Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Р, (х)(о)) есть ее миибр Ого порядка, не равный пулю. Если уФ)1 уо ° ",1~ то существуют постоянные: Ло Л, ..., Л> (~, 'Л<о)0) такие, что Р) (хо<о)) = ~и~~ Л Р. (х,(о)) э=1 (1 = 1, 2, ..., )). (8) Для любого х (а(х(а) имеем: Р (х(о)) Р (х(о)) ( (о)) Р (х <о) ) = 0. (9) ' Р ("')... Р (,") Р)) (х) Р (х) дг+д (х, х,ф), хор>, ..., х>ф)) Р (х) Но так как его мииор а,40 и элементы его последних столбцов свдзавы соотвошением (8), то злемевты его первого столбца связаны тем же соотно- шением: Ру (х) = ~и~~ Л Р (х).
(10) о 'уо Вследствие ироиззольности х соотношение (10) есть, соотношение тождественное; функции РР Р), Р, ..., Р. лияейно зависимы, а тем более линейно зависимы все й фУнкций Ро Ро, ..., Р„: их опРеделитель ГРамма Равен вУлю. Доказательство теоремы. Итак, допустим, что кривая у=у (х) удовлетворядт всем условиям теоремы. Проварьируем кривую у=у(х) в бесконечно мзлой окрестности кажцой из (а+1) точек: х„хя,..., хо, х, причем точки х,, хя,..., х„выберем так, чтобы для зтих значений определитель Ь был отличен от нуля.
Обозначая через 8 (х„ у) вариацию кривой в окрестности точки х„ положим у, (х) = у (х) + ~ о (х„у). ф 60] изопеРиметРическая задача Пример 2. Среди всех кривых длины 0 соединяющих две данные точки А и В т), определить кривую, оьраничивающую вместе с отрезком АВ наи- большую площадь. Примем за ось Ох прямую, пролояяшую через данные точки А и В(черт.28); тогда площадь„ограниченная кривой у =у (х), которую мы, очевидно, можем всегда считать расположенной над осью Ох, выразится интегралом: Д Ь У= /уб, а где а, Ь вЂ” абсциссы точен 'А и В. Таким образом наша задача приводится к разысканию максвмуиа интеграла Упри условии О д ~~') + у з бх = р Черт.
28. и при начальных условиях у(а) =у(Ь) = О. Применяя правило Эйлера, нам надо прежде всего определить семейство вкстремалей для интеграла: ь 1= / Н(у, у') бх, а где Н(у. у') =у+) У)+у". Первый интеграл уравнения Эйлера для интеграла Р будет: у у — ),]/Г+у~з — у% — = = а Р' ) — У'з или: к у=а— Положим: тогда у =ткр*' у =а — асов р.
Диференцируя зто соотношение по х, получим: р . Вр у'=) з)пе — =)8 р. бх Отсюда х =дз1п в+8. Таким образом уравнение семейства вкстремалей будет: х=Лзте+8, у= — Хсозе+а илн, исключая тс (х — 8)з+(у — а)з = М. Следовательно, если искомая кривая существует, то вта кривая есть окружность. Три параметра а, 8, ), определяющие положение и рааиус окружности, определятся, очевидно, единственным образом ив условий прокожден ш окружности через точки А н В и из условия, что длина искомой кривой разявил.
т) Мы допускаем заранее, что Р)АВ, так как в противном случае задача теряет смысл. (гл. (Х 138 гсловный экстгвмум Нетрудно показать, что решенная вами задача эквивалентна с изопериметрвческой задачей в узком смысле„ разобранной нами в гл. 1Г, 3 30, 33. Пример 3. Тяжелая жидкость, находящаяся в цилиндрическом стакане, вращается с постоянной узловой скоростью около вертикальной оси, совпадающей с осью стакана.
