Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 19
Текст из файла (страница 19)
а Следовательно, этот интеграл стремится к нулю быстрее, чем г(у, у,). Таким образом с точностью до величины порядка высшего, чем г(у,у,), разность 1(у,) — У(у) совпадает с интегралом: / (~„йу+Ь„еу') ох. Этот интеграл есть линейный функционал от оу(х), следовательно: 1 Ы(у) = /()'„йу+ T„г йу') Ых. Необходимое условие экстремума — обращение в нуль 0У(у) для любой функции Ьу(х) — выражается теперь так: ь 0)(у) = / ~~„йу+ ге 0у ) ох =О. [гл.
Ч!! оункционллы и влгилция Мы видели Я 41), что диференциал г(г'(А; Ь) функции )', определенной в линейном пространстве, при переходе от точки А к точке А + Ь равен: а'(А; Ь) = [ — )(А+гЬ)~ с=-о В частности вариация 3)(у) должна равняться: 3)(у) = [ — )(~+!оу)1 ь=о (13) В курсах вариационного исчисления часто определяют вариацию непосредственно формулой (13). Преобразования Лагранжа и Дю-Буа-Реймонда. Под знаком интеграла в выражении первой вариации стоит линейная функция от йу и оу'. Путем интеграции по частям можно преобразовать вариацию так, чтобы под знаком интеграла стояла линейная функция только от Ьу (так называемое преобразование Лагранжа) или ау' (преобразование Дю-Буа-Реймонда).
Интеграцией по частям получаем: ь ь У" = '.У' ь;,,у / оу' Лх = ! Г'„оу] — ] оу — ~„ах. Если принягь, что в точках а и Ь вариация равна нулю, то )'„оу' Ых= — / Ьу- — фЫх. У* -У О' ~Кк т и а Следовательно: ъ ь о)(у) = ~ (~„оу-]-~„оу') Фх= / (у — — у.) оуах. х / ~„Ых = Ь (х), имеем: Это выражение мы получили также в б 31, рассматривая функционал У(у) как предел функции от полигона и Ы (у) — как предел диференциала этой функции. Заметим, что мы считали функцию у(х) обладающей непрерывной производной. Но у' мы не считали диференцнруемой. Поэтому преобразование Лагранжа а рпог1 незаконно.
Чтобы устранить добавочные гипотезы о существовании второй производной у", Дю-Буа-Реймонд дал другое преобразование вариации. Именно, обозначая % 47] основные леммы влгилциоиного исчисления Далее, интегрируя по частям: ь У вЂ” Ьудх = Рйу] — ~ Иду а~х. ь Нх ч а Полагая, как раньше, что Ьу в точках а и Ь исчезает, получим: ь ЬУ= / [з"„— М] 6у'дх. а Это преобразование не требует дополнительных гипотез о структуре функции у(х).
5 47. Основные леммы варнационного исчисления Лемма Лагранжа. Пусть непрерывная функция М(х) обладает тем свойством, что, какова бы ни была функция и (х), имеющая непрерывную производную и обраи4аюисаяся в нуль в точках а и Ь, всегда: / М (х) т, (х) йх = О. а При этих условиях М(х) = — О при всех х (а (х ( Ь). В самом деле, пусть в некоторой точке с (а(с(Ь) М(с)фО, например М(с) ) О. Отсюда в силу непрерывности М(х), при достаточно большом и, можно построить интервал [ хы хо+ — ~, заключенный внутри [а, Ь] и заключаюший точку с, на котором М(х) больше некоторого положительного числа т.
Определим теперь функцию ц(х) следуюшим образом: з1пя[а(х — хо)] на интервале ~хо, хо+ — ~, ц(х) = О вне интервала. Функция я(х) непрерывна и обладает непрерывной производной, Ч(Ь) = ц(а) = О. Следовательно, мы должны были бы иметь: М (х) Ч (х) йх =- О, У но / М (х) ц (х) с(х = а й и еь -Ь— т ь / Я и ят М (х) з1П и (х хь) с(х ) т $1п п (х хо) бх 2п т, т Итак, гипотеза М(х) ф О где-либо на интервале [а, Ь] ведет к противоречию. [гл.
