Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Система (1) есть система п диференциальных уравнений с л неиавестными функциями: у,(х), у (х),..., у„(х). Каждое уравнение в общем случае есть уравнение второго порядка. Таким образом общий интеграл этой системы будет содержать 2п произвольных постоянных: у,=у,(х,а„аа,..., и „), уз = у (х, а» аа,..., а „) у„=у„(х,а„аэ,..., ая„).
Каитдая кривая семейства (2) носит название вистремали для данной задачи вариациониого исчисления. Таким образом в силу теоремы каждая кривая, дающая экстремум интегралу У и принадлежащая классу допустимых линий, есть экстремаль. Задача фактического определения искомой кривой сводится таким образом к определению общего интеграла системы (1) и произвольных постоянных а,.
При данной выше постановке задачи эти постоянные определяются из 2л условий прохождения искомой кривой через точки А и В. Перейдем к доказательству теоремы. Чтобы возможно меньше изменить методы доказательств, выработанные раньше, будем интерпретировать систему неизвестных функций: у, =у,(х), ..., у„ =у„(х) как систему л кривых, расположенных в различных плоскостях хОу„ хОуэ, ..., хОу„. При такой точке зрения данное нами понятие вариации кривой у=у(х) в данной точке можно непосредственно применить к данной задаче. Допустим теперь, что кривая у, =у,(х) (т'=1,2,...,л) дает минимум; в таком случае при всевозможных вариациях (достаточно малых) функций у, =у,(х) интеграл л должен увеличиваться.
Следовательно, он должен увеличиваться, когда все функции у, при т' ф й остаются без изменения, а кривая у„ =у (х) варьируется. В соответствии с этим будем считать, что все у, =у,(х) (т' ф и) фиксиро- ") Какой именно экстремум — сильный, слабый, абсолютный- это безразлично. 112 оеоещение пгостейшей зад»чи взвиационного исчисления [гл. ЧШ яаны, тогда У есть функция линии у„=у„(х). В силу сделанного замечания и основного необходимого условия такой простейшей задачи вариация этого функционала должна равняться нулю в каждой точке.
<:ледовательно: г — — г, =О (й=1,2,..., и). а »» лх м» О существовании у„. При выводе уравнений (1) мы сделали гипотезу, что есе функции у,(х) имеют непрерывные производные. Записывая уравнения (1) в форме Дю-Буа-реймонда, можно показать, что при некоторых условиях искомая кривая будет обладать также непрерывной второй производной.
Имеем: / Р; 4х — Р', =С» (1=1,2,..., и), (3) где С есть константа. Вдоль =кстремали выражение: (х) = ~ Р'„Ых есть непрерывная функция, обладающая непрерывной производной. Запишем систему (3) в форме: Гя~ = ф,(х) — С,. (4) д»д' Допустим теперь, что функциональный определитель Ь = ~ ду;ду» вдоль некоторой экстремали у„ =у»(х) отличен от нуля, и пусть С» в системе (4) отвечают экстремали у„ =у»(х); тогда, каково бы ни было значение х (аь ( х ( х,), существует решение системы (4) относительно у„', совпадающее с у '(х) и днференцируемое вместе с Сг»(х).
Отсюда заключаем, что если вдоль эсктремали Ь ф О, то эта экстремаль принадлежит классу С . 51. Вариация в точке в данном направлении. Принцип Гамильтона Вариация в данном направлении. Для случая пространственных задач определение вариации в точке непосредственно не обобщаемо потому, что местные изменения кривой можно делать в любом направлении.
Пусть дан функционал ь (Т) / (х у~ Уэ ° ужу» уэ ° ° ° у«) определенный на линии т, заданной е (и+ 1)-мерном пространстве (х, у„..., у„) уравнениями: у,=у,(х) (1=1, 2, ..., и; а.(х(Ь). Кроме того, т есть кривая класса допустимых линий. Пусть 1, — соседняя кривая этого класса, заданная уравнениями: у, =у,(х) + оу,(х) . $51) влеилция з точка в длнном илпглвлзнни 113 Положим, что функции еу, равны нулю всюду, кроме интервала [х„— е, х„+ е], где хе(а < х„< а) — абсцисса некоторой точки (.