Определить форму свободной поверхности жидкости, считал, что движение установилось и что жидкость вращается как твердое тело. Введем цилиндрическую систему координат (г, ц; з), причем эа плоскость (г, р) примем дно стакана, а ось Ол будем считать проходящей через ось вращения. Ввведем следующие обозначения:Я вЂ” радиус стакана, Л вЂ” высота уровня жидкости над дном, когда жидкость находится в покое, и — угловая скорость вращения, р — плотность жидкости. 11ользуясь принципом Даламбера, поставленная динамическая задача может быть сведена к задаче статики, если к действующим силам добавить силы инерцян. Силы инерции — центробежная сила, действующая на элементарный объем с«лунга массы «гт = ргфр агйл, будет равна «зглгт и направлена перпендикулярно к оси Ое и под углом у к полярной оси.
Отсюда проекции Х, г на оси Ох и Оу силы инерции, приложенной в точке (г, ч, л) и отнесенной к единице массы, будут равны: Х = пзг соэ й, У = крг Мп й. 1 Эти силы допускают потенциал («' = — птгт. 1— Таким образом наша задача приводится к определению равновесия жидкости 1 под действием: 1) сиа инерции с потенциалом Ут = — птгт, 2) снл тяжести спо- 2 тенциалом Уз= — 3«, 3) снл давления. Силы трения отсутствуют, нбо жидкость считается идеальной.
Работа сил давления при всяком возможном перемещении системы равна нулю. Таким образом потенциальная энергия Ю' жидкости будет равна: Ц =С УП(' зг йз)йт, где интегрирование распространяется на все элементарные массы, С есть постоянная. Пусть з = з (г) есть уравнение свободной поверхности (в силу симметрии поверхности л от ч ие зависит); тогда, пользуясь выражением для элементарной массы, получим: Г Гl! )«" = С вЂ” / от ог ( — «ргз — йв) 1«гисаров = ,/./ 1.2 Л «(г) з« =С вЂ” ~ ~, / ( — ' à — йл)бр= «в в = С вЂ” кр / (птгтл — йгз) пг.
« Кроме того: / йт=к1 / егйг=кг«)ттй. У. 159 $601 изопевиметгическля 3АдАчА Отсюда в силу принципа Дирихле т) наша задача приводится к определению функции а= а(г), даюшей минимум интегралу и г'= / (йглт — могол) ог о (а) при условии: К= / глгтг=дгтИ. (Ь) Уравнеяие Эйлера примет вид: Ня = 2нгл — саго + Хг = 0 илн: огт Л л= — гт= —, 2я 2н' гдеь — постоянная, определяемая условием (Ь), откуда Х Раот 1 Яз — = )(~И вЂ” —; Х = 2рИ вЂ” — ого 2я 8н ' 4 Пример 4.
Закон распределения Максвелла. Пусть в единице объема газа заключено Ф молекул однородного газа. Обозначив через Т энергию (кинетическую и потенциальную) молекулы газа, через у(Т) — функцию распределения числа молекул в зависимости от энергии Т [т. е. Т(Т) ~тТ означает число молекул, энергия которых заключена между Т и Т+г(Т), через Š— общую энергию всех молекул газа, имеем: СО / ту( т) ггт = е. (16) Ойозиачим через Н функцию Больцмана Н= / У!п уг(Т, пропорциональную о энтропии, фуинцию, которая может служить (с обратным знаком) мерилом логарифма вероятности данного распределения молекул по зиергян, выражаемого функцией распределения У (Т) з). т) Принцип Дирихле в статике сводит задачу об отыскании условий равновесия системы к задаче определения экстремума ее потенциальной энергии.
з) Если у нас имеется М вредметоз, распределенных по К группам (причем вероятность предмета попасть в любую группу одинакова), то верошиость того, что в первую группу попадет шт, во вторую тт,..., в И-ую шо предметов, равна М! 1 тг! яог! ° . то! Йы' з где ~~~,юг = М. Логарифм этой вероятности равен: 1п(М!) — ~о~1п(тг!) — М!пй о=г о Для решения воспользуемся правилом Эйлера для нзопериметрической задачи, полагая: Н = нглт — ьтгзл + Хгл. (гл. 1Х услоВный Вксттямум 160 Поставям теперь закачу о нахожденчи наиболее вероятного распределения молекул ао энергиям, т.
