Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2) (947321), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Этот же принцип сохранился при переходе от классической механики к механике релягивистической. В 52. Вторая вариация. Условия Лежандра Вывод необходимых условий экстремума. Пусть в классе С, допустимых линий, расположенных в пространстве и+ 1 измерений (х,у„ ..., У„) и заданных уравнениями у, =у,(х) (1= 1, 2, ..., и), выбраны две близкие кривые Т и (и Пусть [)=1, 2,..., л; у,(х) =у,(х)+Зу,(х)! уг =у„(х), суть уравнения этих кривых. На классе С, определен функционал ь .Г(()= /Г(х,УоУэ, ..., У„; У,',У,', ..., У„')Их.
(10) Имеем у((,) — у (1) = / ( Р(х, у„у ) — г (х, у„у,') ~ сух =- ь =Л<(;З +",'у,')'.+ + 2 /(,~~~ээЗУ~Зут+2~~ы~ э ЗУ,ЗУ,'-1-,~~„Е ЗУ' ЗУ')ох+э э ьы где а есть величина высшего порядка сравнительно с г(т, (,). Выражение ь ' ь =У~(;,Зу+;,'у -=УХ(",— А",) Ф а есть главная линейная часть приращения (вариация). Если ( есть зкстремаль, то Зз'— = О и главной частью приращения становится квадратический функционал (форма) от ьу„т.
е. вторая вариация; ь Зэй= ~ ( ~„Е', оу,Зуу -'г 2~> Г„э ЗУ,ЗУ'+ ~ Р'„. „Зу' Зу') бх, (11) О Необходимое условие того, что у реализует минимум А заключается в силу общих соображений в копне предыдущей главы в тои, что форма Зтl неотрнцательнз. 117 э 52) ВтОРля ВлРилция. РслОВия лажлндРл ТЕОРЕМА (условие Лежандра). Необходимым условием неотрицательности второй вариации является неотрицатвльнос~ль формы А =~~Э',Р,, а1ат;, Св о во всякой точке М эксиьремали, или, ино то же самое, выполнение неравенств: г,,г, ...г" У'ав'а Э ВГа Э ав'о г,, г,,...г",, У'ав'а У'ав'а У ав о Г,,г,...г, У'оУ'а К ив а У ВЭ о в каждой точке экгтремали.
В самом деле, пусть в некоторой точке М(х,у,уо,...,у„) экстре- мали форма А принимает отрицательное значение. Приведем форму А к каноническому виду линейным преобразованием а1, = ~~ааД (1=1, 2,...,и). После приведения форма А (в точке М) примет вид: ~ Л,В,Э; при этом по крайней мере одно из собственных значений формы Ад, например Хп будет отрицательным. После преобразований; оу,=~а',ааль (1=1, 2,..., и; аа — постоянные) и аналогичного преобразования производных: 3У' = )~~ аа ол,' (1 = 1, 2,..., Л).
Подинтегральное,выражение в оээ перейдет в ~~ аоолаоя + 2 ~~Р э„ох,.Ь.'+ ~сазов,'Рая'. Здесь а, = ах„дав = Ья, с„= ся и являются некоторыми функциями от х. В точке М (12) си = л„с„= О при 1 ф /. Пусть а — некоторое, достаточно малое положительное число, а отрезок (х — й, х+л) заключает абсциссу точки М. Иа куске экстре- мали 7, пРоектиРУющемсЯ на этот отРезок, коэфициенты ави Ьм, с» совпадают с коэфипиентами этих форм в точке М с точностью до величин, стремящихся к нулю вместе с Ь. Рассмотрим теперь следующую вариацию экстремали тр вне отрезка [х — Ь, х+й) вариация равна нулю: ока=О (ь'=1, 2,..., н); на этом отрезке охя=дзз — — ... — — ол„=О, что же касается йхп то ои, равно как и его производная оя,', обра- 118 оеоещение пеостейшей задачи влеиьционного исчисления [гл.
ЧШ щается в нуль в конце отрезка, т. е. в точках х — Ь~ х+л; внутри же этого отрезка он отличен от нуля. В этом случае выражение (12) на отрезке [х — Ь, х + л] сведется к анйе', + 21 8е 8л,'+снох 'Я. (13) Так как в точке М си=1, О, то при достаточно малом л и на всем отрезке [х — л, х+Й] сн(0. При этом вторая вариации примет вид: е+ь 8еу= / (апйз;'+2бг йех 6з,~ — , .'с гба '~)пх. а — ь Знак этого выражения (см. б 49) при соответственном подборе функции 8з, совпадает со знаком сьн который мы считали отрицательным. Итак, если форма А в некоторой точке экстремали обладает хотя одним отрицательным собственным значением, то вторая вариация йети может быть сделана отрицательной, отсюда н вытекает необходимость условия Лежандра для минимума. Пример.