Векторы с компонентами: 'ах=О, йу„..., йу., соединяющие точки кривой ( с точками (имеющими те же абсциссы х) кривой (,, будем считать параллельными на нашем интервале [хр — а, хе -[- г1. Если обозначить через 3л длину соответственного вектора и через р, его направляюгций косинус по отношению к оси Оуе то еу, =-р,3п, причем р, постоянны для всех наших векторов. Имеем: Прн достаточно малом е имеем: Щ+а и +е / [Г., — ---Р ° ) биса (Р', — — Р„) / .иа~х— Л;) и =(г — -Г 1 0)У, я~ гух а 11 где еЬ суть площадь цилиндрической поверхности, заключенной между ( н н, образованной векторами 3л.
Итак, )(Т~) з (Т) йлг~~~)р1 (р„,.— ах р,,) Отсюда следует,:то у(т,) — у(т) ты Стремление к нулю еЛ понимается в том смысле, что йл, — еа н е их стремятся к нулю. Выражение (5) будем называть вариацией функционала У в д а иной точке М(хе,у,) в данном направлении (р„р, ..., р„). Уравнение Эйлера означает, что вариация функционала з' в любой точке экстремалн в любом направлении обращается в нуль. Наоборот, если во всякой точке кривой сравнения вариация в ней по любому яаправлению равна нулю, то кривая есть экстремаль, вариация функционала равна нулю.
В й 48 мы доказали инвариантность уравнения Эйлера для случая одной неизвестной функции. Совершенно аналогичные рассуждения показывают, что система уравнений Эйлера др а' дР— — — —,=О (1= 1,2...,, и) ду, ах ду,' сохраняет свой вид, если мы перейдем от координат (х,уну,„...,у„) к произвольным и+1 криволинейным координатам. 114 овоещеиие пгостейщей задачи влгидционного исчисления [гл. ЧШ Приицип Гаыильтоив. Пусть мы имеем механическую систему без связей, состоящую из и точек, имеющих массы: 'шо вь,, ..., ш„; обозиачая через (х„у„я,) коордииаты 1-й точки, имеем для кинетической энергии системы: Пусть б гесть потеицвальиая функция системы, зависящая от) Зи координат всех точек.
Из ее определения следует, что силы, действующие иа (-ю точку, имеют аомпоиеиты: дО дО д6 дх,' ду,' дз,,' Силами инерции называются силы с компонентами: дзх, . дту, дш, — зй — - —, — ш; — „„— ю,.— —, дтт атт " ' дтт приложенные к соответствующим точкам системы. Оин, будучи приложенными к точкам системы, уиичтожилв бы ее ускорение.
Пусть мы имеем некоторое движение системы, определяемое Зп фуикциямп: х, = х, (1], у, = у, (1), х, = г, (1), и пусть в некоторый момент 1 система занимает положеиие, определяемое Зп координатами ее точек. Пусть каждая из этих точек получает смещение Зхь Зуь йхь ПРинцип Даламбера для динамической системы без связей гласит: Если к действующим иа точки пашей системы силам добавить силы инерции, то их совместная работа вдоль любого смешения равна нулю: ХЕ-; Г/ дО гттх,',, 1 дб дту, ~ „. 1 <И дтя~'~ ~~~ — - — ж~ —,с~ох,-';; — — — ш, - '-)Зу;+~ — — т, ~ ~ах~~ =О.
)),.дх, дгт) ' ',ду, ' дтт) ' ',дз, дтт) =т Обозизчив через зх, эу, Ьт, р,= — „,о,= —, г,= —, ав ' зп ' зп ' т =- т получим: у~( д0 Фх,~), 1' дб лву,) . ( дб дтх, ') У "( — — т, — — '') р, -'-, — — т, — — '') ф, + ( — — т, — '') г, ~ = О. Выражение цч /дО, дО дб 7 ( Р~+ Ч~+ з~) ,вд (, дх, ду, дх, есть ие что иное, как вариация в точае иитеграла ) О дг (напомним, чтоб зависит только от координат), а выражение — т т, ( —,р + — ' о + — г ) цч 1 рх< пзу, х, .2д '(, дт ' дг есть вариация в точке от / Тдт; обе вариации взяты в направлении рад,,гь Следовательио, принцип Даламбера означает уничтожение вариаций по любому иапРавлеиию интегРала ) (О+ Т) сгг, взЯтого по тРаектоРии х, = х,(т), У~=Уг(0 г, = г,(т).
