Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Пусть Н есть точка пересечения касательных в точках А и В к дуге АВ; из свойств касательных к эллиптической дуге следует, что отрезок ГтН, соединяющий фокус Гт этой дуги с точкой пересечения Н касательных, есть биссектриса угла АЕ,В. Следовательно, Г,Н и есть нормаль к построенному нами новому эллипсу О. Так как ат и ат суть углы между направлениями АН и ВН и направлением Г„Рт' касательной к 6, то сола, = зшЕгНА, сова,= з|пЕ,НВ, н иам остается доказать, что о.юпГ1НА = пзз1пГНВ., Пусть К, и Кз — проекции Гг на продолжения касательных Ай и ВН.
Применяя теорему площадей к движению подуге АВ, имеем: огКт — — озК, (2о) но Кт =ЕтНз!пЕ;НА, Кз = ЕтНзшР,НВ, и из равенства (2б) следует: пт ми ГгНА = вт .'1п ГгНВ, по и оставалось нам доказать. Итак, теорема Ламбертз доказана. 132 ововшзние пвоствйшей злдлчи влэилционного исчисления !гл. тг!11 Пользуясь ею, можно легко по лэнныч 2а, 2с и 2р найти время Г движения планеты по эллиптической дуге.
!! самом деле, прямолинейный отрезок рМ длины 2а есть предельный случай дзя эллиптических орбит с солнцем, расположенным в Р. Отложив на нем лзе точки С и (З такие, что РС= — р — с, рв=р-!-с„получим отрезок Сгэ длины 2р, сумма расстояний концов которого от р равна 2с. Этот отрезок С() есть пределы<ый для эллиптических дуг с заданными 2а, 2с и 2р. Обозначая через г расстояние точки отрезка от р и зная, что скорость о при движении в поле тяготения с центром в р равна имеем для времени г: тьвь п — р — сх г = у — г зт/ — — бг= --- — ! агссоз — эш агссоз —— а и ь а — р -'- г а — р-';сх ! — (агссоз — -- . — з!п агссоз и а (26) Нэ основании теоремы Лал~бертз эта формула верна для всех эллиптических дуг с заданным 2а, 2с, 2р. Лвижение от А к р и обратно есть предельный случай полных обходов эллипсов с большей осью 2а, 1!Рн этом движение по луге, дополнительной к АВ, дает в пределе следующее движение по отрезку РМ: от С к г", от г" к М и от М к 11.
Вычисляя время такого движения, получим по теореме Ламберта вреьш дзя движений по лугам, дополнительным к АВ. Результат будет отличаться ог формулы (26) только знаком перед вторыми круглыми скобками в фигурных скобках. Формула (26) ласт при а -ь оо формулу Эйлера для параболического движения; з 1 ! = — — — ((2р+ 2с) '-' + (2р — 2с) '-' ,', 6 Более подробным исследоззнием вариаций функционала на семействе экстремалей мы займемся ниже, в гл. Х!!.
В 57. Случай свободных концов в пространственной задаче Постановка задачи. Задача со свободными концами может быть распространена иа случай функционалов у: у=/ р(~ Л уз ° у!Л у у )и заданных иа линиях и-иерного пространства. Поставим более точно задачу: пусть в п-мерном лрострпншнвв дана точки А и некоторое многообрпзие гт( к изме)!внии(й ( п); среди линий класса С,, соединяющих !ночку А с произвольной' !ночкой лсногообризия г)(, лгребуетгя определить линию, вдоль лолсорой у принилсаелг экстремальное значение. $57] слзчлй своводных концов в пгостглнстввниой злдлчв 133 Случай трехмерного пространства. Мы ограничимся сейчас случаем, когда н =- 3 (случай пространства трех измерений).