В принципе Гамильтона: й ие содержит производных д,', а Т есть положительная определенная форма от этих производных: 1 ъч Т = -- ~у а,„чу,'Е.'. форма А для этого случая будет: 1 чч Ам — — ~ Т~у,'д~'Ч,Ч~ 2 ~~ апящ Из положительности формы Т вытекает пояожительность формы Аи. усло- вие Лежандра для минимума выполняется. 3 53. Свободные концы. Случай конца, перемещающегося ио ординате Постановка общей задачи.
Во всех разобранных нами задачах за класс допустимых линий мы принимали кривые, концы которых находились в двух фиксированных точках. Сейчас мы перейдем к задачам на определение экстремумов функционалов, принимая за класс допустимых линий более широкий класс. Пусть дана функция Р(х,у, у'), удовлетворяющая обычным условиям непрерывности и диференцируемости; пусть, кроме того, в плос.кости хОу даны две кривые 9 и ф: у=9(х), у=ф (х) класса С,.
При этих обозначениях нашу задачу можно формулировать следующим образом: $531 своводныя концы. слгчлй конца, пвгвмвшьющ. по овдинлтз 119 Примем за класс допустимых линий совокупность линий т класса С„имеющих концы соответственно на кривой 9 и на кривой ф. Требуется найти экстремум функционала: где интеграл берется по линии т. Заметим, чтц пользуясь результатами гл. Ч или Ч11, мы можем немедленно свести эту задачу к задаче на разыскание экстремума функции двух независимых переменных. В самом деле, если некоторая кривая те с концами в точках А и В решает поставленную зкдачу, т. е. если те дает экстремум интеграла среди всех линий класса допустимых линий, то эта линиЯ Те дает экстРемУм l и сРеди всех линий класса С„ соединяюших точки А и В.
Следовательно, в силу теоремы Эйлера длЯ пРостейшей задачи линиЯ Те есть экстРемаль. Отсюда, РешаЯ УРавнение Эйлера; г„— -~ ~г„= о, мы получим двупараиетрическое семейство кривых: у=у(х, ч, р), к которому будет принадлежать искомая кривая т . Для определения те нам остается найти значение двух констант и и р. Пусть теперь хе(а, р), х,(а, р) суть соответственно абсциссы точек пересечения линии у с кривыми 9 и ф. Искомые значения и и Р будут, очевидно, давать экстремум следующего выражения: я1(," Р) г". ( х, г'(х,'а, з) у' (х, а,,'~) ) сКх, ;<., а> которое есть функция двух независимых переменных и и р.
Этот путь, принципиально возможный, практически очень громоздок, по этой причине нашей ближайшей целью будет дать добавочные не- обходимые условия, которым должна удовлетворять искомая кривая, так чтобы из этих условий можно было непосредственно определять произвольные постоянные а и р. Простейший случай. Начнем с рассмотрения простейшего случая, когда кривые 9 и ф вырождаются в прямые, параллельные оси Оу: х=а, х=0. В этом случае наша задача ставится следуюшим образом: Среди всех кривых класса С,: у=у (х) определить кривую, вдоль которой интеграл: У= / г" (х,у,у') Нх принимает экстремальное значение.
Определяя, как обычно, вариацию функционала У как главную линейну1о часть прирашения функционала при переходе от крнвойу=у(х) 120 овошпвнив пгоствйшвй задачи вьеилпионного исчисления ~гл. Ъ1И (14) при любой функции оу. Применив к выражению (14) преобразование Лагранжа, получим: е3= [Е„чу)„*=„'+ ~ ~ń— — Е„,~ чу ах= а ь == (Е, 1 „,'У, — ! Е, 1 м „'у, + / (ń— --Е„,) Ьр (х, О где Вуе есть значение чу при х=а — вариация у в левом конце, ьу, есть значение оу при х= Ь вЂ” вариация у в правом конце. В случае экстремума вариация должна тождественно обратигься в нуль, следо- вательно, в, случае экстремума имеем: ń— — Е„. = О, С~ т ~Ея')~-.—.
= О Ю~=ь = О Первое из полученных условий мы знали раньше, второе и третье суть нужные нам условия на концах, те условия, из которых можно определить произвольные постоянные а, '. в общем интеграле уравнения Эйлера: Е, (а, У(а, а, т), г' (а, ж р)) =О, Е„, (Ь, У(Ь, а, Э), /" (Ь, а, Р)] = О. Полученные нами условия непосредственно применимы к задаче рааыскания экстремума интеграла Е = — / Е (х. у. у') Нх, м (17) к бесконечно близкой кривой у, =у, (х) =у (х) + Ьу (х), найдем выражение этой вариации. Имеем: у(Л) — у(У) = / Г ( ' у, у,') — — Е(х у, у'Н ах= а ь = / (Е„Ь у + Е„бу') ~(х+ ег (у, у, й а где г есть расстояние между кривыми — наибольшее из чисел шах ~оу и шах (Зу'), а е стремится к нулю вместе с г. Итак, вариация нашего функционала Ьу выражается так: ь оУ = / (Е чу -~- Е, ьу') а'х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