А это оэяачает (см, выше), что вдоль траектории: й 5Ц ВАРИАЦНЯ В ТОЧКЕ В ДАННОМ НАПРАВЛВНИИ 115 (Зл+ 1)-мерного пространства пмеем: 11 ь](а+Т)бг=о. (6) т~ Равенство (6) выражает принцип Гамильтояа. Интеграл (6) имеет размерность см' — , т. е. размерность действия. сек ' Кривые сравнения: Х, = Х, (Г), у, = у1 (Г), (а, =аз) дТ Выражение —. называют обобщенным импульсом. дч~ Пусть потенциальная энергия сг и кинетическая Тпе от времени Г. В этом случае имеем: Ъч ° дТ (а+ т) — ~~„ч',—. = — с.
Ч1 д зависят в явной форме э (Зп+1)-мерном пространстве (6 хоуо л,) соединяют те же точки [тэ, х,(тз), у1(та), л,(га)],(гт,хт(71), У1(71), л (г)],что н кривая Х,=Х1(г), у,=у1(т), л, = л1(т). Перейдем теперь от системы Зп координат (хь уь л,), определяющих двв- ЖЕНИЕ, К ЛЮбОй СИСТЕМЕ КООРДИЯат Чт, Чь..., Чз„ПУтЕМ ПРЕОбРаЗОВаипа: Х1 = Х4(Ч1 Чтэ . Чээ) У1=У1(ЧН Чь ° °, Чз ) (7=1, 2, ..., и), З~ = З1(ЧО ЧЭ» ° ' Чээ) Кинетическая энергия обратится в некоторую квадратическую форму: 1 жч с'ч1 бчу ат дт 6 т =.
1 от производных новых координат по времени; аб завпсзт от координат Ч, (1' = 1, 2, ..., и). Потенциал 0 перейдет в функцию от новых координат Чг Прн переходе к новым координатам, очевидно, условие (6) сохраняет свою силу. Уравнения Эйлера для (6) дадут нам: дб дТ Ф дТ вЂ” + — — — —. = О, (7) дЧ, дЧ, дт дЧ, где через ~11 мы обозначаем — , яч~ дт ' Уравнения (7) носят названия уравнения Лаэданжи в механике. Мы приняли за исходный пункт принцип Лаламбера, вывели из пего прин- цип Гамильтона и как следствие последнего — уравяение Лагранжа.
Эти три формы общих уравнений механики эквивалентны, и мы мотли бы за исходную точку принять любую из них. Принцип Гамильтона имеет ряд преимуществ перед другими формамн. Уравнение (6) ие зависит от системы координат, и этим свойством иявариантностн часто удобно пользоватьсж мы уже восполь- зовалясь им при выводе уравнениЯ Лагранжа. Вариационная форма уравнений механики была использована Гамильтоном прн построении его теории инте- грирования этих уравнений (подробно эта теория будет изложена во втором томе). Так как Т есть квадратическая форма относительна Чь то1 Х ч',—, = гт. ° дТ (8) 'дч', 116 озовщвнив пэоствйшкй задачи ваэилциоиного исчислвния (гл. ЧШ Отсюда в силу (81: Н= — О+ Т=С, (9) где С вЂ” постоянная величина. Выражеиие )т есть нечто нное, как полная энергия системы, и соотношение (9) выражает известный закон сохранения меканической энергии.
С физической точки зрения принцип Гамильтона интересен тем, что з его формулировке участвуют не координаты, а энергия потенцнааьяая н кинетяческая. Поэтому этот принцип быа распрастраиея иа физические процессы, в которых кроме механической участвовали другие виды энергии (электрическая, тепловая и др.).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
