Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 17
Текст из файла (страница 17)
ц> Проведя дополнительно прямые, параллельные осям Ох и Оу, делящие пополам стороны прямоугольников деления, получим новое разделение прямоугольника К, причем стороны прямоугольников деления 1 1 будут —, †. Повторяя предыдущие рассуждения, мы констатируем 2л ' 2дл' существование бесконечного множества Й функций, входящих в Яь.
и <а) ц) изображаемых кривыми, задевающими одни и те же прямоугольники нового деления. Продолжая неограниченно процесс разделения на все более и более мелкие прямоугольники, получаемые каждый раз разделением пополам сторон прямоугольников предыдущего деления, докажем существование последовательности заключенных друг в друге множеств: я"'эягм~я"'э... эК ':з... .к л л . к Здесь К~'.~ состоит из функций, изображаемых кривыми, задеваюшрми одни и те же прямоугольники р-го деления. Так как длина каждой сто2Дг роны параллельной оси Оу прямоугольника о-го деления равна — , 2л ' лл а в каждом вертикальном столбце все кривые из гт~~ задевают один или два прилегающих прямоугольника, то для двух функций й(х) и ф(х) из гх'~ имеем: ь 2ДГ ) й (х) — ф (х)! ( — , 2л ~дл Пусть теперь у, (х), Х, (х),..., у, (х),...
— последовательность функций, где г (х) принадлежиг Я . Так как Ф1 р к ' яри Р) О, У ~,(х) принадлежит гс,, то при любом положительном р ца р+3 и 1 имеем: ~ у,', ь, (. ) — ~ (ли ( —,—. 2Ф л Следовательно, последовательность у (х) есть последовагельность Коши, поэтому она сходится, и притом равномерно, к некоторой предельной функции г (л) .
Предельная функция для последовательности функций из К, тоже принадлежит (х .. Выделение компактных функциональных пространств играет большую роль в теории экстремумов функционалов, так как дает возможность применять теорему Вейерштрасса. $44) ком~~кт~ос~~ в етикционлль»ых пгостглиствлх 88 Пространство [т является частью пространства С. Вместе с тем К„ есть компактная в себе часть пространства С. Всякое бесконечное подмножество Яч компактно в гс ., тем более, оно компактно в Я и С. Понятие равномерно непрерывной совокупности. Рассмотрим некоторую функцию у (х) на отрезке а ( л ( Ь.
Обозначим через е„ (Ь) функцию, равную (4) где х и х, принадлежат отрезку [а, Ь[ и [х, — х [ ( Ь. Функция аа (Ь) для Ь )~ 0 определяется функцией у (х); очевидно, в (0) =- О, а„(Ь) есть конечная невозрастающая функция Ь. Если у (х) непрерывна, то а„(Ь) стремится к нулю вместе с Ь; в этом заключается свойство равномерной непрерывности непрерывной функции у (х). Рассмотрим теперь некоторую совокупность М непрерывных функций у (х), заданных на отрезке а (х (Ь.
Обозначим через лм(Ь): т!и (Ь) = з "Р [ у (хг) — у (х) [, где верхняя грань берется по всем функциям у(х), входящим в М, и по всем отрезкам [х, хт! длины не большей, чем Ь, заключенным в [а, Ь[. Для всякой функции у(х) из М можно определить, как мы это делали выше, функцию а„(Ь). Очевидно, для любого Ь, тм (Ь) = зпр аа (Ь). а„(Ь) есть верхняя грань разностей (4) для одной функции у, т!и (Ь) есть верхняя грань этих разностей по всем функциям у(х), входящим в М. Попрежнему лм (Ь) есть неубывающая функция от Ь, ам (0)= О.
Функция т!и (Ь) может принимать и бесконечные значения. Йапример, если М включает функции з!пх, 2з!пх, 3 з!пх,..., люпх,..., определенные на отрезке а ( х ( Ь, то ем (Ь) бесконечна при любом Ь)0. В самом деле, выбрав произвольные неравные числа х, и х такие, что ейп х, ф ейп х и [х, — х[(Ь, имеем: ам (Ь))~зпр л (з!и х,— сйпх)=+ ею. Если все функции у (х), входящие в М, удовлетворяют неравенству: [у (х)! ( дг, то 0~(ам(Ь) ~2И для любого Ь-+О [так как всегда в этом случае [у(х,) — у(х)[ (2Л[. ем (Ь) есть [ невозрастающая функция от Ь, однако, вообще говоря, она не стремится к нулю вместе с Ь. Пусть, например, М состоит из функций з!п х, а!п 2х,..., 5!и Ьх,..., определенных на отрезке 0 (х (1, Ь вЂ” любое положительное число.
