают, в силу условия (36') получим: йу= 1' Г,— — Г,.— — 'Г- —...+< — 1) — — Г,„,1т(х)1 = /) Н, вв х х( '1 а Фл а ' Лх'-' т вх х' ((" = (Ря, Рм+ ...
+( — 1)" —,"х ~„(.. ) -., Их У ИЛх где ь х+— х хх / т((Х) ИХ. ь Для указанной выше вариации (36) будем иметь: / ( — — х ) юХх= ~ —.) / (1 — х~)~"ох= Ай~"~ где А — конечная величина, не зависящая от л. Таким образом, если множитель при а не равен нулю, то вариация 3,У есть бесконечно малая порядка 4а + 1 относительно Ь. Оценим порядок второго интеграла. Главным членом этого интеграла будет последний член: ~и(и) в(ю '( У (хр Для вариации (36) н при сохранении лишь низших степеней й прн л нечетном будем иметь: чп+1 / г (ю„(ю ч("' ((х =г (ю эо / [( —,) — х ) ((х= ь 1 ,(в+1 =Г„( („(,1 — ) 1 (1 — ха) ах=А Г~„в(„й 140 вовщвние пгоствйшей задачи влгилционного исчисления [гл. '>(111 Аналогично при п четном: У ° Еэ(э) „(и) т> * 4(Х = Аз Е (э> (Ю (2 (э>* 2 (э+ 2 где А, и Ая — конечные константы, не зависящие от й.
Таким образом главной частью приращения интеграла является первая вариация. Следовательно, в случае экстремума эта вариация должна равняться нулю в каждой точке: ' ~=[ń— ~Е„+ ... +( — 1)э-,",ь Е„(э>).=О. Сокращая на е, получим искомое уравнение (34) Эйлера-Пуассона: Е, — — Е„+ —,ń—... + ( — 1) —;,Е„э>= О. >( лв и э> Рассмотренное нами выражение приращения интеграла у дает наы также еще одно условие, необходимое для экстремума. При условии, что первая вариация равна нулю, з каждой точке знак приращения интеграла будет определяться главным членом второго интеграла, т, е. членом: 4 +2 4э-(-2 А, Е >э>„(э>Ь или А, Е„(э>э(»)Г> Так как Гг положительно, то отсюда получаеэ( следующий результат: если яоивап дает минимум (максимум), то вдоль нривой имеем: Е„(э) ~ю > О (Е„„б „,э> ~ О), (л-(-1), (л -)-2),...,2л.
Случаи понижения порядка уравнения Пуассона. В некоторых случаях порядок уравнения Эялера-Пуассона 2п может быть сразу снижен иа одну единицу. 1, Допустим, что подинтегральная функция не зависит явно от у„ тогда уравнение Эйлера-Пуассона примет вид: — — Е,-(- —,Е > —... -[-( — 1) — -Е~ > > б и> дз (в) >2" >ух 2' ' этхт я" а'х>г нли, интегрируя: иэ — 2 Е, — — Е > -2;... — — Е,э> = С.
В' 4(Х В" ' ' Фх — и" Это и есть искоиый первый интеграл. Это есть условие Лежандра для нашей задачи. 3 ам е ча н не. Примененный нами метод страдает одним дефектом. Интегрируя по частям, мы неявно сделали добавочное попущение относительно существования у искомой кривой также производной порядка 2л. От этого ограничения легко освободиться, если использовать прием Дю-Буа-Реймонда„ мы предлагаем это проделать читателю как упражнение. Прн этом методе можно доказать, что если нскомав кривая обладает л непрерывными производными (основная гипотеза) н если вдоль искомой кривой Е, (»> з>э> =$ 0> то я искомая кривая обладает также непрерывными производными порядков: 141 ~ БВ] слвчлй пеоизводных высшвго повадка 2.
Допустим, что подинтегральная функция не зависит явно от независимого переменного х: Ф$ У= ~ Р(уу . у )и». Произведем замену неременных. Будем считать за независимое переменное у, а х примем за неизвестную функцию от у. Обозначая для кратлх Лех ь,~ Л"х кости через х' пройзводную —, вообще: х' = — -„-,...,х лу Ф'ь ' получим: 1, х", Зх~е-х~х" Отсюда интеграл з' в новых переменных примет вид: Этим' преобразованием мы сводим первоначальную задачу вариационного исчисления к новой, причем в этой постановке в подинтегральное выражение неизвестная функция х = х(у) явно не входит. Следовательно, диференциальное уравнение экстремалей, очевидно, одно и то же как для интеграла l(у), так и для интеграла а'(х) и будет иметь первый интеграл.
Полагая: Р(у, —,, — — „...)х' =Ф(у,х',х",...,х~"), х' а искомый первый 'интеграл будет иметь вид: р, — — ф „-; —... — е." = с. к, лч л',ф яи ''' à  — 1 У 3. укажем в заключение на один случай, когда можно сразу написать общий интеграл уравнения Эйлера-Пуассона. Пусть подиитегральная функция Р зависит только от ун'1. В этом случае уравнение будет иметь вид: ~Р' „— „Р„оо — О или ~ оо Р» — г(х) где Р„,(х) есть полином степени (и — 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