ТЕОРЕМА. Гели кривая 1с у=у(х), г=--«(х) класса С, дает зкстре.иулс инте«россу У средсс всех кривых класса С, соединяющих данную точку А с произвольной точкой кривой Г: у=с(х), г=о(х), то в гиочгсе В(хг, у„«,), иринодлежощей и и 1', [7' (х ) — У,'] Гче + [.' (х ) — «,'] Г, гг- Г = О. Эта теорема, как легко видеть, дает нам уравнение, пользуясь которым можно определигь все произвольные постоянные в общем интеграле уравнения Эйлера. Для доказательства теоремы применим метод вариаций, Имеем: ау= / (Г 'у-[-Г у +Г'«-- Г,'г ) с7х-, '[Г] 'х, = О.
ь Отсюда, интегрируя члены Г„,оу', Геог' по частям и обозначая через оу, и ог, вариации оу и о«в свободном конце при х=х„получим: -~- [Гч,] оу,+ [Г,],ог,+ [Г] ох,=О. Так как в с.тучае зкстремума рассматриваемая кривая есть экстремаль, то первые два члена пропадают и мы получим: од= [Г,,] оу,+[Г,] дг, +[Г] ох,=О. (27) С другой ссороны„повторяя рассуждения, сделанные нами при исследовании плоской задачи, найдем; 7" (х,) ох, =у'(х,) йх,+оу„о'(х,) ох, =г'(х,) дх,-'-:г,; отсюда, подставтяя в (27) выражения 'у„о», черезох„получим искомое соотношение. Обобщения. Этот результат без груда обобщается на случай л неизвестных функций', когда концы класса допустимых линий расположены на кривой: у, =(г(х), ' = — 7с(х), у„= 7'„(х) ~ пространства (гг+1) измерении.
В этом случае условие трансверсальности примет вид: [ Г -'.— ~ (г',.' (х) — у,у (х)) Гус,' „= О . Обобщение условий трансверсальности. Найдем теперь условие трансверсальностн, когда свободныИ конец класса допустимых линиИ 134 ововшвние пеоствйшяй задачи вавиационного исчисления [гл, Ч1П принадлежит некоторому многообразию. Ограничимся опять случаем пространства трех измерений, случаем, когда Р есть функция от х, у, х, у', '. Будем считать, что многообразие (поверхность) задано уравнением: =у,(х, у). (28) Лопустим, что кривая (; т =у (х), = а (х) (29) дает экстремум интегралу У== / В(х, у, =, у', "')Ых среди всех кривых, соединяющих точку Л с произвольной точкой поверхности (28). Пусть В(хо уп з,) есть конец кривой.(, принадлежащий этой поверхности.
Рассмотрим на поверхности (28) две кривые: т= Кн ! (30) Уо) 1 д/' пх д~ па д~' дх д~ ву де вчт (33) я=уз(х, хе), ~ (31) х =хо где уа(х, ) есть уравнение (28), разрешенное относительно у. Кривая ( тем более дает экстремальное значение интегралу 1, если мы примем за класс допустимых линий всевозможные кривые, соединяющие точку А с произвольной точкой кривой (30) или с произвольной точкой кривой (31). Отсюда, применяя условие трансверсальности, выведенное нами раньше для случая, когда концы допустимых линий принадлежат кривой, получим следующие два соотношения: ( — -у'(х)Ет,— ', ( ' — з'(х)) Г,+Г) =О. )1 (м.,- — -' . ( —.'-' — у'(х)) В,— з' (х)Г,+Г = О. 1 Это н есть искомые два добавочных условия, пользуясь которыми можно определить постоянные интеграции.
Соотношениям (32) мохгно придать более снмметрячный вид, если уравнение поверхности задать в общем виде: г (х, у, г) =- О дг дг и найти выражения —. и —. Имеем: дх дз' $ 57] слтчьй своводныд концов в пеостганственной задьче 133 дфг д дзе ду Отсюда, подставляя в (32) вместо — ' = — и — '. = .— ик выражения дх дх дх дх из !33 3 получим: --!Рг —,г-) — — — <уР,-)- Р„)~ =О, дУ дх -' ' д« - и' — !р,-р) — !у'р + "р,)~ =О. ,)у дх е г!т ' у Втот метод естественно распространяется на случай пространства )и-г-1! измерений, когда концы допустимык линий должны принадлелгать некоторому многообразию )е измерений. Устовие ортогомальностн.