Выберем достаточно большое целое число л) 2 такое, чтобы — (Ь. [гл. Ъ'1! ФУНКЦИОНАЛЫ И ВАРИАЦИЯ з Если х= —, х, = —, то х, и х заключены на отрезке 0 (х (1, 2п ' 2п ' [х,— х[(И и з1п пх — а1п пх, = 2. Итак, м (") ~~2 Но, с другой стороны, ем (И) не превосходит 2, поскольку все функции в1п пх по абсолютной величине не превосходят 1. Итак, ем (И) = 2, если И > О, е (И)=0, если И=О. Для функций, входящих в пространство гс ен(И) =тИ. В этом случае 1пп е , '(И) = О. л.+ ь ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Совокупность М функций у(х) (а (х(Ь) называется равномерно непрерывной совокупностью, если, во-первых, существует постоянная М > О, такая, что для всех у (х) из М [у ('х) [ ( М, во-вторых, 11т ем (И) = О. л -+ь Примером равномерно непрерывной совокупности функций может служить пространство гс предыдущего примера.
Все функции равномерно непрерывной совокупности являются функциями непрерывными. Можно определить равномерно непрерывную совокупность функций несколько иначе. Совокупность М функций у(х) (а (х (Ь) называется равномерно непрерывной совокупностью, если все функции удовлетворяют неравенствам: 1'. [у(х)[(М для а (х (Ь, (5) 2'. [У (хг) — У 1х) [ ( ~1(И), если [х, — х [ ( И. (6) (Здесь М вЂ” некоторая положительная константа, т1 (И) — невозрастающая функция, стремящаяся к нулю влгесте с И) Оба определения эквивалентны.
В самом деле, если совокупность функций удовлетворяет первому определению, то достаточно положить т1 (И) = е„(И), чтобы убедиться, что она удовлетворяет и второму. Наоборот, если совокупность М функций удовлетворяет второму условию, то из неравенства 0( ен(И) (т1(И) следует: е„(И) стремится к нулю вместе с И, как только л(И) стремится к нулю вместе с И.
Компактность в пространстве С. Рассмотрим теперь функциональное пространство Й1н 1, состоящее из всех функций у(х), определенных Об ч)' на отрезке 0 (х (1 и удовлетворяющих условиям (6) и (6). Метрику в 1ч г, примем совпадающей с метрикой в С. 1и, ч~ ф 44) КОМПАКТНОСТЬ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 87 ТЕОРЕМА АРЧЕЛА (Агхе!а).
К „, 'есть компактное пространен)во или, рассматривая К н как частмь С, К ) есть компактная (н, ч) (н э) в себе часть С. Доказательство втой теоремы совершенно аналогично доказательству теоремы на стр. 88, которая является частным случаем теоремы Арчела. 2))( 1 Обозначим: д = - - - (22 — произвольное целое число), 2), = л (22,— целое число, большее 1); А, выберем настолько малым, чтобы: (А2) (8 (это всегда можно сделать, так как 2)()2) стремится к нулю вместе с )2). Построим последовательность чисел ))о ))2,..., ))„,...
таких, что ))„=— ()2„— целое число) и т((л„) ( Как и в предыдущем случае, построим прямоугольник с вершинами (а — А(), (а,+-А(), ( — а,+М), ( — а,— А)); разобьем его на более мелкие прямоугольники с основаниями 2), и высотами А(. Каждая кривая у=у(х), где у(х) из К, расположена в большом прямоугольнике и пересекает некоторое количество прямоугольников подразделения. Как и в предыдущем случае, такая кривая пересекает не более двух прямоугольников, расположенных в одном вертикальном столбце.
В самом деле, если х и х, — абсциссы двух точек нашей кривой, лежащих в одном вертикальном столбце, то )х — х, ( ())О ! у (х) — у (х,) ~ ( е (А() <" р ы а поэтому (!) (2) (е) К(ьг, ч) ~ К(к, ч)~ -е К(н, ч)-~ ' заключенные друг в друге и содержащие каждое бесчисленное множество элементов, причем все кривые у=у(х), где у(х) из К, заде(ьг, ю ' вают одни и те же прямоугольники и-го подразделения. Если Ф(х) и Ф(х) принадлежат К„,, то )Т(х) — ф(х)~ не превосходит удвоенной высоты и-го подразделения, т. е. ~ Ф (х) — Ф (х) 1 ( (Разность ординат двух таких точек не превосходит высоты прямоугольника подразделения.) Аналогично, разбивая основной прямоугольник на все более и более мелкие прямоугольники с высотами для п-го подразделения, равными †,, и основаниями 2(„, мы устанавливаем, что каждая кривая у =у (х), к( гдеу(х)из К„, ), пересекает не более двух прямоугольников и-го подразделения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