е. задачу о нахождении минимума Н прн условиях (16) н (1б). Эта изопернметрнческая задача сводится к нахождению безусловного мннимума от ~ (У1 У+ М+ )т77) ау. о Условие минимума: — (у)у+),у+),ту) =о дает нам: )пУ= — ),7 — (),т+ П нли У вЂ” Се — '*т тле С = ев~+т). ПостоЯнные С н )я найдем из Условий (15) и (16): № Ют -ь т а Я 61. Правило множителей Эйлера-Лагранжа Свойства линейных многообразий.
Правило множителей Эйлера- Лагранжа, выведенное для случая условного экстремума функций и переменных 8 16) н нзопернметрнческой задачи, может быть распространено путем обобщения методов $16 на случай условного экстремума функций в общем линейном пространстве, Будем в дальнейшем называть многообразием в линейном пространстве е. совокупность точек а, определенную системой уравнений: у'„(а) = О. Мы ограничимся случаем систем конечного числа уравнений. Если все У; (а) суть линейные функции, то многообразие называется линейнын. Линейное многообразие само есть линейное пространство.
В дальнейшем, определяя линейное многообразие Е' системой 'линейных уравнений: (1=1, 2, ..., н), (17) 7,(а)=0 будем без оговорок полагать, что ни одно нз уравнений (17) не есть следствие остальных и, в частности, что ни одно из этих уравнений не удовлетворяется тождествэнно для всех элементов а, принадлежащих пространству А, в котором система (17) определена. 1 нлн приближенно ~заменив по' формуле Стирлннга 1п (М1) через М 1п М вЂ” — М| 2 равен: М(1пМ вЂ” 1п А) — ~ т,1п те Слеловательно, сумма ~~~' еь 1п еь с обратным знаком, с точностью до постоянного чнсла М!п —, изображает логарифм вероятности данного распределения.
В нашем м ь' случае,' при переходе от дискретного распределения к непрерывному, роль втой суммы перейдет к интегралу Н. $ 61] пРАВило множителей эйлеРА"лАГРАнжА 161 При этих оговорках мы отметим следующие свойства линейных многообразий: 1. Если линейное многообразие Е' задано системой уравнений (17), то всякий элемент Ь из Е может быть представлен в виде: Ь=,~л ),и,+а, (18) где а„аз, ..., а„есть система фиксированных линейно независимых элементов, лежал)их вне А', элемент а принадлежит Е'. Докажем это свойство методом совершенной индукции. Пусть п=1: многообразие Е' определяется единственным уравнением: (17') 7(а) =О. В силу наших оговорок уравнение (17') не выполняется тождественно на Е; существует элемента, из Атакой, что 7(а1) ф О.
Пусть Ь есть произвольный элемент Е. Обозначим: г (Ь) а=Ь вЂ” — ча . г(а,): '' Очевидно, 7(а) =О; отсюда и принадлежит Е и Ь вЂ” а+ (а„где 1= —. Теорема доказана. г (ь) г(а )' Сделаем теперь гипотезу, что теорема верна для случая и — 1 уравнений в системе (17), и докажем ее для случая и уравнений. Пусть Е' есть линейное многообразие на А, определенное и уравнениями (17), а 7.„ есть линейное многообразие, определенное одним уравнением 7,(а) = О из числа системы (17).
В силу только что доказанного, для произвольного Ь из 7. имеем: Ь = а„+ 1Ь1, (19) где Ь, есть определенный элемент, который лежит вне Е„, а а„— в Е„. Рассматривая Е„ как линейное пространство, мы убедимся, что многообразие Е' определяется на Е„ системой (и†1) уравнений: 71 (а) = О (1 = 1, 2, ..., и†1) Так как по предложению теорема доказана для случая систем из (и — 1) уравнений, то на ь„существуют (и — 1) линейно независимых элементов а„а, ..., а„„лежащих вне Е', таких, что дла произвольного элемента из Е„, а следовательно, для Ь, из Е„имеем: ч — 1 Ь, = а+ ~ 11а„ 1=\ где а принадлежит А'. Обратив внимание, что а„лежит вне Е'„, а, при 1' ( и — 1 лежат на 7.„ и что а„ а, ..., и„ между собой линейно независимы, получим, что все наши и элементов а,, и, ...,а„ линейно независимы. Сопоставив (19) и (20), получим нашу теорему.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