ЧИ ФУИКЦИОИАЛЫ И ВАРИАЦИЯ Из этой леммы из выражения для вариации: / ( уе йх .Ге' ) оугйх и из требования, чтобы 31 обращалось к нулю для произвольной функции оу, обладающей упомянутыми свойствами, Лагранж вывел уравнение Эйлера: у„— --гй=о. Этому уравнению должна удовлетворять функция у =у(х), дающая экстремум интегралу у = /у'(х, у, у') ах. в а на другом из выбранных интервалов: М (х) ( йа. Опред лим функцию т,'(х) следующим ооразом гбпеп(х — хе) на интервале [ — зют п(х — х,) на интервале [ ч1 хе,х —,— ~~, т,'(х) = О в остальных точках интервала [а, Ь]. Кривые, удовлетворяющие уравнению Эйлера, называются экспгремалями. Вывод Лагранжа уравнения Эйлера содержал неточность, которую мы отметили при определении преобразования Лагранжа.
ЛЕММА ДЮ-БУА-РЕЙМОНДА. Если для непрерывной Функции М (х) при любой непрерывной функции з1 (х), обладоюгцей непрерывной про- изводной т;(а) = т~(Ь) =-О, интеграл ~ М(х) ц'(х) йх = О, то М(х) постоянна во всем интервале [а; Ь]. Пусть М (х) не есть константа, тогда существую~ на интервале [а, Ь] по крайней мере две точки с, и сгп в которых функция М(х) прини- мает неравные значения, например: М(с,) > М(се).
Пусть а', и йг— пара чисел, удовлетворяющих неравенству: М(с,) >й, >да> М(с ). Можно нос гроить при достаточно большом и пару интервалов [хе, хе+ — '), ° '1 -1 х„х,+ — 1, заключенных в интервале [а, Ь], не пересекающихся и г. 1 таких, что в интервале [х,хе + — 1 имеет место неравенство: М (х) йы й 471 основиыв леммы вавиационного пвостнанства Функция п(х) = / 4'(х)йх непрерывна, обладает непрерывной про- а изводной л'(х), и, кроме того, т~(а) =О, 'л(Ь) = / 4'(х)йх= а и И еь ь. ~1 + = / з1паи(х — хр) йх — ~ гйпзи(х — х,)йх=О. Жф По условию, ь / М(х) и' (х) ах = О, а но, с другой стороны: ь и,+— У М(х)4'(х) йх= / М(х) япеи(х — х„) йх— в Жф ю+ й / М(х) з!пел (х х1) йх ) (иг — аз) / 31пвлхих) О, ь1 о Итак, гипотеза приводит к противоречию.
Полный вывод уравнения Эйлера. Из леммы Дю-Буа-Реймонда легко получить полный вывод уравнения Эйлера. Пусть дан класс допустимых линий у=у(х), где у(х) есть функция, обладаюпгая непрерывной про- изводной, причем все функции у(х) принимают при х=а и х=Ь заданные значения уе и уг На этом классе функций определен функ- ционал 1(у) = /,у(х, у, у')йх, а где ( — непрерывная функция всех аргументов с непрерывными частными производными первых двух порядков.
Допустим, что функция у=у(х) из класса допустимых линий дает относительный слабый экстремум функционала У. В этом случае ЬУ = ~ ( — М+ ф) Зу'йх = О ь при любой функции оу, обладающей непрерывной производной и равной нулю в точках а и Ь. На основании леммы Дю-Буа-Реймонда: ф — М=ф — / ~„йх= С (С вЂ” константа). а Это есть так называемая интеаральная форма уравнения Эйлера. (гл. ЧП 98 ФУНКЦИОНАЛЫ И ВАРИАЦИЯ Функция М(х), / ~„Их непрерывна и обладает непрерывной производной И'(х) = г', Следовательно, обладает непрерывной производной по х также ф=С+ЬГ(х): —,РУ = Ж'1(х) = 1'„.
Итак, мы получили уравнение Эйлера, доказав при этом диференцируемость функции ф. Пусть теперь в некоторой точке (х, у) кривой у =у (х) имеем: Х'„Э ФО При переходе от точки с абсциссой х этой кривой к точке с абсциссой х+Ьх функции у(х) и у'(х) получают приращения Ьу и Ьу', которые вследствие непрерывности у (х) и у'(х) стремятся к нулю вместе Ьх. Имеем: где вторые производные у,~ч ~„уч ф„с чертами наверху означают значения этих функций при аргументах х+ 8,Ьх, у+ 8зЬу, у'+8АЬу' (~ 8, ~ ( 1).