Разберем один важный для приложений чзспгый случай. Допустим, что подинтегральная функция Г имеет внд: Г[я у, ', у', =') = $ !х, у, «) 1Г ! + у' )- е'е . Докажем, ч го в этом случае условие трансверсальности совпадает с условием, что искомая кривая должна быть о р т ого н ал ь на к данной линии данной поверхности. Очевидно, достаточно рассмотреть случай, когда ко~гцы допустичыт липни должны быть расположены на линии. Имеем: — У )се« гтхт««-" у~««" —,«' Отсюда условие трансверсальности примет вид: !'у' О ( )- ) — —, )т ' ) — е) — '= — ==.,- )«) 1+ "- —, '-'=О. уе ) е« ' )г ! ).у«в+ег Произведя сокращение и умножая на ) 1+у'*ь-~-г"з, получим: !' Г г) «1 ( г з«) г ] ! га / /е О и!!и' )'у' + ъ'з' + 1 = О.
Это и есгь условие ортогональности. Легко получить обратное предлоькение: если условие нгрансверсаль. ности совпадает ири всех начальных данных с условием орггготональности, то функция Р имеет с гедуюгцую сгнрунтуруг Е=- 1г(х,у,г) 3/1+у а+ «", еде И есть произвольная диференцируемая функция х, у, Б самом деле, по условию должны быть эквивалентны дза соотношения: (т — у ) г е — (и — з ) е', +Г = О, ту —, не -- 1 = О, где т==~'(х) н гг=т'(х) суть переменные, не зависящие от у' и е' Второму соотношению можно придать вид: у' (т — у') + е' (и — е'! + 1 -)-у«в + з'"- = О.
136 ововшвнив пгостзйшвй задачи влаиьпионного исчисляния [гл. Ч1П Отсюда, деля первое уравненне на Е, второе на 1+у'я-1-г'г и пользуясь независимостью иг и п, получим: ~н' у' Е,, Е 1+у" +х'-' Е 1+у'-'+гы' откуда ! п Е = —.; 1п (! + у'я -' „на) + )п 1', где (г зависит только ог х, у, л, Таким образом: е= гггтТ7*ч-*". Задача. Пусть из пгочки А дан световой сигнал. Определит~ луч АВ, по которому сигнал впервые достигнет заданной поверхности М Задача сводится по принципу Ферма к нахождению экстремума интеграла: У „. г6 о(х,у, г) г где о(х,у,х) — скорость света н где кривая; соединяет точку А с В.
Из предыдущего явствует, что луч АВ, по которому сигнал впервые достигнет поверхности М, ортогонален к М ! еометрическое место 0 точек, в которые световой сигнал, посланный из точки А. попалет через равные промежутки времеви, называется поверхноипьнг волны. Йз только что разобранной задачи следует, что все лучи АС, соединяющие точку А с поверхностью волны, нормальны к последней.
Это следует из того, что каждый из этих лучей есть луч, по которому световой сигнал из А впервые достигает М. Тем самым доказывается частный случай принципа Малюса в геометриче. ской оптике: поверхность волны для светового пучка ортогональна все.н лучам пучка. В гл. Х мы убелимся, что принцип Мааюса сохраняет силу, даже если лучи претерпевают произвольное количество раз преломления н отражения. В 58. Случай производных высшего порядка Постановка задачи. Развитый выше метод вариаций почти без видоизменений позволит решать также те задачи вариационного исчисления, когда подннтегральная функция зависит не ~олько от первой производной, но также ог производных высших порядков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