Прн Ьх — ьО эти выражения стремятся к у;„(х, у,у'), у (х, у, у'), (х, у, у'), и, следовательно: — ~„=~,„+~„„у'+1!т ( — Р'„„1; отсюда с( Ау~ Их УУ ~~У вЂ” УУУОИ 1пп ~ =у" = .„Ах ~'„,, Итак, у'(х) существует во всякой точке кривой у=у(х), дающей экстремум и в которой ф„ф О. Точки экстремали у=у(х), в которых ф„~О, называются.регулярными. Итак, мы не только вывели уравнение Эйлера, но и доказалй (чего мы заранее не предполагали) существование второй производной у" (х) во всякой регулярной точке кривой, дающей экстремум. В 48. Вариация в точке. Инварнантность уравнения Эйлера Определение функциональной производной.
Вариация функционала есть его диференцизл. Попытаемся распространить на случай функционала другое основное понятие диференциального исчисления, именно понятие частной производной. Пусть имеем функцию полигона ~гг" Е'(у„уз,..., у„) (см, 8 9). Мы знаем, что — „— — производная по орднпу~ $ 48) влеивция в точке. инвлеианяность велвнення эйлевл 99 нате у„есть предел отношения приращения функцйн го, когда ордината у, получает приращение йу, к площади, заключенной между полигоном (у„ум..., у„) и измененным полигоном (у„уя,..., у„,, Уь+ 8Уо Уь+и ~Ун)' В случае функции от линии мы не можем, не нарушая ее непрерывности, изменить одну ординату этой линии. По этой причине прй распространении понятия частной производной на функционалы мы будем рассматривать приращения функционала, когда линия будет варьироваться лишь в непосредственной близости от точки, в которой мы желаем определить аналог частной производной. Итак, пусть дан функционал: и кривая у=у(х), на которой функционал з' принимает определенное значение.
Мы будем предполагать во всем дальнейшем, что у=у(х) обладает первой н второй непрерывными производными, а го — непрерывнымн частными производными до второго порядка включительно по всем аргументам. Допустим, кроме того, что кривая у=у(х) не принадлежит границе области, задания з', т. е. что для всех линий, достаточно близких к линии у=у(х), функционал У также определен. Построим кривую у = у, (х) = у (х) + 8у (х), близкую к кривой у=у(х); пусть при этом уд(х) совпадает с у(х) для всех значений х, лежащих вне малого интервала [хо хв), содержащего некоторую избранную абсциссу с (х, <.с ( х,).
Допустим, кроме того, что в интервале [х„х ] вариация йу сохраняет знак. При этих построениях кривые у(х) и у, (х) определяют некоторый бугорок, возвышающийся над кривой у(х); площадь этого бугорка будет равна о= / 3уйх ь). Функциональной производной в точке с мы назовем предел отношения приращения функционала з'(у,) — з(у) к площади о, когда бугорок стягивается в точку. Легко видеть, что, не делая дополнительных гипотез относительно закона стремления к нулю площади о, рассматриваемый нами предел отношения в общем случае существовать не будет. По этой причине, принимая площадь а за бесконечно малую первого порядка, мы будем считать, что (хя — х,) га(уп у) есть бесконечно малая высшего порядка [где г(у„ у) есть близость первого порядка кривых у (х) и уь(х)[.
г) Если а будет отрицательна, то бугорок будет расположен под кривой У =У (х): аУ будет отрицательна. [гл. ЧП Функционалы и ВАРВАция Условие будет выполнено, если, например, Оу определить следующим образом: -(х — х,) з(пзн х х' при х,(х(хз, Оу= ' х,— хз О вне интервала.[х„, х ], и считать а ) 2. Докажем, что при сделанных дополнительных гипотезах функциональная производная существует в каждой точке интервала [а, д] и равна левой части уравнения Эйлера.
Имеем: з'(у,) — У(у) = / (Є— — Рз) ОуЫ~+ ю + — / (Р Оуз+2Г„„оуйу'+Рззйу'Я) Нх т). В силу гипотезы относительно непрерывности у'(х), у'(х) и частных производных функции Р вдоль линии у=у(х) имеем: ~Ä—,,'~ Р„]=~Ä—,~ Р„.ч +;( ), где ео(х) есть непрерывная функция от х, бесконечно малая вместе с ]х — с!. Кроме того, обозначая через М, )Ч, Р соответственно значения Рю, Р„, Р'„зч при х=с, у=у(с), у'=у'(с), получим для х, (х( хя: ГРР (х, у(х)+Ооу, у'(х)+ Ооу') =М+ а, Р„„(х, у (х) + Ооу, у' (х) + Ооу') = )Ч+ аз, Р„„(х, у(х)+Ооу,у'(х)+Ооу')ч Р+ез, где все е, стремятся к нулю вместе с г(у„у) и (хз — х,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
